北京郵電大學數學系1第五章微分方程模型常微分方程的數值解5.1傳染病模型北京郵電大學數學系1第五章微分方程模型常微分方程的數值北京郵電大學數學系2常微分方程的數值解及實驗在生產和科研中所處理的微分方程往往很復雜且大多得不出一般解。而在實際上對初值問題，一般是要求得到解在若干個點上滿足規定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便于計算的表達式。高數中微分方程解法在實際中基本不會直接使用(一)常微分方程數值解因此，研究常微分方程的數值解法十分必要。北京郵電大學數學系2常微分方程的數值解及實驗在生產和科研中所北京郵電大學數學系31、用差商代替導數

若步長h較小，則有故有公式：此即歐拉法(向前歐拉法).(二)建立數值解法的一些途徑對應有隱式歐拉法北京郵電大學數學系31、用差商代替導數若步長h較小，則有北京郵電大學數學系42、使用數值積分對方程y’=f(x,y),兩邊由xi到xi+1積分,并利用梯形公式,有實際應用時，與歐拉公式結合使用故有公式梯形方法/*trapezoidformula*/此即改進的歐拉法北京郵電大學數學系42、使用數值積分對方程y’=f(x,y)北京郵電大學數學系5中點歐拉公式/*midpointformula*/中心差商近似導數x0x2x1北京郵電大學數學系5中點歐拉公式/*midpoint63、使用泰勒公式以此方法為基礎，有龍格-庫塔法、線性多步法等方法庫塔三階方法四階龍格-庫塔公式63、使用泰勒公式以此方法為基礎，有龍格-庫塔法、線性多步法北京郵電大學數學系74、數值公式的精度

當一個數值公式的截斷誤差可表示為o(hk)時(k為正整數，h為步長)，稱它是一個k階公式。k越大，則數值公式的精度越高。歐拉法是一階公式，改進的歐拉法是二階公式。線性多步法有四階阿達姆斯外插公式和內插公式。北京郵電大學數學系74、數值公式的精度當一個數北京郵電大學數學系8[t，x]=solver(‘f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf為自變量的初值和終值函數初值條件自變量值函數值用于設定誤差限(缺省時設定相對誤差10-3,絕對誤差10-6),命令為：options=odeset(’reltol’,rt,’abstol’,at),rt,at：分別為設定的相對誤差和絕對誤差.(三)用Matlab軟件求常微分方程的數值解[t,x]=ode23(‘f’,ts,x0)3級2階龍格-庫塔公式[t,x]=ode45(@f,ts,x0)5級4階龍格-庫塔公式北京郵電大學數學系8[t，x]=solver(‘f’,北京郵電大學數學系91、在解n個未知函數的方程組時，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應以x的分量形式寫成.2、使用Matlab軟件求數值解時，高階微分方程必須等價地變換成一階微分方程組.注意:北京郵電大學數學系91、在解n個未知函數的方程組時，x0和x北京郵電大學數學系10設取步長，從到用四階龍格-庫塔方法微分方程求解實例求解初值問題h=0.2;ts=0:h:1;y0=1;[t,x]=ode45('dfun1',ts,y0);[t,x],plot(t,x)functiondx=dfun1(x,y)dx=y-2*x/y;01.00000.20001.18320.40001.34160.60001.48320.80001.61251.00001.7321建立m-文件dfun1.m如下輸入命令3、結果如圖北京郵電大學數學系10設取步長北京郵電大學數學系11解:

令y1=x，y2=y1’,1、建立m-文件dfun2.m如下：functiondx=dfun2(t,y)dx=[y(2);(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];例則微分方程變為一階微分方程組：[t,y]=ode45(@dfun2,[0,20],[2,0]);[t,y]plot(t,y(:,1),'r-',t,y(:,2),'b.-');holdonplot(y(:,1),y(:,2),'co');holdofflegend('t~x','t~x`','x~y');2、取t0=0,tf=20,輸入命令：北京郵電大學數學系11解:令y1=x，y2=y1’,1、北京郵電大學數學系123、結果如圖[t,x]=ode45(@dfun2,[0,20],[2,0])plot(t,x(:,1),'r-',t,x(:,2),'b.-');holdonplot(x(:,1),x(:,2),'co');holdofflegend('t~x','t~x`','x~y');北京郵電大學數學系123、結果如圖[t,x]=ode45(@北京郵電大學數學系13

描述對象特征隨時間(空間)的演變過程

分析對象特征的變化規律

預報對象特征的未來性態

研究控制對象特征的手段

根據函數及其變化率之間的關系確定函數微分方程建模

根據建模目的和問題分析作出簡化假設

按照內在規律或用類比法建立微分方程動態模型北京郵電大學數學系13描述對象特征隨時間(空間)的演變過程北京郵電大學數學系145.1傳染病模型

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數的變化規律

預報傳染病高潮到來的時刻

預防傳染病蔓延的手段

本世紀初,瘟疫常在世界上某地流行,隨著人類文明的不斷進步,很多疾病,諸如天花、霍亂已經得到有效的控制.然而,即使在今天,一些貧窮的發展中國家，仍出現傳染病流行的現象,醫療衛生部門的官員與專家所關注的問題是：問題提出感染疾病的人數與哪些因素有關?北京郵電大學數學系145.1傳染病模型描述傳染病的傳北京郵電大學數學系15問題分析

不同類型傳染病的傳播過程有不同的特點,故不從醫學的角度對各種傳染病的傳播過程一一進行分析，而是按一般的傳播機理建立模型．

由于傳染病在傳播的過程涉及因素較多，在分析問題的過程中，不可能通過一次假設建立完善的數學模型.思路：針對結果中的不合理之處，逐步修改假設，最終得出較好的模型。先做出最簡單的假設，對得出的結果進行分析，北京郵電大學數學系15問題分析不同類型傳染病的傳北京郵電大學數學系16模型一模型假設：（1）一人得病后，久治不愈，人在傳染期內不會死亡。(2)假設每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數為

設已感染人數(病人)x(t),假設是連續可微函數建模?北京郵電大學數學系16模型一模型假設：(2)假設每個病人每北京郵電大學數學系17舉個實例x=0:0.1:10;y=exp(x);plot(x,y,'b-');最初只有1個病人，1個病人一天可傳染1個人exp(10)=22026北京郵電大學數學系17舉個實例x=0:0.1:10;最初只有北京郵電大學數學系18被傳染的機會也減少，于是將變小。若有效接觸的是病人，則不能使病人數增加必須區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)模型缺點問題：隨著時間的推移，病人的數目將無限增加，這一點與實際情況不符．模型修改的關鍵：的變化規律原因：當不考慮傳染病期間的出生、死亡和遷移時，一個地區的總人數可視為常數,在傳染病流行初期，較大，因此應為時間t的函數。隨著病人的增多，健康人數減少,北京郵電大學數學系18被傳染的機會也減少，于是將變小。若有北京郵電大學數學系19模型2區分未感染者(健康人)和已感染者(病人)假設1）總人數N不變，健康人和病人的比例分別為2）每個病人每天有效接觸人數為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型SusceptibleInfective北京郵電大學數學系19模型2區分未感染者(健康人)和已感染者北京郵電大學數學系20Logistic模型方程的解：傳染病患者比例與時間t關系傳染病人數的變化率與患者比率i的關系染病人數由開始到高峰并逐漸達到穩定增長速度由低增至最高后降落下來對模型作進一步分析i~t感染病人占一半時傳染率最大！北京郵電大學數學系20Logistic模型方程的解：傳染病北京郵電大學數學系21模型21/2tmtm~傳染病高潮到來時刻(日接觸率)tm，推遲傳染高峰的到來,即改善保健措施,提高衛生水平可推遲傳染病高潮到來.t=tm,(i=1/2),di/dt最大病人最多的一天日接觸率表示該地區的衛生水平，越小衛生水平越高。i~t北京郵電大學數學系21模型21/2tmtm~傳染病高潮到來時北京郵電大學數學系22模型的缺點缺點：當t→∞時，i(t)→1，這表示所有的人最終都將成為病人，這一點與實際情況也不符原因：這是由假設(1)所導致，沒有考慮病人可以治愈及病人病發身亡的情況。思考題：考慮有病人病發身亡的情況，再對模型進行修改。北京郵電大學數學系22模型的缺點缺點：當t→∞時，i(t)北京郵電大學數學系23傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設SIS模型3）病人平均每天治愈總病人數的比例為~日治愈率模型3每天治愈的病人為μNi

；病人治愈后成為仍可被感染的健康者。健康者和病人在總人數中所占的比例分別為s(t)、i(t)，則：s(t)+i(t)＝1(1/μ稱為傳染病的平均傳染期)北京郵電大學數學系23傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，北京郵電大學數學系24建模~日接觸率1/~感染期解析法可求解該模型方程的解=北京郵電大學數學系24建模~日接觸率1/~感染期解北京郵電大學數學系25模型討論~一個感染期內每個病人的有效接觸人數，稱為接觸數1-1/idi/dt01>1i0i00ti>11-1/闕值北京郵電大學數學系25模型討論~一個感染期內每個病人北京郵電大學數學系26i0i00ti>11-1/是因為隨著傳染期內被傳染人數占當時健康人數的比例的增加，當時的病人數所占比例也隨之上升當σ增大時，i(∞)也增大，北京郵電大學數學系26i0i00ti>11-1/是因為北京郵電大學數學系27控制有效接觸（隔離的效果）將最終消滅傳染病。原因：感染期內有效接觸使健康人數變成的病人人數不超過把病人治愈的人數。模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例i0i0t1di/dt<0因此接觸數=1~閾值(沒有康復的)隔離北京郵電大學數學系27控制有效接觸（隔離的效果）將最終消滅傳北京郵電大學數學系28傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統，稱移出者SIR模型假設1）總人數N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率,

接觸數=/建模需建立的兩個方程模型4某些傳染病如麻疹等，治愈后均有很強的免疫力,所以病愈的人既非健康人，也非病人。SusceptibleInfectiveRemoved北京郵電大學數學系28傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染北京郵電大學數學系29SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質is~北京郵電大學數學系29SIR模型無法求出北京郵電大學數學系30該方程組無法得到解析解，只能用數值計算的方法。在討論方程組解的性質時，通常需要用到兩個概念：所謂解曲線就是方程組的解相軌線就是將時間參數t消去后得到的i與s的關系曲線解曲線和相軌線解曲線和相軌線北京郵電大學數學系30該方程組無法得到解析解，只能用數值計算北京郵電大學數學系31s~i模型數值解functiondx=dfill(t,x)a=1;b=0.3;dx=[a*x(2)*x(1)-b*x(1);-a*x(2)*x(1)];ts=0:50;x0=[0.02,0.98];[t,x]=ode45('dfill',ts,x0);[t,x]plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),gridpause,plot(x(:,2),x(:,1)),gridis0.02000.98000.03900.95250.07320.90190.12850.81690.27950.54380.33120.3995

0.34440.28390.32470.2027…

0.00010.03990.00000.0398北京郵電大學數學系31s~i模型數值解functiondx北京郵電大學數學系32消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內作相軌線的圖形，進行分析北京郵電大學數學系32消去dtSIR模型相軌線北京郵電大學數學系33模型結果分析1、不論初始條件如何，病人總要消失首先由模型知其次北京郵電大學數學系33模型結果分析1、不論初始條件北京郵電大學數學系34相軌線及其分析si101DSIR模型傳染病有蔓延過程傳染病不蔓延s(t)單調減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調降至01/

~是傳染病蔓延與否的閾值P3P4P2S0北京郵電大學數學系34相軌線及其分析si北京郵電大學數學系35預防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛生水平(日治愈率)醫療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/

降低s0提高r0

提高閾值1/

降低(=/),群體免疫與預防北京郵電大學數學系35預防傳染病蔓延的手段(日接觸率)北京郵電大學數學系36的估計相軌線一次傳染病結束后，可估計出~一個感染期內每個病人的有效接觸人數，稱為接觸數北京郵電大學數學系36的估計相軌線一次傳染病結束后，可估北京郵電大學數學系37被傳染人數的估計記被傳染人數比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高閾值1/降低被傳染人數比例xs0-1/=當

<<1/時,即*1/<<1

北京郵電大學數學系37被傳染人數的估計記被傳染人數比例x<<北京郵電大學數學系38練習求解剛性方程的命令:ode23s,ode15s等(用法相同)設某城市共有n+1人，其中一人出于某種目的編造了一個謠言。該城市具有初中以上文化程度的人占總人數的一半，這些人只有1/4相信這一謠言，而其他人約有1/3會相信。又設凡相信此謠言的人每人在單位時間內傳播的平均人數正比于當時尚未聽說此謠言的人數，而不相信此謠言的人不傳播謠言。試建立一個反映謠傳情況的微分方程模型。思考題1北京郵電大學數學系38練習求解剛性方程的命令:ode2北京郵電大學數學系390.990000000000000.000427240732680.000569654310241.000000000000000.000427316134890.00056975484653functiondf=dfrumor(t,x)d1=1/2;dxin=1/4;x1=1/2;xxin=1/3;chuan=1/100;df=zeros(2,1);df=[chuan*d1*dxin*(1-x(1)-x(2));chuan*x1*xxin*(1-x(1)-x(2))];凡相信此謠言的人每人在單位時間內傳播的平均人數正比:chuan初中以上文化程度的人比例:d1;這些人相信這一謠言的比例:dxin;初中以下文化程度的人比例:x1;這些人相信這一謠言的比例:xxin;ts=0:10:1000;x0=[0,0];[t,x]=ode45(@dfrumor,ts,x0);formatlong[t,x]北京郵電大學數學系390.99000000000000北京郵電大學數學系40第五章微分方程模型常微分方程的數值解5.1傳染病模型北京郵電大學數學系1第五章微分方程模型常微分方程的數值北京郵電大學數學系41常微分方程的數值解及實驗在生產和科研中所處理的微分方程往往很復雜且大多得不出一般解。而在實際上對初值問題，一般是要求得到解在若干個點上滿足規定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便于計算的表達式。高數中微分方程解法在實際中基本不會直接使用(一)常微分方程數值解因此，研究常微分方程的數值解法十分必要。北京郵電大學數學系2常微分方程的數值解及實驗在生產和科研中所北京郵電大學數學系421、用差商代替導數

若步長h較小，則有故有公式：此即歐拉法(向前歐拉法).(二)建立數值解法的一些途徑對應有隱式歐拉法北京郵電大學數學系31、用差商代替導數若步長h較小，則有北京郵電大學數學系432、使用數值積分對方程y’=f(x,y),兩邊由xi到xi+1積分,并利用梯形公式,有實際應用時，與歐拉公式結合使用故有公式梯形方法/*trapezoidformula*/此即改進的歐拉法北京郵電大學數學系42、使用數值積分對方程y’=f(x,y)北京郵電大學數學系44中點歐拉公式/*midpointformula*/中心差商近似導數x0x2x1北京郵電大學數學系5中點歐拉公式/*midpoint453、使用泰勒公式以此方法為基礎，有龍格-庫塔法、線性多步法等方法庫塔三階方法四階龍格-庫塔公式63、使用泰勒公式以此方法為基礎，有龍格-庫塔法、線性多步法北京郵電大學數學系464、數值公式的精度

當一個數值公式的截斷誤差可表示為o(hk)時(k為正整數，h為步長)，稱它是一個k階公式。k越大，則數值公式的精度越高。歐拉法是一階公式，改進的歐拉法是二階公式。線性多步法有四階阿達姆斯外插公式和內插公式。北京郵電大學數學系74、數值公式的精度當一個數北京郵電大學數學系47[t，x]=solver(‘f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf為自變量的初值和終值函數初值條件自變量值函數值用于設定誤差限(缺省時設定相對誤差10-3,絕對誤差10-6),命令為：options=odeset(’reltol’,rt,’abstol’,at),rt,at：分別為設定的相對誤差和絕對誤差.(三)用Matlab軟件求常微分方程的數值解[t,x]=ode23(‘f’,ts,x0)3級2階龍格-庫塔公式[t,x]=ode45(@f,ts,x0)5級4階龍格-庫塔公式北京郵電大學數學系8[t，x]=solver(‘f’,北京郵電大學數學系481、在解n個未知函數的方程組時，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應以x的分量形式寫成.2、使用Matlab軟件求數值解時，高階微分方程必須等價地變換成一階微分方程組.注意:北京郵電大學數學系91、在解n個未知函數的方程組時，x0和x北京郵電大學數學系49設取步長，從到用四階龍格-庫塔方法微分方程求解實例求解初值問題h=0.2;ts=0:h:1;y0=1;[t,x]=ode45('dfun1',ts,y0);[t,x],plot(t,x)functiondx=dfun1(x,y)dx=y-2*x/y;01.00000.20001.18320.40001.34160.60001.48320.80001.61251.00001.7321建立m-文件dfun1.m如下輸入命令3、結果如圖北京郵電大學數學系10設取步長北京郵電大學數學系50解:

令y1=x，y2=y1’,1、建立m-文件dfun2.m如下：functiondx=dfun2(t,y)dx=[y(2);(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];例則微分方程變為一階微分方程組：[t,y]=ode45(@dfun2,[0,20],[2,0]);[t,y]plot(t,y(:,1),'r-',t,y(:,2),'b.-');holdonplot(y(:,1),y(:,2),'co');holdofflegend('t~x','t~x`','x~y');2、取t0=0,tf=20,輸入命令：北京郵電大學數學系11解:令y1=x，y2=y1’,1、北京郵電大學數學系513、結果如圖[t,x]=ode45(@dfun2,[0,20],[2,0])plot(t,x(:,1),'r-',t,x(:,2),'b.-');holdonplot(x(:,1),x(:,2),'co');holdofflegend('t~x','t~x`','x~y');北京郵電大學數學系123、結果如圖[t,x]=ode45(@北京郵電大學數學系52

描述對象特征隨時間(空間)的演變過程

分析對象特征的變化規律

預報對象特征的未來性態

研究控制對象特征的手段

根據函數及其變化率之間的關系確定函數微分方程建模

根據建模目的和問題分析作出簡化假設

按照內在規律或用類比法建立微分方程動態模型北京郵電大學數學系13描述對象特征隨時間(空間)的演變過程北京郵電大學數學系535.1傳染病模型

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數的變化規律

預報傳染病高潮到來的時刻

預防傳染病蔓延的手段

本世紀初,瘟疫常在世界上某地流行,隨著人類文明的不斷進步,很多疾病,諸如天花、霍亂已經得到有效的控制.然而,即使在今天,一些貧窮的發展中國家，仍出現傳染病流行的現象,醫療衛生部門的官員與專家所關注的問題是：問題提出感染疾病的人數與哪些因素有關?北京郵電大學數學系145.1傳染病模型描述傳染病的傳北京郵電大學數學系54問題分析

不同類型傳染病的傳播過程有不同的特點,故不從醫學的角度對各種傳染病的傳播過程一一進行分析，而是按一般的傳播機理建立模型．

由于傳染病在傳播的過程涉及因素較多，在分析問題的過程中，不可能通過一次假設建立完善的數學模型.思路：針對結果中的不合理之處，逐步修改假設，最終得出較好的模型。先做出最簡單的假設，對得出的結果進行分析，北京郵電大學數學系15問題分析不同類型傳染病的傳北京郵電大學數學系55模型一模型假設：（1）一人得病后，久治不愈，人在傳染期內不會死亡。(2)假設每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數為

設已感染人數(病人)x(t),假設是連續可微函數建模?北京郵電大學數學系16模型一模型假設：(2)假設每個病人每北京郵電大學數學系56舉個實例x=0:0.1:10;y=exp(x);plot(x,y,'b-');最初只有1個病人，1個病人一天可傳染1個人exp(10)=22026北京郵電大學數學系17舉個實例x=0:0.1:10;最初只有北京郵電大學數學系57被傳染的機會也減少，于是將變小。若有效接觸的是病人，則不能使病人數增加必須區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)模型缺點問題：隨著時間的推移，病人的數目將無限增加，這一點與實際情況不符．模型修改的關鍵：的變化規律原因：當不考慮傳染病期間的出生、死亡和遷移時，一個地區的總人數可視為常數,在傳染病流行初期，較大，因此應為時間t的函數。隨著病人的增多，健康人數減少,北京郵電大學數學系18被傳染的機會也減少，于是將變小。若有北京郵電大學數學系58模型2區分未感染者(健康人)和已感染者(病人)假設1）總人數N不變，健康人和病人的比例分別為2）每個病人每天有效接觸人數為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型SusceptibleInfective北京郵電大學數學系19模型2區分未感染者(健康人)和已感染者北京郵電大學數學系59Logistic模型方程的解：傳染病患者比例與時間t關系傳染病人數的變化率與患者比率i的關系染病人數由開始到高峰并逐漸達到穩定增長速度由低增至最高后降落下來對模型作進一步分析i~t感染病人占一半時傳染率最大！北京郵電大學數學系20Logistic模型方程的解：傳染病北京郵電大學數學系60模型21/2tmtm~傳染病高潮到來時刻(日接觸率)tm，推遲傳染高峰的到來,即改善保健措施,提高衛生水平可推遲傳染病高潮到來.t=tm,(i=1/2),di/dt最大病人最多的一天日接觸率表示該地區的衛生水平，越小衛生水平越高。i~t北京郵電大學數學系21模型21/2tmtm~傳染病高潮到來時北京郵電大學數學系61模型的缺點缺點：當t→∞時，i(t)→1，這表示所有的人最終都將成為病人，這一點與實際情況也不符原因：這是由假設(1)所導致，沒有考慮病人可以治愈及病人病發身亡的情況。思考題：考慮有病人病發身亡的情況，再對模型進行修改。北京郵電大學數學系22模型的缺點缺點：當t→∞時，i(t)北京郵電大學數學系62傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設SIS模型3）病人平均每天治愈總病人數的比例為~日治愈率模型3每天治愈的病人為μNi

；病人治愈后成為仍可被感染的健康者。健康者和病人在總人數中所占的比例分別為s(t)、i(t)，則：s(t)+i(t)＝1(1/μ稱為傳染病的平均傳染期)北京郵電大學數學系23傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，北京郵電大學數學系63建模~日接觸率1/~感染期解析法可求解該模型方程的解=北京郵電大學數學系24建模~日接觸率1/~感染期解北京郵電大學數學系64模型討論~一個感染期內每個病人的有效接觸人數，稱為接觸數1-1/idi/dt01>1i0i00ti>11-1/闕值北京郵電大學數學系25模型討論~一個感染期內每個病人北京郵電大學數學系65i0i00ti>11-1/是因為隨著傳染期內被傳染人數占當時健康人數的比例的增加，當時的病人數所占比例也隨之上升當σ增大時，i(∞)也增大，北京郵電大學數學系26i0i00ti>11-1/是因為北京郵電大學數學系66控制有效接觸（隔離的效果）將最終消滅傳染病。原因：感染期內有效接觸使健康人數變成的病人人數不超過把病人治愈的人數。模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例i0i0t1di/dt<0因此接觸數=1~閾值(沒有康復的)隔離北京郵電大學數學系27控制有效接觸（隔離的效果）將最終消滅傳北京郵電大學數學系67傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統，稱移出者SIR模型假設1）總人數N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率,

接觸數=/建模需建立的兩個方程模型4某些傳染病如麻疹等，治愈后均有很強的免疫力,所以病愈的人既非健康人，也非病人。SusceptibleInfectiveRemoved北京郵電大學數學系28傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染北京郵電大學數學系68SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質is~北京郵電大學數學系29SIR模型無法求出北京郵電大學數學系69該方程組無法得到解析解，只能用數值計算的方法。在討論方程組解的性質時，通常需要用到兩個概念：所謂解曲線就是方程組的解相軌線就是將時間參數t消去后得到的i與s的關系曲線解曲線和相軌線解曲線和相軌線北京郵電大學數學系30該方程組無法得到解析解，只能用數值計算北京郵電大學數學系70s~i模型數值解functiondx=dfill(t,x)a=1;b=0.3;dx=[a*x(2)*x(1)-b*x(1);-a*x(2)*x(1)];ts=0:50;x0=[0.02,0.98];[t,x]=ode45('dfill',ts,x0);[t,x]plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),gridpause,plot(x(:,2),x(:,1)),gridis0.02000.98000.03900.95250.07320.90190.12850.81690.27950.54380.33120.3995

0.34440.28390.32470.2027…

0.00010.03990.00000.0398北京郵電大學數學系31s~i模型數值解functiondx北京郵電大學數學系71消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內作相軌線