2022-2023學年安徽省蕪湖市成考專升本高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(50題)1.

2.微分方程y'+y=0的通解為()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

3.微分方程y"-y'=0的通解為()。A.

B.

C.

D.

4.

5.函數等于()．

A.0B.1C.2D.不存在

6.A.A.

B.

C.

D.

7.A.A.arctanx2

B.2xarctanx

C.2xarctanx2

D.

8.設y=sin2x，則y'等于()．A.A.-cos2xB.cos2xC.-2cos2xD.2cos2x

9.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.無法確定斂散性

10.

11.

12.設f(x)為連續函數，則等于()．A.A.f(x2)B.x2f(x2)C.xf(x2)D.2xf(x2)

13.

14.

15.

16.設球面方程為(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=4，則該球的球心坐標與半徑分別為()A.(-1，2，-3)；2B.(-1，2，-3)；4C.(1，-2，3)；2D.(1，-2，3)；4

17.

18.A.eB.e-1

C.e2

D.e-2

19.A.A.π/4

B.π/2

C.π

D.2π

20.設y=f(x)在[0，1]上連續，且f(0)>0，f(1)<0，則下列選項正確的是

A.f(x)在[0，1]上可能無界

B.f(x)在[0，1]上未必有最小值

C.f(x)在[0，1]上未必有最大值

D.方程f(x)=0在(0，1)內至少有一個實根

21.

22.設f(x)為區間[a，b]上的連續函數，則曲線y=f(x)與直線x=a，x=b，y=0所圍成的封閉圖形的面積為()。A.

B.

C..

D.不能確定

23.設y1(x)，y2(x)二階常系數線性微分方程y＋py＋qy=0的兩個線性無關的解，則它的通解為（）A.A.y1(x)＋c2y2(x)

B.c1y1(x)＋y2(x)

C.y1(x)＋y2(x)

D.c1y1(x)＋c2y2(x)注．c1，C2為任意常數．

24.

25.

26.A.A.發散B.絕對收斂C.條件收斂D.收斂性與k有關

27.A.

B.

C.－cotx＋C

D.cotx＋C

28.（）。A.

B.

C.

D.

29.f(x)在[a，b]上可導是f(x)在[a，b]上可積的()。

A.充要條件B.充分條件C.必要條件D.無關條件

30.

31.微分方程y'＋x=0的通解（）。A.

B.

C.

D.

32.

33.微分方程y＋y＝0的通解為（）．A.A.

B.

C.

D.

34.下列關系正確的是（）。A.

B.

C.

D.

35.

36.()A.A.發散B.條件收斂C.絕對收斂D.斂散性不能確定

37.

38.

39.

40.

A.0

B.

C.1

D.

41.微分方程y"-y=ex的一個特解應具有的形式為(下列各式中α、b為常數)。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

42.

A.1

B.

C.0

D.

43.微分方程y'+y=0的通解為y=A.e-x+C

B.-e-x+C

C.Ce-x

D.Cex

44.下列反常積分收斂的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

45.

46.直線l與x軸平行，且與曲線y=x-ex相切，則切點的坐標是（）A.A.(1，1)

B.(-1，1)

C.(0，-l)

D.(0，1)

47.

[]A.e-x+C

B.-e-x+C

C.ex+C

D.-ex+C

48.

49.A.2B.2xC.2yD.2x+2y

50.設函數f(x)=2lnx+ex,則f'(2)等于

A.eB.1C.1+e2

D.ln2二、填空題(20題)51.

52.冪級數的收斂半徑為______．53.

54.設f(x)=xex，則f'(x)__________。

55.56.

57.

58.

59.設z=sin(y+x2)，則．60.設y＝f(x)在點x＝0處可導，且x＝0為f(x)的極值點，則f(0)＝．

61.

62.

63.

64.設y=cosx，則y'=______

65.

66.

67.

68.

69.

70.三、計算題(20題)71.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

72.

73.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．74.求微分方程的通解．75.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．76.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

77.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

78.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．79.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

80.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

81.

82.83.

84.85.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則86.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．87.證明：88.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．89.

90.

四、解答題(10題)91.設f(x)為連續函數，且

92.

93.設函數y=xlnx,求y''.

94.

95.96.97.98.設平面薄片的方程可以表示為x2+y2≤R2，x≥0，薄片上點(x，y)處的密度，求該薄片的質量M．

99.(本題滿分10分)

100.五、高等數學(0題)101.f(x)在x=0的某鄰域內一階導數連續且則()。A.x=0不是f(x)的極值點B.x=0是f(x)的極大值點C.x=0是f(x)的極小值點D.x=0是f(x)的拐點六、解答題(0題)102.

參考答案

1.A

2.D可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作一階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解。解法1將方程認作可分離變量方程。分離變量

兩端分別積分

或y=Ce-x解法2將方程認作一階線性微分方程．由通解公式可得解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：特征方程為r+1=0，特征根為r=-1，方程通解為y=Ce-x。

3.B本題考查的知識點為二階常系數齊次微分方程的求解。微分方程為y"-y'=0特征方程為r2-r=0特征根為r1=1，r2=0方程的通解為y=C1ex+c2可知應選B。

4.A

5.C解析：

6.C

7.C

8.D本題考查的知識點為復合函數求導數的鏈式法則．

Y=sin2x，

則y'=cos(2x)·(2x)'=2cos2x．

可知應選D．

9.A

10.B

11.D解析：

12.D解析：

13.D

14.D

15.B

16.C

17.C

18.C

19.B

20.D

21.A

22.B本題考查的知識點為定積分的幾何意義。由定積分的幾何意義可知應選B。常見的錯誤是選C。如果畫個草圖，則可以避免這類錯誤。

23.D

24.C

25.C解析：

26.C

27.C本題考查的知識點為不定積分基本公式．

28.A

29.B∵可導一定連續，連續一定可積；反之不一定。∴可導是可積的充分條件

30.D

31.D所給方程為可分離變量方程．

32.D

33.D本題考查的知識點為－階微分方程的求解．

可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作－階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解．

解法1將方程認作可分離變量方程．

解法2將方程認作－階線性微分方程．由通解公式可得

解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：

特征方程為r＋1＝0，

特征根為r＝－1，

34.C本題考查的知識點為不定積分的性質。

35.D

36.C

37.A

38.C

39.A

40.A

41.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根為r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由項f1(x)=ex，α=1是特征單根，故應設定y*=αxex，因此選B。

42.B

43.C

44.DA，∫1+∞xdx==∞發散；

45.B

46.C

47.B

48.D

49.A

50.C本題考查了函數在一點的導數的知識點.

因f(x)=2lnx+ex,于是f'(x)=2/x+ex,故f'(2)=1+e2.

51.52.0本題考查的知識點為冪級數的收斂半徑．

所給冪級數為不缺項情形

因此收斂半徑為0．53.1/2本題考查的知識點為極限運算．

由于

54.(1+x)ex55.1．

本題考查的知識點為反常積分，應依反常積分定義求解．

56.0

本題考查的知識點為無窮小量的性質．

57.

58.59.2xcos(y+x2)本題考查的知識點為二元函數的偏導數計算．

可以令u=y+x2，得z=sinu，由復合函數偏導數的鏈式法則得

60.0．

本題考查的知識點為極值的必要條件．

由于y＝f(x)在點x＝0可導，且x＝0為f(x)的極值點，由極值的必要條件可知有f(0)＝0．

61.(-∞2)(-∞,2)解析：

62.

解析：63.±1．

本題考查的知識點為判定函數的間斷點．

64.-sinx

65.

66.

67.

68.

69.

本題考查的知識點為二重積分的計算．70.0．

本題考查的知識點為連續函數在閉區間上的最小值問題．

通常求解的思路為：

71.

72.由一階線性微分方程通解公式有

73.

列表：

說明

74.

75.76.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

77.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

78.

79.函數的定義域為

注意

80.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

81.

82.

83.

則

84.85.由等價無窮小量的定義可知

86.

87.

88.由二重積分物理意義知

89.

90.

91.設，則f(x)=x3+3Ax．將上式兩端在[0，1]上積分，得

因此

本題考查的知識點為兩個：定積分表示一個確定的數值；計算定積分．

由于定積分存在，因此它表示一個確定的數值，設，則

f(x)=x3+3Ax．

這是解題的關鍵!為了能求出A，可考慮將左端也轉化為A的表達式，為此將上式兩端在[0，1]上取定積分，可得

得出A的方程，可解出A，從而求得f(x)．

本題是考生感到困難的題目，普遍感到無從下手，這是因為不會利用“定積分表示一個數值”的性質．

這種解題思路可以推廣到極限、二重積分等問題中．

92.

93.

94.

95.

96.

97