1基本思路:求解常系數(shù)齊次線性微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉化5.7

常系數(shù)齊次線性微分方程

21、二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②其根稱為特征根.31）.當②有兩個相異實根則微分方程有兩個線性無關的特解:因此方程的通解為時,42）.

特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為53）.當時,

特征方程有一對共軛復根這時原方程有兩個復數(shù)解:

利用解的疊加原理,得原方程的線性無關特解:因此原方程的通解為6綜上，特征方程:實根特征根通解以上結論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.7例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為8（2）若特征方程含k

重實根r,則其通解中必含對應項特征方程:2、推廣到n階常系數(shù)齊次線性微分方程:（1）若特征方程含單根r,則其通解中必含對應項9（4）若特征方程含k

重復根則其通解中必含對應項（3）若特征方程含一對單復根則其通解中必含對應項10注意：n次代數(shù)方程有n個根,而特征方程的每一個根都對應著通解中的一項,且每一項各一個任意常數(shù).11例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例4.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解12例5.解:特征方程:即其根為方程通解:13例6.解:

特征方程:特征根為則方程通解

:14小結特征根:(1)當時,通解為(2)當時,通解為(3)當時,通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.15n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對應項16思考與練習

求方程的通解.答案:通解為通解為通解為175.8常系數(shù)非齊次線性微分方程

18二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結構定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法19為實數(shù),設特解為其中為待定多項式

,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m

次多項式.Q(x)為

m次待定系數(shù)多項式20(2)若是特征方程的單根,為m

次多項式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,是m

次多項式,故特解形式為即即21綜上，對方程①,此結論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程

.當是特征方程的k重根時,可設特解22例.的一個特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為23例.的通解.

解:特征方程為其根為對應齊次方程的通解為設非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為24例.求解定解問題解:本題特征方程為其根為設非齊次方程特解為代入方程得故故對應齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得25于是所求解為解得26第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點27第一步利用歐拉公式將f(x)變形28

第二步

求如下兩方程的特解

是特征方程的

k

重根(

k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設則②有特解:29第三步

求原方程的特解

利用第二步的結果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為

m

次多項式.30第四步分析因均為

m

次實多項式.本質上為實函數(shù),31綜上:對非齊次方程則可設特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結論也可推廣到高階方程的情形.32例.

的一個特解

.解:本題特征方程故設特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個特解33例.

的通解.

解:特征方程為其根為對應齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設非齊次方程特解為34例.解:(1)特征方程有二重根所以設非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設非齊次方程特解為設出下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:35內容小結為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設特解為3.上述結論也可推廣到高階方程的情形.36思考與練習時可設特解為時可設特解為提示:1.(填空)

設372.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應齊次方程通解:原方程通解為38解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程.的方程(其中形如叫歐拉方程.為常數(shù))特點：各項未知函數(shù)導數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同．*三、歐拉方程39作變量變換將自變量換為40用表示對自變量求導的運算上述結果可以寫為41將上式代入歐拉方程，則化為以為自變量的常系數(shù)線性微分方程.求出這個方程的解后，把換為，即得到原方程的解.一般地，例求歐