5例6.利用函數圖像判斷函數f(x)x1；g(x)2x； h(x) 2xx1在［-3,3］上的單調性。分析：觀察三個函數，易見h(x)f(x)g(x),作圖一般步驟為列表、描點、作圖。首先作出f(x)x和g(x)2x的圖像，再利用物理學上波的疊加就可以大致作出 h(x) 2xx1的圖像，最后利用圖像判斷函數h(x)2xx1的單調性。解：作圖像1-2如下所示：由以上函數圖像得知函數 f(x)x1在閉區間［-3,3］上是單調增函數；g(x)2x在閉區間［-3,3］上是單調增函數；利用物理上波的疊加可以直接大致作出 h(x) 2xx1在閉區間［-3,3］上圖像，即h(x)2xx1在閉區間［-3,3］上是單調增函數。事實上本題中的三個函數也可以直接用函數性質法判斷其單調性。用函數圖像法判斷函數單調性比較直觀，函數圖像能夠形象的表示出隨著自變量的增加，相應的函數值的變化趨勢，但作圖通常較煩。對于較容易作出圖像的函數用圖像法比較簡單直觀，可以類似物理上波的疊加來大致畫出圖像。而對于不易作圖的函數就不太適用了。但如果我們借助于相關的數學軟件去作函數的圖像，那么用圖像法判斷函數單調性是非常簡單方便的。復合函數單調性判斷法定理1：若函數yf(u)在U內單調，ug(x)在X內單調，且集合{u|ug(x),xX}U(1)若yf(u)是增函數，ug(x)是增(減)函數，則yf［g(x)］是增(減)函數。(2)若yf(u)是減函數，ug(x)是增(減)函數，則yf［g(x)］是減(增)函數。歸納此定理，可得口訣：同則增，異則減(同增異減)

復合函數單調性的四種情形可列表如下:'''''函數單調性第①種情形第②種情形第③種情形第④種情形內層函數ug(x)外層函數yf(u)復合函數yf[g(x)]顯然對于大于2次的復合函數此法也成立。推論：若函數yf(x)是K(K>2),KN)個單調函數復合而成其中有 mK個減函數:①當m2k1時，則yf(x)是減函數；②當m2k時，則y f(x)是增函數。判斷復合函數yf[g(x)]的單調性的一般步驟：⑴合理地分解成兩個基本初等函數 yf(u),ug(x);⑵分別解出兩個基本初等函數的定義域；⑶分別確定單調區間；⑷若兩個基本初等函數在對應區間上的單調性是同時單調遞增或同單調遞減，則 yf[g(x)]為增函數,若為一增一減，則yf[g(x)]為減函數(同增異減)；⑸求出相應區間的交集，既是復合函數 yf[g(x)]的單調區間。以上步驟可以用八個字簡記“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解決一些復合函數的單調性問題。0且a1)的單調區間。例7.求f(x)loga(3x25x2)(0且a1)的單調區間。解：由題可得函數f(x)由題知函數f(x)的定義域是(loga(3x25x2)是由外函數ylogau和內函數u3x2解：由題可得函數f(x)由題知函數f(x)的定義域是(1，2)(1,

1，2)(1,

3)。內函數u3x5x2在(-,)內為增函數，在(，2)

3內為減函數。①若a1,外函數ylogau為增函數，由同增異減法則，故函數f(x)在(1 )上是增函數；函數f(x)3，在，2上是減函數。②若0a1,外函數ylogau為減函數，由同增異減法則，故函數f(x)在(1 )上是減函數；函數3，f(x)在，2上是增函數。2.判斷抽象函數單調性的方法如果一個函數沒有給出具體解析式，那么這樣的的函數叫做抽象函數。抽象函數沒有具體的解析式，需充分提取題目條件給出的信息。定義法通過作差(或者作商)，根據題目提出的信息進行變形， 然后與0(或者1)比較大小關系來判斷其函數單調性。通常有以下幾種方法：2.1.1湊差法根據單調函數的定義，設法從題目中“湊出” “f(x1)f(x2)”的形式，然后比較f(x1)”*2)與0的大小關系。例11.已知函數f(x)對任意實數m、n均有f(mn)f(m)f(n),且當m0時，f(m)0,試討論函數f(x)的單調性。解：由題得f(mn)f(m)f(n),令x1 m n,x2 m,且 x1 x2 ,n x1 x2 0又由題意當m0時，f(m)0 f(xjf(x2)f(n)0,所以函數f(x)為增函數。添項法弄清題目中的結構特點，采用加減添項或乘除添項，以達到能判斷“ f(x2)f(x1)”與0大小關系的目的。例12.(同例11)解:任取x1,x2 R,x1 x2，則x2 x1 0, f(x2) f(x1) f[(x2 x1) x1] f(x1)由題意函數f(x)對任意實數m、n均有f(mn)f(m)f(n),且當m0時,

f(m)0 f(X2)f(X1)f(X2X1)0,所以函數f(x)為增函數。增量法由單調性的定義出發,任取X1，X2由單調性的定義出發,任取X1，X2R,X1 X2設X2xi( 0),然后聯系題目提取的信息給出解答。例13.(同例11)解：任取X1,X2R,X1X2設x2X1(0)由題意函數f(x)對任意實數m、n均有f(mn)f(m)f(n)f(X2)f(X1)f(X1f(X1解：任取X1,X2R,X1X2設x2X1(0)由題意函數f(x)對任意實數m、n均有f(mn)f(m)f(n)f(X2)f(X1)f(X1f(X1)f(m0時,f(m)0f(X2)f(X1)f()0(0),所以函數f(X)為增函數。2.1.4放縮法利用放縮法，判斷f(X1)與f(X2)的大小關系，從而得f(X)在其定義域內的單調性。例14.已知函數f(X)的定義域為(0,+8),對任意正實數m、n均有f(mn)f(m)f(n),且當m1時0f(m)1,判斷函數f(X)的單調性.再由解：設0x1 x2,則X2X11又當m1時0f(m)1,故0f(世)1X1f(mn)f(m)f(n)中令m，一， 1 ,，一， 1 ,，X1時，一1,由f(1)X一一1 f(X)f(一)易知此時f(X)X1,故f(x)0恒成立。因此f(X2因此f(X2) f(X2X1) f(-X2-)f(X1)1f(X1) f(X1)X1X1f(X2)f(X1),觀察結構特點。即f(x)在(0,+°°)上為單調遞減函數。,觀察結構特點。X1,XX1,X2當X1X2時，容易得出f(X1)-f(X2)與0大小關系的函數。定義法是最直接的方法，思路也比較清晰，在解題中靈活選擇湊差法、添項法、增量法、放縮法等恰當的方法，可使解題過程更加簡單方便。列表法對于比較復雜的復合函數，除了用復合函數單調性判斷法外，還可以用列表，將各個函數的單調性都列出來，然后再判斷復合函數單調性。例15.已知yf(x)在R上是偶函數，且在[0,+ )上是增函數，求f(2x2)是減函數的區間解：列表如下函數表達式單調性(，衣)[<2,0)[0,<2)N'2)y2x2yf(u)yf(2x2)由表知f(2x2)是減函數的區間(,22),[0,<12)o利用列表法比較直觀，精確、易懂、量與量之間的關系又很明確。列表法在實際生活當中應用也是比較廣泛的。但是列表法也有其局限性：在于適用題型狹窄，求解范圍小，大部分是跟探尋規律或反映規律有關。函數單調性是函數的一個非常重要的性質，本文從單調性的定義入手，總結了判斷單調性的常見方法。本文把函數分為具體函數和抽象函數兩大類進行討論，對于每類函數都給出了判定單調性的若干方法。對于具體的函數，我們可以