專題07函數的綜合應用十年大數據*全景展示年份題號考點考查內容2011理12函數綜合應用本考查函數的圖像與性質反比例函數圖像、三角函數圖像、圖像平移、對稱性、數形結合思想等文12函數綜合應用考查對周期函數的理解、含絕對值的對數函數圖像及數形結合思想2013卷1理11文12函數綜合應用考查函數不等式恒成立求參數范圍問題的解法及轉化與化歸思想卷2文12函數綜合應用考查利用不等式成立求參數范圍問題的解法與化歸與轉化思想2015卷2文12函數綜合應用考查函數奇偶性與單調性的判斷及利用函數性質解函數不等式．卷2理11函數實際應用考查函數的實際應用問題，考查函數的圖像識別．2016卷2理12函數綜合應用主要考查函數的對稱性、利用函數的圖像與性質及利用這些性質解兩個函數交點的坐標之和問題，考查轉化與化歸思想卷2文12函數綜合應用主要考查函數的對稱性、二次函數圖像、利用這些性質求函數交點的橫坐標之和問題函數綜合問題2017卷3理12文12函數與方程主要考查利用導數研究已知函數有一個零點問題，考查化歸與轉化等數學思想．2018卷1理9函數與方程指數函數圖像、對數函數圖像、函數方程卷3理15函數與方程簡單三角方程、函數零點2019卷2理11函數綜合應用卷3文5函數與方程二倍角公式、簡單三角方程、函數零點大數據分析*預測高考考點出現頻率2021年預測函數與方程4/152021年高考仍將方程解得個數、函數零點個數、不等式整數解的結束、不等式恒成立與能成立為載體考查函數的綜合問題，考查數形結合與轉化與化歸思想，難度為中檔或難題．函數實際應用1/15函數的綜合應用10/15十年試題分類*探求規律考點23函數與方程1．（2020上海11）已知，若存在定義域為的函數同時滿足下列兩個條件，①對任意，的值為或；②關于的方程無實數解；則的取值范圍為．【答案】【解析】由和的圖象和函數的定義可知，若滿足的值為或，只有，，結合②可知若方程無實數解，則，故答案為：．2．（2020天津9）已知函數若函數恰有4個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【思路導引】由，結合已知，將問題轉化為與有個不同交點，分三種情況，數形結合討論即可得到答案．【解析】注意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根即可，令，即與的圖象有個不同交點．因為，當時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿足題意；當時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；當時，如圖3，當與相切時，聯立方程得，令得，解得（負值舍去），所以．綜上，的取值范圍為，故選D．3．（2019全國Ⅲ文5）函數在[0，2π]的零點個數為A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】解法一：函數在的零點個數，

即在區間的根個數，

即，令和，

作出兩函數在區間的圖像如圖所示，由圖可知，

?

和在區間的圖像的交點個數為3個．故選B．

解法二：因為，令，得，即或，解得．所以在的零點個數為3個．故選B．4．(2018全國卷Ⅰ，理9)已知函數．若存在2個零點，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】函數存在2個零點，即關于的方程有2個不同的實根，即函數的圖象與直線有2個交點，作出直線與函數的圖象，如圖所示，由圖可知，，解得，故選C．5．（2017新課標Ⅲ）已知函數有唯一零點，則=A．B．C．D．1【答案】C【解析】令，則方程有唯一解，設，，則與有唯一交點，又，當且僅當時取得最小值2．而，此時時取得最大值1，有唯一的交點，則．選C．

6．（2019浙江9）已知，函數，若函數恰有3個零點，則A．a<-1，b<0 B．a<-1，b>0 C．a＞-1，b<0 D．a＞-1，b>0【答案】C【解析】當QUOTEx<0時，QUOTEy=f(x)-ax-b=x-ax-b=(1-a)x-b=0，最多一個零點；當QUOTEx≥0時，QUOTEy=f(x)-ax-b=13x3-12(a+1)x2+ax-ax-b=13x3-12(a+1)x2-b，QUOTEy'=x2-(a+1)x，當QUOTEa+1≤0，即QUOTEa≤-1時，QUOTEy'≥0，QUOTEy=f(x)-ax-b在QUOTE上遞增，QUOTEy=f(x)-ax-b最多一個零點QUOTE不合題意；

當QUOTEa+1>0，即QUOTEa<-1時，令QUOTEy'>0得QUOTEx∈[a+1,+∞)，函數遞增，令QUOTEy'<0得QUOTEx∈[0,a+1)，函數遞減；函數最多有2個零點；

根據題意函數QUOTEy=f(x)-ax-b恰有3個零點QUOTE函數QUOTEy=f(x)-ax-b在QUOTE(-∞,0)上有一個零點，在QUOTE[0,+∞)上有2個零點，如下圖：

所以QUOTE∴b1-a<0且QUOTE-b>013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b<0，解得QUOTEb<0，QUOTE1-a>0，QUOTEb>-16(a+1)3．故選C．7．（2015安徽）下列函數中，既是偶函數又存在零點的是A．B．C．D．【答案】A【解析】是偶函數且有無數多個零點，為奇函數，既不是奇函數又不是偶函數，是偶函數但沒有零點．故選A．8．（2015福建）若是函數的兩個不同的零點，且這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則的值等于A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】由韋達定理得，，則，當適當排序后成等比數列時，必為等比中項，故，．當適當排序后成等差數列時，必不是等差中項，當是等差中項時，，解得，；當是等差中項時，，解得，，綜上所述，，所以，選D．9．（2015天津）已知函數函數，其中，若函數恰有4個零點，則的取值范圍是A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以，即，，所以恰有4個零點等價于方程有4個不同的解，即函數與函數的圖象的4個公共點，由圖象可知．10．（2015陜西）對二次函數（為非零整數），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是A．－1是的零點B．1是的極值點C．3是的極值D．點在曲線上【答案】A【解析】由A知；由B知，；由C知，令可得，則，則；由D知，假設A選項錯誤，則，得，滿足題意，故A結論錯誤，同理易知當B或C或D選項錯誤時不符合題意，故選A．11．（2014北京）已知函數，在下列區間中，包含零點的區間是A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，，，∴零點的區間是．12．（2014重慶）已知函數，且在內有且僅有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是A．B．C．D．【答案】A【解析】在內有且僅有兩個不同的零點就是函數的圖象與函數的圖象有兩個交點，在同一直角坐標系內作出函數，和函數的圖象，如圖，當直線與和都相交時；當直線與有兩個交點時，由，消元得，即，化簡得，當，即時直線與相切，當直線過點時，，所以，綜上實數的取值范圍是．13．（2014湖北）已知是定義在上的奇函數，當時，．則函數的零點的集合為A．B．C． D．【答案】D【解析】當時，函數的零點即方程的根，由，解得或3；當時，由是奇函數得，即，由得（正根舍去）．14．（2013重慶）若，則函數的兩個零點分別位于區間A．和內B．和內C．和內D．和內【答案】A【解析】由，可得，，．顯然，，所以該函數在和上均有零點，故選A．15．（2013天津）函數的零點個數為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】令，可得，由圖象法可知有兩個零點．16．（2012北京）函數的零點個數為A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】因為在內單調遞增，又，所以在內存在唯一的零點．17．（2012湖北）函數在區間上的零點個數為A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】，則或，，又，所以共有6個解．選C．18．（2012遼寧）設函數滿足，，且當時，．又函數，則函數在上的零點個數為A．5B．6 C．7D．8【答案】B【解析】由題意知，所以函數為偶函數，所以，所以函數為周期為2的周期函數，且，，而為偶函數，且，在同一坐標系下作出兩函數在上的圖像，發現在內圖像共有6個公共點，則函數在上的零點個數為6，故選B．19．(2011天津)對實數與，定義新運算“”：設函數若函數的圖像與軸恰有兩個公共點，則實數的取值范圍是A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意知，若，即時，；當，即或時，，要使函數的圖像與軸恰有兩個公共點，只須方程有兩個不相等的實數根即可，即函數的圖像與直線有兩個不同的交點即可，畫出函數的圖像與直線，不難得出答案B．20．(2018全國卷Ⅲ)函數在的零點個數為________．【答案】3【解析】由題意知，，所以，，所以，，當時，；當時，；當時，，均滿足題意，所以函數在的零點個數為3．21．（2019江蘇14）設是定義在R上的兩個周期函數，的周期為4，的周期為2，且是奇函數．當時，，，其中k>0．若在區間(0，9]上，關于x的方程有8個不同的實數根，則k的取值范圍是．【答案】【解析】作出函數與的圖像如圖所示，由圖可知，函數與僅有2個實數根；要使關于x的方程有8個不同的實數根，則，與，的圖象有2個不同交點，由到直線的距離為1，得，解得，因為兩點，連線的斜率，

所以，即的取值范圍為．22．(2018江蘇)若函數在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為．【答案】【解析】()，當時在上恒成立，則在上單調遞增，又，所以此時在內無零點，不滿足題意．當時，由得，由得，則在上單調遞減，在上單調遞增，又在內有且只有一個零點，所以，得，所以，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，則，，，則，所以在上的最大值與最小值的和為．23．(2018浙江)已知，函數，當時，不等式的解集是_____．若函數恰有2個零點，則的取值范圍是______．【答案】；【解析】若，則當時，令，得；當時，令，得．綜上可知，所以不等式的解集為．令，解得；令，解得或．因為函數恰有2個零點，結合函數的圖象（圖略）可知或．24．（2015湖北）函數的零點個數為．【答案】2【解析】因為=25．(2011遼寧)已知函數有零點，則的取值范圍是_____16．(2011遼寧)已知函數有零點，則的取值范圍是_____【答案】【解析】當時，，說明函數在上單調遞增，函數的值域是，又函數在上單調遞減，函數的值域是，因此要使方程有兩個不同實根，則．26．(2011遼寧)已知函數有零點，則的取值范圍是_____【答案】【解析】由原函數有零點，可將問題轉化為方程有解問題，即方程有解．令函數，則，令，得，所以在上是增函數，在上是減函數，所以的最大值為，所以．27．（2015北京）設函數①若，則的最小值為 ；②若恰有2個零點，則實數的取值范圍是 ．【答案】【解析】①若，則，作出函數的圖象如圖所示，由圖可知的最小值為．②當時，要使恰好有3個零點，需滿足，即．所以；當時，要使恰好有2個零點，需滿足，解得．28．（2015湖南）已知函數，若存在實數，使函數有兩個零點，則的取值范圍是．【答案】【解析】分析題意可知，問題等價于方程與方程的根的個數和為，若兩個方程各有一個根：則可知關于的不等式組有解，從而；若方程無解，方程有2個根：則可知關于的不等式組有解，從而；綜上，實數的取值范圍是．29．（2014江蘇）已知是定義在上且周期為3的函數，當時，．若函數在區間上有10個零點(互不相同)，則實數的取值范圍是．【答案】【解析】函數在區間上有互不相同的10個零點，即函數與的圖象有10個不同的交點，在坐標系中作出函數在一個周期內的圖象，可知．30．（2014福建）函數的零點個數是_________．【答案】2【解析】當時，令，解得；當時，，∵，∴在上單調遞增，因為，，所以函數在有且只有一個零點，所以的零點個數為2．考點24函數的實際應用1．（2020北京15）為滿足人民對美好生活的向往，環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整改．設企業的污水排放量與時間的關系為，用的大小評價在這段時間內企業污水治理能力的強弱．已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如下圖所示．給出下列四個結論：①在這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強；②在時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強；③在時刻，甲、乙兩企業的污水排放量都已達標；④甲企業在，，這三段時間中，在的污水治理能力最強．其中所有正確結論的序號是．【答案】①②③【解析】∵用來評價治污能力，而是圖像上兩點連線的斜率，在上，甲的治污能力比乙強，故①對，時刻甲比乙強，時刻都低于達標排放量，∴都達標，甲企業在時刻治污能力不是最強．2．（2020山東6）基本再生數與世代間隔是新冠肺炎的流行病學基本參數．基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔是指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數隨時間（單位：天）的變化規律，指數增長率與，近似滿足．有學者基于已有數據估計出，．據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加倍需要的時間約為（） （）A．天B．天C．天 D．天【答案】B【思路導引】根據題意可得，設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間為天，根據，解得即可得結果．【解析】因為，，，所以，所以，設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間為天，則，所以，所以，所以天，故選：B．3．（2015全國卷2，理11）如圖，長方形的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記，將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數，則的圖像大致為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))時，f(x)＝tanx＋eq\r(4＋tan2x)，圖象不會是直線段，從而排除A、C．當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝1＋eq\r(5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2eq\r(2)．∵2eq\r(2)<1＋eq\r(5)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))，從而排除D，故選B．4．（2015北京）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D．某城市機動車最高限速80千米/小時．相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【答案】D【解析】“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，A中乙車消耗1升汽油，最多行駛的路程為乙車圖象最高點的縱坐標值，A錯誤；B中以相同速度行駛相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B錯誤，C中甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，甲車每消耗1升汽油行駛的里程10km，行駛80km，消耗8升汽油，C錯誤，D中某城市機動車最高限速80千米/小時．由于丙比乙的燃油效率高，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，選D．5．（2014北京）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率與加工時間（單位：分鐘）滿足函數關系（、、是常數），下圖記錄了三次實驗的數據，根據上述函數模型和實驗數據，可以得到最佳加工時間為（）A．分鐘B．分鐘C．分鐘D．分鐘【答案】B【解析】由題意可知過點（3，0．7），（4，0．8）（5，0．5），代入中可解得，∴，∴當分鐘時，可食用率最大．6．（2014湖南）某市生產總值連續兩年持續增加，第一年的增長率為，第二年的增長率為，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為A．B．C．D．【答案】D【解析】設年平均增長率為，原生產總值為，則，解得，故選D．7．（2017山東）若函數(e=2．71828，是自然對數的底數)在的定義域上單調遞增，則稱函數具有性質，下列函數中具有性質的是．①②③④【答案】①④【解析】①在上單調遞增，故具有性質；②在上單調遞減，故不具有性質；③，令，則，當時，，當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，故不具有性質；④，令，則，在上單調遞增，故具有性質．8．（2017江蘇）設是定義在且周期為1的函數，在區間上，其中集合，則方程的解的個數是．【答案】8【解析】由于，則需考慮的情況，在此范圍內，且時，設，且互質，若，則由，可設，且互質，因此，則，此時左邊為整數，右邊為非整數，矛盾，因此，因此不可能與每個周期內對應的部分相等，只需考慮與每個周期的部分的交點，畫出函數圖象，圖中交點除外其他交點橫坐標均為無理數，屬于每個周期的部分，且處，則在附近僅有一個交點，因此方程的解的個數為8．9．(2016年北京)設函數．QUOTE=1\*GB3①若，則的最大值為____________________；=2\*GB3②若無最大值，則實數的取值范圍是_________________．【答案】，．【解析】=1\*GB3①若，則，當時，；當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數在上的最大值為．綜上函數的最大值為2．=2\*GB3②函數與的大致圖象如圖所示若無最大值，由圖象可知，即．10．（2015四川）某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲存溫度（單位：）滿足函數關系（為自然對數的底數，為常數）．若該食品在0的保鮮時間設計192小時，在22的保鮮時間是48小時，則該食品在33的保鮮時間是小時．【答案】24【解析】由題意得，即，所以該食品在℃的保鮮時間是．11．（2014山東）已知函數，對函數，定義關于的“對稱函數”為函數，滿足：對任意，兩個點關于點對稱，若是關于的“對稱函數”，且恒成立，則實數的取值范圍是____．【答案】【解析】函數的定義域為，根據已知得，所以，恒成立，即，令，，則只要直線在半圓上方即可，由，解得（舍去負值），故實數的取值范圍是．12．（2014福建）要制作一個容器為4，高為的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_______（單位：元）【答案】160【解析】設該容器的總造價為元，長方體的底面矩形的長，因為無蓋長方體的容積為，高為，所以長方體的底面矩形的寬為，依題意，得13．（2014四川）以表示值域為的函數組成的集合，表示具有如下性質的函數組成的集合：對于函數，存在一個正數，使得函數的值域包含于區間．例如，當，時，，．現有如下命題：①設函數的定義域為，則“”的充要條件是“，，”；②函數的充要條件是有最大值和最小值；③若函數，的定義域相同，且，，則；④若函數（，）有最大值，則．其中的真命題有．（寫出所有真命題的序號）【答案】①③④【解析】對于①，根據題中定義，函數，的值域為，由函數值域的概念知，函數，的值域為，所以①正確；對于②，例如函數的值域包含于區間，所以，但有最大值l，沒有最小值，所以②錯誤；對于③，若，則存在一個正數，使得函數的值域包含于區間，所以，由知，存在一個正數，使得函數的值域包含于區間，所以，亦有，兩式相加得≤≤，于是，與已知“．”矛盾，故，即③正確；對于④，如果，那么，如果，那么，所以有最大值，必須，此時在區間上，有，所以，即④正確，故填①③④．14．（2018上海）某群體的人均通勤時間，是指單日內該群體中成員從居住地到工作地的平均用時，某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示：當中的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時間不受影響，恒為40分鐘，試根據上述分析結果回答下列問題：(1)當在什么范圍內時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？(2)求該地上班族的人均通勤時間的表達式；討論的單調性，并說明其實際意義．【解析】(1)當時，恒成立，公交群體的人均通勤時間不可能少于自駕群體的人均通勤時間；當時，若，即，解得（舍）或；∴當時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間；(2)設該地上班族總人數為，則自駕人數為，乘公交人數為．因此人均通勤時間，整理得：，則當，即時，單調遞減；當時，單調遞增．實際意義：當有的上班族采用自駕方式時，上班族整體的人均通勤時間最短．適當的增加自駕比例，可以充分的利用道路交通，實現整體效率提升；但自駕人數過多，則容易導致交通擁堵，使得整體效率下降．15．（2013重慶）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設該蓄水池的底面半徑為米，高為米，體積為立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000元（為圓周率）．（Ⅰ）將表示成的函數，并求該函數的定義域；（Ⅱ）討論函數的單調性，并確定和為何值時該蓄水池的體積最大．【解析】（Ⅰ）因為蓄水池側面積的總成本為元，底面的總成本為元，所以蓄水池的總成本為（）元．又題意據，所以，從而．因，又由可得，故函數的定義域為．（Ⅱ）因，故．令，解得（因不在定義域內，舍去）．當時，，故在上為增函數；當時，，故在上為減函數．由此可知，在處取得最大值，此時．即當，時，該蓄水池的體積最大．考點25函數的綜合應用1．（2019全國Ⅱ理12）設函數的定義域為R，滿足，且當時，．若對任意，都有，則m的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，

當時，，當時，，，當時，，，當時，由解得或，若對任意，都有，則，故選B．2．（2016全國II卷）已知函數（x∈R）滿足，若函數與y=f(x)圖像的交點為，，…，，則A．0B．mC．2mD．4m【答案】B【解析】由知的圖像關于直線對稱，又函數的圖像也關于直線對稱，所以這兩個函數圖像的交點也關于直線對稱，不妨設，則，即，同理，……，由，所以，所以，故選B．3．(2011全國新課標理12)函數的圖像與函數的圖像所有交點的橫坐標之和等于A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】的對稱中心是也是的中心，他們的圖像在的左側有4個交點，則右側必有4個交點．不妨把他們的橫坐標由小到大設為，則，所以選D4．（2013全國課標卷1，理11）已知函數=，若||≥，則的取值范圍是．．．[-2，1]．[-2，0]【答案】D【解析】∵||=，∴由||≥得，且，由可得，則≥-2，排除A，B，當=1時，易證對恒成立，故=1不適合，排除C，故選D．5．（2013全國課標卷2，文12）若存在正數使成立，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】因為“存在正數，使成立”，即存在正數，使成立，設（），顯然在區間是單調遞增函數，∴，所以，故選D．6．（2017山東）已知當時，函數的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數的取值范圍是A．B．C．D．【答案】B【解析】當時，，函數，在上單調遞減，函數，在上單調遞增，因為，，，，所以，，此時與在有一個交點；當時，，函數，在上單調遞減，在上單調遞增，此時，在無交點，要使兩個函數的圖象有一個交點，需，即，解得，故選B．7．(2016年天津)已知函數=（，且）在R上單調遞減，且關于的方程恰好有兩個不相等的實數解，則的取值范圍是A．(0，]B．[，]C．[，]{}D．[，）{}【答案】C【解析】當時，單調遞減，必須滿足，故，此時函數在上單調遞減，若在上單調遞減，還需，即，所以．當時，函數的圖象和直線只有一個公共點，即當時，方程只有一個實數解．因此，只需當時，方程只有一個實數解，根據已知條件可得，當時，方程，即在上恰有唯一的實數解．判別式，當時，，此時滿足題意；令，由題意得，即，即時，方程有一個正根、一個負根，滿足要求；當，即時，方程有一個為0、一個根為，滿足要求；當，即，即時對稱軸，此時方程有兩個負根，不滿足要求；綜上實數的取值范圍是．8．（2015全國課標卷2，文12）設函數，則使得成立的的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由可知是偶函數，且在是增函數，所以．故選A．9．（2016全國課標2，理12）已知函數滿足，若函數與圖像的交點為則（）（A）0（B）m（C）2m（D）4m【答案】B【解析】由知，函數的圖像關于點對稱，因為=，所以其圖像也關于點對稱，所以函數與圖像的交點成對出現且每一對關于點對稱，所以，，所以，故選B．10．（2017天津）已知函數設，若關于的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】解法一根據題意，作出的大致圖象，如圖所示當時，若要恒成立，結合圖象，只需，即，故對于方程，，解得；當時，若要恒成立，結合圖象，只需，即，又，當且僅當，即時等號成立，所以，綜上，的取值范圍是．選A．解法二由題意的最小值為，此時．不等式在R上恒成立等價于在R上恒成立．當時，令，，不符合，排除C、D；當時，令，，不符合，排除B．選A．11．(2014山東)已知函數，．若方程有兩個不相等的實根，則實數的取值范圍是A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖所示，方程有兩個不相等的實根等價于兩個函數的圖象有兩個不同的交點，結合圖象可知，當直線的斜率大于坐標原點與點的連續的斜率，且小于直線的斜率時符合題意，故選．12．（2013安徽）已知函數有兩個極值點，若，則關于的方程的不同實根個數為A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】，是方程的兩根，由