學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精1.1。4投影與直觀圖學習目標理解直觀圖的斜二測畫法規則，會畫常見幾何體的直觀圖．知識點直觀圖與斜二測畫法（1）直觀圖用來表示空間圖形的平面圖形．(2）斜二測畫法的規則①在已知模型所在的空間中取水平平面，作互相垂直的Ox，Oy軸，再作Oz軸,使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.②畫直觀圖時，把Ox，Oy，Oz畫成對應的軸O′x′，O′y′，O′z′,使∠x′O′y′＝45°（或135°），∠x′O′z′＝90°,x′O′y′所確定的平面表示水平平面．③已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段,并使它們和所畫坐標軸的位置關系，與已知圖形中相應線段和原坐標軸的位置關系相同．④已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變,平行于y軸的線段,長度為原來的一半．⑤畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖．1．用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中,∠A＝45°。(×）2．用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時，平行的線段在直觀圖中仍平行，且長度不變．（×)3．在斜二測畫法中平行于y軸的線段在直觀圖中長度保持不變．(×）類型一直觀圖的畫法例1畫出如圖水平放置的直角梯形的直觀圖．解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標系．畫出相應的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖(1)(2)所示．（2)在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，過點D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點C′使得D′C′＝DC.連接B′C′,如圖（2）．（3)所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖，如圖(3)．引申探究若將本例中的直角梯形改為等腰梯形，其直觀圖如何？解畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點,建立直角坐標系．(2）畫對應的坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°。以O′為中點在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝eq\f(1，2)OE，以E′為中點畫出C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD。（3）連接B′C′,D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖．反思與感悟(1）本題利用直角梯形互相垂直的兩邊建系，使畫直觀圖非常簡便．(2)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當的直角坐標系是關鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點落在坐標軸上，以便于畫點．原圖中不平行于坐標軸的線段可以通過作平行于坐標軸的線段來作出其對應線段．關鍵之二是確定多邊形頂點的位置,借助于平面直角坐標系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可．跟蹤訓練1(1）用斜二測畫法畫邊長為4cm的水平放置的正三角形(如圖）的直觀圖．解①如圖a所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標系．②畫出對應的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°。在x′軸上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′軸上截取O′A′＝eq\f（1，2）OA＝eq\r(3）cm，連接A′B′，A′C′,則三角形A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖，如圖b所示．（2）畫一個正四棱錐的直觀圖（尺寸自定）．解①畫軸．如圖c,畫x軸、y軸、z軸，使∠xOy＝45°(或135°），∠xOz＝90°。②畫底面．以O為中心，在xOy平面內，畫出正方形的直觀圖ABCD。③畫頂點．在Oz軸上截取OS，使OS等于已知正四棱錐的高．④畫棱．連接SA，SB，SC，SD,擦去輔助線(坐標軸）,得到正四棱錐S－ABCD的直觀圖，如圖d所示．類型二直觀圖的還原與計算命題角度1由直觀圖還原平面圖形例2如圖所示，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其還原成平面圖形．解①畫出直角坐標系xOy，在x軸的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②過B′作B′D′∥y′軸，交x′軸于點D′，在OA上取OD＝O′D′,過D作DB∥y軸，且使DB＝2D′B′；③連接AB，BC，得△ABC。則△ABC即為△A′B′C′對應的平面圖形，如圖所示．反思與感悟由直觀圖還原平面圖形的關鍵（1)平行于x′軸的線段長度不變,平行于y′軸的線段擴大為原來的2倍．（2)對于相鄰兩邊不與x′、y′軸平行的頂點可通過作x′軸，y′軸平行線變換確定其在xOy中的位置．跟蹤訓練2如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm,C′D′＝2cm，則原圖形是________形．答案菱解析如圖所示，在原圖形OABC中，應有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2）＝4eq\r（2)（cm),CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝eq\r（OD2＋CD2）＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6（cm），∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形．命題角度2原圖形與直觀圖的面積的計算例3如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2，3)C1D1＝2,A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形的形狀，并求出原圖形的面積．解如圖,建立直角坐標系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2。在過點D的y軸的平行線上截取DA＝2D1A1＝2。在過點A的x軸的平行線上截取AB＝A1B1＝2.連接BC，即得到了原圖形．由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰的長度AD＝2，所以面積為S＝eq\f(2＋3，2)×2＝5.反思與感悟（1)由原圖形求直觀圖的面積，關鍵是掌握斜二測畫法，明確原來實際圖形中的高，在直觀圖中變為與水平直線成45°(或135°)角且長度為原來一半的線段，這樣可得出所求圖形相應的高．(2）若一個平面多邊形的面積為S，它的直觀圖面積為S′,則S′＝eq\f（\r（2），4)S.跟蹤訓練3如圖所示，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面積是（)A.eq\f(1，2) B.eq\f(\r（2），2)C。eq\r（2） D．2eq\r（2)答案C解析直觀圖中等腰直角三角形直角邊長為1，因此面積為eq\f(1,2），又直觀圖與原平面圖形面積比為eq\r(2）∶4，所以原圖形的面積為eq\r(2），故選C.1．已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4，則此正方形的面積為(）A．16 B．64C．16或64 D．無法確定答案C解析等于4的一邊在原圖形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面積為16或64.2．利用斜二測畫法畫出邊長為3cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的(）答案C解析正方形的直觀圖應是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長之比為2∶1。3．有一個長為5cm，寬為4cm的矩形,則其用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為________cm2.考點平面圖形的直觀圖題點與直觀圖有關的計算答案5eq\r（2）解析該矩形直觀圖的面積為eq\f(\r（2),4)×5×4＝5eq\r（2).4。畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖．解（1）過點C作CE⊥x軸，垂足為E，如圖①所示,畫出對應的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖②所示．（2)如圖②所示，在x′軸上取點B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′軸上取一點D，使得O′D′＝eq\f(1,2）OD；過E′作E′C′∥y′軸,使E′C′＝eq\f（1，2)EC。連接D′C′，B′C′.（3)擦去坐標軸及B′E′，E′C′，則所求四邊形OBCD的直觀圖如圖③所示．1．畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關鍵是確定直觀圖的頂點．確定點的位置,可采用直角坐標系．建立恰當的坐標系是迅速作出直觀圖的關鍵，常利用圖形的對稱性，并讓頂點盡量多地落在坐標軸上或與坐標軸平行的直線上．2．用斜二測畫法畫圖時要緊緊把握住：“一斜”、“二測”兩點：(1)一斜：平面圖形中互相垂直的Ox、Oy軸，在直觀圖中畫成O′x′、O′y′軸，使∠x′O′y′＝45°或135°。(2)二測:在直觀圖中平行于x軸的長度不變，平行于y軸的長度取一半，記為“橫不變,縱折半”．3．中心投影的投射線相交于一點,中心投影后，圖形與原圖形相比雖然相差較大，但直觀性強，看起來與人的視覺效果一致．若一個平面圖形所在的平面與投射面平行，則中心投影后得到的圖形與原圖形相似．一、選擇題1．給出以下說法，其中不正確的是________．①水平放置的矩形的直觀圖可能是梯形；②水平放置的梯形的直觀圖可能是平行四邊形；③水平放置的平行四邊形的直觀圖可能是矩形;④水平放置的菱形的直觀圖可能是平行四邊形．A．①② B．②③C．③④ D．①④答案A解析由斜二測畫法規則可知①②不正確，故選A。2．根據斜二測畫法的規則畫直觀圖時，把Ox，Oy，Oz軸畫成對應的O′x′，O′y′，O′z′，則∠x′O′y′與∠x′O′z′的度數分別為(）A．90°，90° B．45°,90°C．135°，90° D．45°或135°,90°考點平面圖形的直觀圖題點平面圖形的直觀圖答案D解析根據斜二測畫法的規則，∠x′O′y′的度數應為45°或135°，∠x′O′z′指的是畫立體圖形時的橫軸與縱軸的夾角，所以度數為90°。3．下面每個選項的2個邊長為1的正△ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是()答案C解析可分別畫出各組圖形的直觀圖,觀察可得結論．4．如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的(）答案C解析設直觀圖中與x′軸和y′軸的交點分別為A′和B′，根據斜二測畫法在直角坐標系中先做出對應的A點和B點，再由平行于x′軸的線段在原圖中平行于x軸，且長度不變,作出原圖可得C。5．已知一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，長方體的長、寬、高分別為20m，5m,10m，四棱錐的高為8m．如果按1∶500的比例畫出它的直觀圖,那么在直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為()A．4cm,1cm,2cm，1.6cmB．4cm，0。5cm,2cm,1.6cmC．4cm,0。5cm,2cm,0.8cmD．4cm，0。5cm，1cm,0.8cm答案B解析由比例尺可知，長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為4cm,1cm,2cm和1.6cm，再結合直觀圖,圖形的尺寸應為4cm，0.5cm，2cm，1。6cm.6．關于斜二測畫法所得直觀圖，以下說法正確的是（)A．等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B．正方形的直觀圖為平行四邊形C．梯形的直觀圖不是梯形D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形答案B解析由直觀圖的性質知B正確．7．如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原來圖形的形狀是（）考點平面圖形的直觀圖題點由直觀圖還原平面圖形答案A解析直觀圖中正方形的對角線長為eq\r(2），故在平面圖形中平行四邊形的高為2eq\r(2)，只有A項滿足條件，故A正確．8。用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示,邊AB平行于y軸,邊BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2）cm2，則原平面圖形A′B′C′D′的面積為(）A．4cm2B．4eq\r(2）cm2C．8cm2D．8eq\r(2）cm2答案C解析依題意可知,∠BAD＝45°，則原平面圖形A′B′C′D′為直角梯形，上，下底邊分別為B′C′，A′D′，且長度分別與BC，AD相等，高為A′B′，且長度為梯形ABCD高的2eq\r(2)倍,所以原平面圖形的面積為8cm2。二、填空題9．在斜二測畫法中,位于平面直角坐標系中的點M(4,4)在直觀圖中的對應點是M′，則點M′的坐標為________．答案（4,2）解析由直觀圖畫法“橫不變，縱折半”可得點M′的坐標為（4,2)．10．如圖所示,四邊形OABC是上底為2，下底為6,底角為45°的等腰梯形，用斜二測畫法畫出這個梯形的直觀圖O′A′B′C′，則直觀圖梯形的高為________cm。答案eq\f(\r（2）,2)解析作CD，BE⊥OA于點D,E，則OD＝EA＝eq\f(OA－BC,2)＝2,∴OD＝CD＝2，∴直觀圖中梯形的高為eq\f(1，2)×2×eq\f（\r（2）,2）＝eq\f（\r（2）,2）（cm)．11。如圖所示，四邊形OABC的四個頂點坐標分別為O(0，0）,A(2，4），B（4，0)，C(4，－2），則該圖形直觀圖的面積為________．答案3eq\r(2）解析由S原＝eq\f（1,2)×4×(4＋2)＝12，則S直＝eq\f（\r（2）,4）S原＝eq\f(\r（2)，4)×12＝3eq\r(2).三、解答題12．如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm,∠DAB＝30°，AD＝3cm，試畫出它的直觀圖．解畫法：（1）如圖a所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點A為原點，建立平面直角坐標系xOy.如圖b所示，畫出對應的x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°.（2）在圖a中，過D點作DE⊥x軸,垂足為E。在圖b中，在x′軸上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝eq\f（3，2)eq\r（3）≈2。598cm；過點E′作E′D′∥y′軸，使E′D′＝eq\f(1，2)ED＝eq\f(1，2）×eq\f(3，2)＝0。75cm，再過點D′作D′C′∥x′軸，且使D′C′＝DC＝2cm。（3)連接A′D′、B′C′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線,如圖c所示，則四邊形A′B′C′D′就是所求作的直觀圖．13．畫出一個正三棱臺的直觀圖．（尺寸:上、下底面邊長分別為1cm，2cm，高為2cm）解(