學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§3.2直線的方程3.2.1直線的點斜式方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解由斜率公式推導(dǎo)直線方程的點斜式的過程。2.掌握直線的點斜式方程與斜截式方程.3。會利用直線的點斜式與斜截式方程解決有關(guān)的實際問題。知識點一直線的點斜式方程思考1如圖，直線l經(jīng)過點P0（x0，y0），且斜率為k，設(shè)點P(x，y)是直線l上不同于點P0的任意一點,那么x,y應(yīng)滿足什么關(guān)系？答案由斜率公式得k＝eq\f(y－y0,x－x0)，則x,y應(yīng)滿足y－y0＝k（x－x0）。思考2經(jīng)過點P0(x0,y0)的所有直線是否都能用點斜式方程來表示?答案斜率不存在的直線不能用點斜式表示,過點P0斜率不存在的直線為x＝x0.梳理點斜式已知條件點P（x0，y0）和斜率k圖示方程形式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)適用條件斜率存在知識點二直線的斜截式方程思考1已知直線l的斜率為k，且與y軸的交點為（0，b)，得到的直線l的方程是什么？答案將k及點（0，b)代入直線方程的點斜式得y＝kx＋b。思考2方程y＝kx＋b表示的直線在y軸上的截距b是距離嗎?b可不可以為負(fù)數(shù)和零？答案y軸上的截距b不是距離，可以是負(fù)數(shù)和零。梳理斜截式已知條件斜率k和直線在y軸上的截距b圖示方程式y(tǒng)＝kx＋b適用條件斜率存在對于直線l1:y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.①l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2，②l1⊥l2?k1k2＝－1.1。對直線的點斜式方程y－y0＝k（x－x0）也可寫成k＝eq\f(y－y0，x－x0)。（×)2.直線y－3＝k(x＋1)恒過定點(－1，3)。(√)3。直線y＝kx－b在y軸上的截距為b。(×)類型一直線的點斜式方程例1（1）直線y＝2x＋1繞著其上一點P(1，3）逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到直線l，則直線l的點斜式方程是________。考點直線的點斜式方程題點求直線的點斜式方程答案y－3＝－eq\f(1,2）(x－1）解析由題意知，直線l與直線y＝2x＋1垂直,則直線l的斜率為－eq\f(1,2).由點斜式方程可得l的方程為y－3＝－eq\f(1，2）（x－1).

（2)一直線l1過點A（－1,－2)，其傾斜角等于直線l2:y＝eq\f(\r（3），3）x的傾斜角的2倍,則l1的點斜式方程為________.考點直線的點斜式方程題點求直線的點斜式方程答案y＋2＝eq\r(3）(x＋1）解析∵直線l2的方程為y＝eq\f(\r(3），3)x，設(shè)其傾斜角為α,則tanα＝eq\f(\r（3）,3),∴α＝30°.那么直線l1的傾斜角為2×30°＝60°，∴l(xiāng)1的點斜式方程為y＋2＝tan60°（x＋1），即y＋2＝eq\r(3)（x＋1).反思與感悟(1)求直線的點斜式方程（2）點斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點P(x0,y0）的所有直線,但直線x＝x0除外。跟蹤訓(xùn)練1寫出下列直線的點斜式方程.(1）經(jīng)過點A（2,5），且與直線y＝2x＋7平行；(2）經(jīng)過點C（－1，－1），且與x軸平行；(3)經(jīng)過點D(1，2），且與x軸垂直;(4)經(jīng)過點P(－2,3），Q(5,－4)兩點.考點直線的點斜式方程題點求直線的點斜式方程解（1）由題意知，直線的斜率為2，所以其點斜式方程為y－5＝2（x－2).(2）由題意知，直線的斜率k＝tan0°＝0，所以直線的點斜式方程為y－(－1)＝0。（3)由題意可知直線的斜率不存在,所以直線的方程為x＝1,該直線沒有點斜式方程。（4)kPQ＝eq\f（3－－4，－2－5）＝－1,所以該直線的點斜式方程為y－3＝－（x＋2).類型二直線的斜截式方程例2(1)傾斜角為60°,與y軸的交點到坐標(biāo)原點的距離為3的直線的斜截式方程是________________________________________________________________________?？键c直線的斜截式方程題點寫出直線的斜截式方程答案y＝eq\r(3）x＋3或y＝eq\r（3)x－3解析∵直線的傾斜角是60°，∴其斜率k＝tan60°＝eq\r（3)，∵直線與y軸的交點到坐標(biāo)原點的距離為3，∴直線在y軸上的截距是3或－3，∴所求直線的斜截式方程是y＝eq\r(3）x＋3或y＝eq\r（3)x－3。（2)已知直線l1的方程為y＝－2x＋3，l2的方程為y＝4x－2,直線l與l1平行且與l2在y軸上的截距相同,求直線l的方程.考點直線的斜截式方程題點寫出直線的斜截式方程解由斜截式方程知，直線l1的斜率k1＝－2，又因為l∥l1，所以kl＝－2.由題意知,l2在y軸上的截距為－2，所以直線l在y軸上的截距b＝－2。由斜截式可得直線l的方程為y＝－2x－2。引申探究本例(2)中若將“直線l與l1平行且與l2在y軸上的截距相等"改為“直線l與l1垂直且與l2在y軸上的截距互為相反數(shù)”,求l的方程。解∵l1⊥l,直線l1:y＝－2x＋3，∴l(xiāng)的斜率為eq\f（1，2）?！遧與l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，直線l2：y＝4x－2，∴l(xiāng)在y軸上的截距為2.∴直線l的方程為y＝eq\f（1，2)x＋2.反思與感悟（1）斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在.當(dāng)b＝0時，y＝kx表示過原點的直線；當(dāng)k＝0時,y＝b表示與x軸平行（或重合)的直線.(2）截距不同于日常生活中的距離，截距是一個點的橫（縱)坐標(biāo)，是一個實數(shù)，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)和零，而距離是一個非負(fù)數(shù).程.考點直線的斜截式方程題點寫出直線的斜截式方程解設(shè)直線方程為y＝eq\f（1，6）x＋b，則當(dāng)x＝0時，y＝b;當(dāng)y＝0時，x＝－6b。由已知可得eq\f（1,2）·｜b｜·|－6b｜＝3，即6|b｜2＝6，∴b＝±1.故所求直線l的斜截式方程為y＝eq\f(1，6）x＋1或y＝eq\f(1,6)x－1。類型三平行與垂直的應(yīng)用例3（1)當(dāng)a為何值時，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝（a2－2）x＋2平行？(2)當(dāng)a為何值時，直線l1：y＝（2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直?考點直線的斜截式方程題點直線斜截式方程的應(yīng)用解（1）由題意可知，＝－1，＝a2－2，∵l1∥l2，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a2－2＝－1，,2a≠2，）)解得a＝－1.故當(dāng)a＝－1時，直線l1:y＝－x＋2a與直線l2：y＝（a2－2）x＋2平行。(2）由題意可知，＝2a－1，＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1,解得a＝eq\f(3，8）.故當(dāng)a＝eq\f(3，8）時，直線l1：y＝（2a－1）x＋3與直線l2:y＝4x－3垂直。反思與感悟設(shè)直線l1和l2的斜率k1，k2都存在，其方程分別為l1：y＝k1x＋b1,l2：y＝k2x＋b2，那么:（1)l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2；(2)兩條直線重合?k1＝k2，且b1＝b2；(3)l1⊥l2?k1·k2＝－1。跟蹤訓(xùn)練3已知直線l：y＝（a2－2)x＋2a＋9與直線y＝－eq\f(1,2)x＋1垂直，且與直線y＝3x＋5在y軸上的截距相同，求a的值.考點直線的斜截式方程題點直線斜截式方程的應(yīng)用解由題意知(a2－2)×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)）)＝－1，解得a＝±2.∴當(dāng)a＝2時，直線l:y＝2x＋13；當(dāng)a＝－2時,直線l：y＝2x＋5.又直線l與直線y＝3x＋5在y軸上的截距相同，∴a＝－2.1.方程y＝k（x－2)表示(）A。通過點（－2,0）的所有直線B。通過點(2,0）的所有直線C。通過點(2,0）且不垂直于x軸的所有直線D。通過點（2,0）且除去x軸的所有直線考點直線的點斜式方程題點直線點斜式方程的應(yīng)用答案C解析易驗證直線通過點（2,0），又直線斜率存在，故直線不垂直于x軸。2。直線y＝kx＋b通過第一、三、四象限,則有(）A.k〉0，b>0 B。k>0,b<0C。k<0，b〉0 D.k〈0,b<0考點直線的斜截式方程題點直線斜截式方程的應(yīng)用答案B解析∵直線經(jīng)過第一、三、四象限，∴圖形如圖所示，由圖知，k〉0,b<0。3。已知直線l過點P(2,1)，且直線l的斜率為直線x－4y＋3＝0的斜率的2倍，則直線l的點斜式方程為____________.考點直線的點斜式方程題點直線點斜式方程的應(yīng)用答案y－1＝eq\f(1，2)(x－2)解析由x－4y＋3＝0，得y＝eq\f(1,4）x＋eq\f(3,4)，其斜率為eq\f（1,4），故所求直線l的斜率為eq\f(1，2)，又直線l過點P(2,1），所以直線l的點斜式方程為y－1＝eq\f(1,2）(x－2）。4．已知直線l1：y＝2x＋3a，l2：y＝（a2＋1）x＋3，若l1∥l2，則a＝________.考點直線的斜截式方程題點直線斜截式方程的應(yīng)用答案－1解析因為l1∥l2，所以a2＋1＝2,a2＝1,所以a＝±1。又由于l1∥l2，兩直線l1與l2不能重合，則3a≠3，即a≠1，故a＝－1。5。已知直線l的方程為y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y軸上的截距為7，則m＝________?？键c直線的斜截式方程題點直線斜截式方程的應(yīng)用答案4解析直線l的方程可化為y＝（m－1)x＋2m－1,∴2m－1＝7，得m＝4.1.求直線的點斜式方程的方法步驟2.直線的斜截式方程的求解策略(2）直線的斜截式方程y＝kx＋b不僅形式簡單,而且特點明顯，k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距，只要確定了k和b的值,直線的圖象就一目了然.因此，在解決直線的圖象問題時，常通過把直線方程化為斜截式方程,利用k,b的幾何意義進(jìn)行判斷。一、選擇題1．過點(4，－2)，傾斜角為150°的直線的點斜式方程為(）A．y－2＝－eq\f（\r（3)，3）（x＋4）B．y－(－2）＝－eq\f（\r(3）,3）（x－4）C．y－（－2）＝eq\f(\r（3）,3）（x－4)D．y－2＝eq\f（\r(3)，3）(x＋4）考點直線的點斜式方程題點求直線的點斜式方程答案B解析由題意知k＝tan150°＝－eq\f（\r(3）,3)，所以直線的點斜式方程為y－(－2)＝－eq\f（\r（3)，3)(x－4）．3.直線y－b＝2(x－a)在y軸上的截距為（)A。a＋b B.2a－bC.b－2a D。｜2a－b｜考點直線的斜截式方程題點直線斜截式方程的應(yīng)用答案C4.與直線y＝2x＋1垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程為（）A.y＝eq\f（1，2）x＋4 B.y＝2x＋4C。y＝－2x＋4 D.y＝－eq\f(1，2)x＋4考點直線的斜截式方程題點寫出直線的斜截式方程答案D解析由題意可設(shè)所求直線方程為y＝kx＋4,又由2k＝－1，得k＝－eq\f(1,2),∴所求直線方程為y＝－eq\f（1,2）x＋4。5.將直線y＝3x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移1個單位長度，所得到的直線為(）A.y＝－eq\f(1，3）x＋eq\f（1，3） B。y＝－eq\f（1，3)x＋1C。y＝3x－3 D.y＝eq\f(1,3)x＋1考點直線的斜截式方程題點直線斜截式方程的應(yīng)用答案A解析將直線y＝3x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到直線y＝－eq\f（1,3）x,再向右平移1個單位長度，所得到的直線為y＝－eq\f(1,3)(x－1)，即y＝－eq\f(1，3)x＋eq\f(1，3）。6。如果直線y＝－eq\f（1,2a）x＋eq\f(1,2a）與直線y＝eq\f(3a－1，4a)x－eq\f（1，4a)平行，則a等于（)A。0B。－eq\f(1，3）C.0或－eq\f（1，3）D。0或1考點直線的斜截式方程題點直線斜截式方程的應(yīng)用答案B解析由題意知eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,－\f(1,2a）＝\f(3a－1,4a)，，\f（1,2a)≠－\f（1，4a），））解得a＝－eq\f（1，3）.7。下列四個結(jié)論：①方程k＝eq\f(y－2，x＋1)與方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直線；②直線l過點P（x1，y1），傾斜角為90°，則其方程是x＝x1；③直線l過點P(x1，y1)，斜率為0，則其方程是y＝y(tǒng)1；④所有的直線都有點斜式和斜截式方程.其中正確的個數(shù)為（)A。1 B.2C。3 D。4考點直線的點斜式方程題點直線點斜式方程的應(yīng)用答案B解析①中方程：k＝eq\f（y－2，x＋1）中x≠－1；④中斜率不存在的直線沒有點斜式和斜截式方程，①④錯誤,②③正確。8。直線l1：y＝ax＋b與直線l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象只可能是()考點直線的斜截式方程題點直線斜截式方程的應(yīng)用答案D解析對于A,由l1得a>0，b〈0，而由l2得a〉0，b〉0，矛盾；對于B，由l1得a〈0,b>0，而由l2得a〉0，b>0，矛盾；對于C，由l1得a>0,b<0，而由l2得a〈0，b>0，矛盾；對于D，由l1得a>0,b>0，而由l2得a>0,b>0.故選D.二、填空題9。在y軸上的截距為－6，且與y軸相交成30°角的直線的斜截式方程是______________。考點直線的斜截式方程題點寫出直線的斜截式方程答案y＝eq\r（3)x－6或y＝－eq\r（3）x－6解析因為直線與y軸相交成30°角,所以直線的傾斜角為60°或120°，所以直線的斜率為eq\r（3)或－eq\r（3），又因為在y軸上的截距為－6，所以直線的斜截式方程為y＝eq\r（3)x－6或y＝－eq\r（3）x－6.10。已知直線y＝(3－2k)x－6不經(jīng)過第一象限,則k的取值范圍為________?？键c直線的斜截式方程題點直線斜截式方程的應(yīng)用答案eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3，2），＋∞））解析由題意知，需滿足它在y軸上的截距不大于零，且斜率不大于零,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6≤0,,3－2k≤0，））得k≥eq\f(3，2）。

11。若原點在直線l上的射影是P（－2,1），則直線l的點斜式方程為______________.考點直線的點斜式方程題點求直線的點斜式方程答案y－1＝2（x＋2）解析∵直線OP的斜率為－eq\f（1,2），又OP⊥l，∴直線l的斜率為2，∴直線l的點斜式方程為y－1＝2(x＋2).12。斜率為eq\f（3,4），且與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的周長是12的直線的斜截式方程是________.考點直線的斜截式方程題點直線斜截式方程的應(yīng)用答案y＝eq\f（3，4)x±3解析設(shè)所求直線的斜截式方程為y＝eq\f（3,4)x＋b，令y＝0，得x＝－eq\f（4b,3)，由題意得|b|＋eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(－\f（4，3)b）)＋eq\r（b2＋\f（16b2，9））＝12，即｜b|＋eq\f(4，3）｜b｜＋eq\f(5,3）｜b|＝12，∴4|b｜＝12,∴b＝±3，∴所求直線的斜截式方程為y＝eq\f（3,4)x±3.三、解答題13．已知直線l的斜率與直線3x－2y＝6的斜率相等，且直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1,求直線l的斜截式方程．考點直線的斜截式方程題點直線斜截式方程的應(yīng)用解由題意知,直線l的斜率為eq\f(3,2),故設(shè)直線l的方程為y＝eq\f（3，2)x＋b，l在x軸上的截距為－eq\f(2,3)b,在y軸上的截距為b，所以－eq\f（2，3)b－b＝1，b＝－eq\f（3，5)，所以直線l的斜截式方程為y＝eq\f(3,2)x－eq\f(3,5）.四、探究與拓展14。將直線y＝x＋eq\r(3）－1繞其上面一點（1，eq\r（3))沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)15