第十章應力狀態理論基礎一應力狀態的概念及其描述二平面應力狀態分析—數解法三平面應力狀態分析—圖解法四三向應力狀態五廣義虎克定律六三向應力狀態下的變形能第十章應力狀態理論基礎一應力狀態的概念及其描述1一應力狀態的概念及其描述第十章應力狀態理論基礎一應力狀態的概念及其描述第十章應力狀態理論基礎2第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述1問題的提出2應力的三個重要概念3一點應力狀態的描述第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述1問3一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

討論基本變形強度問題時的共同特點:危險截面上的危險點只承受正應力或剪應力F拉(壓):一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

討論基本變形強度4一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

扭轉:討論基本變形強度問題時的共同特點:危險截面上的危險點只承受正應力或剪應力一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

扭轉:討論基本變5一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

討論基本變形強度問題時的共同特點:危險截面上的危險點只承受正應力或剪應力一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

討論基本變形強度6一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

對于橫截面上既有正應力又有剪應力的一些點如何建立強度條件?這些點強度條件的危險應力如何確定?一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

7一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

FPl/2l/2S平面5544332211

S平面一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

FPl/2l/28123S平面

5544332211一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

4PlFMz=123S平面5544332211一應力狀態的概念及其描述9一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

為什么鋼筋混凝土梁在加載試驗過程中,除了在跨中底部會發生豎向裂縫外,其他部位還會發生斜向裂紋?這些問題都要通過應力狀態的分析來解決.一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

102.應力狀態的三個重要概念(1)應力的面的概念(2)應力的點的概念(3)應力狀態的概念第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述2.應力狀態的三個重要概念第十章應力狀態理論基礎/一應11軸向拉壓同一橫截面上各點應力相等：FF同一點在斜截面上時：第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述此例表明：即使同一點在不同方位截面上，它的應力也是各不相同的，此即應力的面的概念。軸向拉壓同一橫截面上各點應力相等：FF同一點在斜截面上時：第12

橫截面上正應力分析和切應力分析的結果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即應力的點的概念。第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述橫截面上正應力分析和切應力分析的結13應力指明哪一個面上

哪一點？哪一點哪個方向面？第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述應力指明哪一個面上

哪一點？哪一點第十章應力狀14

過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態。應力狀態分析就是研究一點處沿各個不同方位的截面上的應力及其變化規律。第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態15單元體3.一點應力狀態的描述第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述單元體3.一點應力狀態的描述第十章應力狀態理論基礎/一16

圖示為一矩形截面鑄鐵梁，受兩個橫向力作用。從梁表面的A、B、C三點處取出的單元體上，用箭頭表示出各個面上的應力。

課堂練習第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述圖示為一矩形截面鑄鐵梁，受兩個橫向力作用。從梁表17FPl/2l/2S’平面5544332211

S’平面第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述課堂練習繪圖示梁S’平面上各點的應力單元體FPl/2l/2S’平面5544332211S’平面第十章18123S’平面

5544332211一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

123S’平面5544332211一應力狀態的概念及其描19FPlaS第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述課堂練習繪圖示構件固端S截面上、下、左、右切線點處的應力單元體FPlaS第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其20xzy4321S平面第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述SFPxzy4321S平面第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態21yxzMzFQyMx4321143第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述課堂練習yxzMzFQyMx4321143第十章應力狀態理論基礎22l課堂練習承受內壓、扭轉的薄壁圓筒,試從加強肋之間取應力單元體第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述ｐl課堂練習承受內壓、扭轉的薄壁圓筒,試從加強肋之間取應力單元23ＤｐπD２４)Dp(xsｐ第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述ＤｐπD２４)Dp(xsｐ第十章應力狀態理論基礎/一24ｐｐ×Ｄ×ｌ第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述ｐｐ×Ｄ×ｌ第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及25l第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述l第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述26ltsms第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述ｐltsms第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其27二平面應力狀態分析—數解法第十章應力狀態理論基礎二平面應力狀態分析—數解法第十章應力狀態理論基礎28第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法

1.斜截面上的應力已知受力構件中的應力單元體求垂直于xy面的任意斜截面ef上的應力第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法29公式推導使用的符號規定：α角

由x正向逆時針轉到n正向者為正；反之為負。正應力拉應力為正壓應力為負切應力

使單元體或其局部順時針方向轉動為正；反之為負。第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法

αα公式推導使用的符號規定：α角由x正向逆時針轉到n正向者為30公式推導(1)面上的應力：第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法

公式推導(1)面上的應力：第十章應31用斜截面截取，此截面上的應力為公式推導(2)面上的應力：用斜截面截取，此截面上的應力32即單元體兩個相互垂直面上的正應力之和是一個常數。即又一次證明了剪應力的互等定理。公式推導(3)面上的應力之間的關系：即單元體兩個相互垂直面上即又一次證明了剪應力的互等定理。公式33第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法

2.在何處?該處令,則:即:面上有第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法34第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法

在何處?令得:任意(為方便)令:可發現:①正應力極值有兩個方面②相差第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法35第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法

將代入式,得顯然,在面上第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法363、=?在何處？該處σ=？

令 面上的正應力:即:方位:大小:將代式,得:3、=?在何處？該處σ=？令 面上的正應力:即:374、主平面、主應力、主應力的排列主平面：單元體中只有正應力而沒有剪應力的平面稱為主平面。主應力：主平面上的正應力稱為該點的主應力。主應力的排列：用代數值確定，排列為、、4、主平面、主應力、主應力的排列用代數值確定，排列為、、38三向（空間）應力狀態第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述5、應力狀態的分類：三向（空間）應力狀態第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態39平面（二向）應力狀態第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述平面（二向）應力狀態第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態40xyxy單向應力狀態純剪應力狀態

第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述xyxy單向應力狀態純剪應力狀態

第十章應力狀態理論基礎41三向應力狀態平面應力狀態單向應力狀態純剪應力狀態特例特例第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述三向應力狀態平面應力狀態單向應力狀態純剪應力狀態特例特例第十42一點處的平面應力狀態如圖所示。已知

試求（1）斜面上的應力；（2）主應力、主平面；（3）繪出主應力單元體。例題一點處的平面應力狀態如圖所示。已知試求（143（1）斜面上的應力解、(1)斜面上的應力（1）斜面上的應力解、(1)斜面上的應力44（2）主應力（2）主應力45主平面的方位：哪個主應力對應于哪一個主方向，可以采用以下方法：主平面的方位：哪個主應力對應于哪一個主方向，可以采用以下方法46主應力的方向：主應力的方向：++主應力的方向：主應力的方向：++47

圖示應力單元體，試求斜面ab和bc上的應力。在二向應力狀態下，任意兩個垂直面上，其σ的和為一常數。例題圖示應力單元體，試求斜面ab和bc上的應力。在二向48

分析軸向拉伸桿件的最大切應力的作用面，說明低碳鋼拉伸時發生屈服的主要原因。低碳鋼拉伸時，其上任意一點都是單向應力狀態。

低碳鋼試樣拉伸至屈服時表面沿450出現滑移線，是由最大切應力引起的。例題分析軸向拉伸桿件的最大切應力的作用面，說明低碳鋼拉49

分析圓軸扭轉時最大切應力的作用面，說明鑄鐵圓試樣扭轉破壞的主要原因。

鑄鐵圓試樣扭轉試驗時，正是沿著最大拉應力作用面（即450螺旋面）斷開的。因此，可以認為這種脆性破壞是由最大拉應力引起的。例題分析圓軸扭轉時最大切應力的作用面，說明鑄鐵圓試樣扭50三平面應力狀態分析—圖解法第十章應力狀態理論基礎三平面應力狀態分析—圖解法第十章應力狀態理論基礎511、應力圓方程(1)(2)對(1)(2)式兩邊平方，將兩式相加，并利用消去和，得(3)1、應力圓方程(1)(2)對(1)(2)式兩邊平方，將兩式52RR比照解析幾何的曲線方程是一個圓心在(a.0),半徑為R的圓，則是個應力圓的方程RR比照解析幾何的曲線方程532.應力圓是個信息源(從力學觀點分析）（1）若已知一個應力單元體兩個互相垂直面上的應力就一定可以作一個圓，圓周上的各點就是該單元體任意斜截面上的應力。（2）平面應力狀態下任意斜截面上的應力相互制約在圓周上變化。2.應力圓是個信息源(從力學觀點分析）54

在σ-τ坐標系中，標定與微元A、D面上應力對應的點a和d

連ad交s

軸于c點，c即為圓心，cd為應力圓半徑。ADa(sx,tx)d(sy,ty)cR3.應力圓的畫法在σ-τ坐標系中，標定與微元A、D面上應力對55

點面對應——應力圓上某一點的坐標值對應著微元某一方向面上的正應力和切應力4、幾種對應關系caA點面對應——應力圓上某一點的坐標值對應著微元某一方向面上的56轉向對應——半徑旋轉方向與方向面法線旋轉方向一致；二倍角對應——半徑轉過的角度是方向面旋轉角度的兩倍。caDndxA2轉向對應——半徑旋轉方向與方向面法線旋轉方向一致；二倍角對應57b(sy,ty)Oca(sx,tx)BABAb(sy,ty)Oca(sx,tx)BABA58sxsxADtsodacx'yy'45ox2×45o2×45obeBE（1）對基本變形的應力分析單向拉伸5、應力圓的應用sxsxADtsodacx'yy'45ox2×45o2×4559單向拉伸x'y'BEsxsxt45oBEs45o

45o方向面既有正應力又有切應力，但正應力不是最大值，切應力卻最大。可見：s-45ot-45o單向拉伸x'y'BEsxsxt45oBEs45o60ttotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45o2×45os45o＝tBE純剪切（1）對基本變形的應力分析5、應力圓的應用ttotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×4561BEttBE純剪切s45o＝tBEttBE純剪切s45o＝t625.應力圓的應用（2）平面應力狀態下求任意截面上的應力點面相對應，首先找基準。轉向要相同，夾角兩倍整。5.應力圓的應用點面相對應，首先找基準。63txsxsytytsoc20adAD主平面：τ

=0,與應力圓上和橫軸交點對應的面5、應力圓的應用(3)平面應力狀態下主平面、主應力及主方向txsxsytytsoc20adAD主平面：τ=0,564txsxsytyAD主應力的確定tsoc2αoad5、應力圓的應用(3)平面應力狀態下主平面、主應力及主方向txsxsytyAD主應力的確定tsoc2αoad5、應力圓65

主應力排序：tsoc2qpadtsotso5、應力圓的應用(3)平面應力狀態下主平面、主應力及主方向主應力排序：tsoc2qpadtsotso5、應力圓的應66txysxsytyxADtsoc2oads1s2s1s1os2s2(sx,txy)主方向的確定

負號表示從主應力的正方向到x軸的正方向為順時轉向g5、應力圓的應用(3)平面應力狀態下主平面、主應力及主方向txysxsytyxADtsoc2oads1s2s1s167

對應應力圓上的最高點的面上切應力最大，稱為“面內最大切應力”。tmax5、應力圓的應用（4）面內最大剪應力tsoc2oad對應應力圓上的最高點的面上切應力最大68

例題試用應力圓法計算圖示單元體e--f截面上的應力。圖中應力的單位為MPa。例題試用應力圓法計算圖示單元體e--f截面上的應力。圖中69

例題一點處的平面應力狀態如圖所示。已知

試求（1）斜面上的應力；（2）主應力、主平面；（3）繪出主應力單元體。AD例題一點處的平面應力狀態如圖所示。已知試求（1）斜面上70用應力圓解法otscdfe解：用應力圓解法otscdfe解：71主應力單元體：主應力單元體：72三向應力狀態1.三向應力狀態的概念2.三向應力狀態的應力圓3.一點處的最大應力第十章應力狀態理論基礎三向應力狀態第十章應力狀態理論基礎73空間應力狀態：三個主應力均不為零的應力狀態s1s2s3四三向應力狀態/1.三向應力狀態的概念空間應力狀態：三個主應力均不為零的應力狀態s1s2s3四74szsxsytxty至少有一個主應力及其主方向已知sytxtysxsz三向應力狀態特例的一般情形四三向應力狀態/1.三向應力狀態的概念szsxsytxty至少有一個主應力及其主方向已知sytxt75tss3s2IIs1s2s3(1)求平行于σ1的方向面的應力σα、τα,其上之應力與σ1無關.于是由σ2

、σ3作出應力圓I四三向應力狀態/2.三向應力狀態的應力圓

tss3s2IIs1s2s3(1)求平行于σ1的方向面的應力76IIs1

s3IIIs2tsOs2s3s1(2)求平行于σ2的方向面的應力σα、τα,其上之應力與σ2無關.于是由σ1

、σ3作出應力圓Ⅱ四三向應力狀態/2.三向應力狀態的應力圓

IIs1s3IIIs2tsOs2s3s1(2)求平行于σ277IIItsOs3IIIs2s1IIIs2s1s3(3)求平行于σ3的方向面的應力σα、τα,其上之應力與σ3無關.于是由σ1

、σ2作出應力圓Ⅲ四三向應力狀態/2.三向應力狀態的應力圓

IIItsOs3IIIs2s1IIIs2s1s3(3)求平行78s1s2s3(4)一點處任意斜截面上的應力σn、τn,其上之應力與σ1

、σ2

、σ3都有關.四三向應力狀態/2.三向應力狀態的應力圓

在σ-τ平面內,代表任意斜截面的應力的點或位于應力圓上,或位于三個應力圓所構成的區域內.IIIs3IIIs2s1Otss1s2s3(4)一點處任意斜截面上的應力σn、τn,79四三向應力狀態/3.一點處的最大應力

一點處最大正應力與最小正應力由σ1和σ3

所作成的最大應力圓可見:IIIIIIs1s2s3ts四三向應力狀態/3.一點處的最大應力

一點處最大正應力與80Otszyxs2s1s3四三向應力狀態/3.一點處的最大應力

(2)面內最大剪應力與一點處最大剪應力Otszyxs2s1s3四三向應力狀態/3.一點處的最大應81ⅠOtss3s2zyxs2s3四三向應力狀態/3.一點處的最大應力

(2)面內最大剪應力與一點處最大剪應力ⅠOtss3s2zyxs2s3四三向應力狀態/3.一82Ⅱzyxs1s3s1Otss3s2Ⅰ四三向應力狀態/3.一點處的最大應力

(2)面內最大剪應力與一點處最大剪應力Ⅱzyxs1s3s1Otss3s2Ⅰ四三向應83Ⅲzyxs2s1s1Ⅱs1Otss3s2Ⅰ四三向應力狀態/3.一點處的最大應力

(2)面內最大剪應力與一點處最大剪應力Ⅲzyxs2s1s1Ⅱs1Otss3s2Ⅰ84Otxysx在三組特殊方向面中都有各自的面內最大切應力,即：四三向應力狀態/3.一點處的最大應力

Otxysx在三組特殊方向面中都有各85五廣義虎克定律1.橫向變形與泊松比2.三向主應力狀態的廣義虎克定律3.三向一般應力狀態的廣義虎克定律4.彈性常數E、G、μ之間的關系第十章應力狀態理論基礎五廣義虎克定律第十章應力狀態理論基礎86

各向同性材料的廣義胡克定律1、橫向變形與泊松比（各向同性材料）--泊松比yx各向同性材料的廣義胡克定律1、橫向變形與泊松比（各向同性材872、三向應力狀態的廣義胡克定律－疊加法++2312312312312、三向應力狀態的廣義胡克定律－疊加法++231231231882312312312318923123190應力狀態的分類課件91分析：(1)即(2)當時，即為二向應力狀態：(3)當時，即為單向應力狀態；即最大與最小主應變分別發生在最大與最小主應力方向。分析：(1)即(2)當時，即為二向應力狀態：(392

若單元體上作用的不是主應力，而是一般的應力時，則單元體不僅有線變形，而且有角變形。其應力-應變關系為：

yxz3.三向一般應力狀態的廣義虎克定律若單元體上作用的不是主應力，而是一般的應力yxz3.三向934、三個彈性常數

E、G、μ之間的關系4、三個彈性常數E、G、μ之間的關系94

邊長為20mm的鋼立方體置于鋼模中，在頂面上受力F=14kN作用。已知，μ=0.3，假設鋼模的變形以及立方體與鋼模之間的摩擦可以忽略不計。試求立方體各個面上的正應力。例題邊長為20mm的鋼立方體置于鋼模中，在頂面上受力F=195

某點的應力狀態如圖所示,當σx,σy,σz不變,τx增大時,關于εx值的說法正確的是____.A.不變B.增大C.減小D.無法判定εx僅與正應力有關，而與切應力無關。所以當切應力增大時，線應變不變。例題某點的應力狀態如圖所示,當σx,σy,σz不變,τx增96

一受扭圓軸,直徑d=20mm,圓軸的材料為,E=200GPa,ν=0.3.現測得圓軸表面上與軸線成450方向的應變為ε=5.2×10-4,試求圓軸所承受的扭矩.例題一受扭圓軸,直徑d=20mm,圓軸的材料為,E=97已知一圓軸承受軸向拉伸及扭轉的聯合作用。為了測定拉力F和力矩m，可沿軸向及與軸向成45°方向測出線應變。現測得軸向應變，45°方向的應變為。若軸的直徑D=100mm,彈性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。試求F和m的值。FmmFkuu45°例題已知一圓軸承受軸向拉伸及扭轉的聯合作用。為了FmmF98解：（1）K點處的應力狀態分析在K點取出單元體：K其橫截面上的應力分量為：（2）計算外力F.由廣義胡克定律：解：（1）K點處的應力狀態分析在K點取出單元體：K其橫截面上99解得：（3）計算外力偶m.已知式中Ku解得：（3）計算外力偶m.已知式中Ku100由解得：因此由解得：因此101六三向應力狀態下的變形能1.體積應變2.體積改變與形狀改變3.三向應力狀態下的變形比能第十章應力狀態理論基礎六三向應力狀態下的變形能第十章應力狀態理論102變形前單元體體積六三向應力狀態下的變形能/1.體積應變

變形后單元體的各棱邊長度將分別變為變形前單元體體積六三向應力狀態下的變形能/1.體積應變

103變形后單元體體積為略去二階以上微量,則單位體積改變六三向應力狀態下的變形能/1.體積應變

變形后單元體體積為略去二階以上微量,則單位體積改變六三向104六三向應力狀態下的變形能/1.體積應變

利用廣義虎克定律中三個主應變代入上式子;得即體積應變與三個主應力之和有關,與主應力的大小比例無關.六三向應力狀態下的變形能/1.體積應變

利用廣義虎克定律105六三向應力狀態下的變形能/1.體積應變

討論:純剪切平面應力狀態的體積應變tttt45ｏ剪應力的存在不影響體積應變.六三向應力狀態下的變形能/1.體積應變

討論:純剪切平面106六三向應力狀態下的變形能/1.體積應變

因此對于一般空間的應力狀態單元體yxz六三向應力狀態下的變形能/1.體積應變

因此對于一般空間107六三向應力狀態下的變形能/2.體積改變與形狀改變

一般來說,單元體的變形由體積改變和形狀改變所組成.體積改變—指形狀不變而只是體積大小改變.形狀改變—指體積不變而只是形狀的改變.六三向應力狀態下的變形能/2.體積改變與形狀改變

一般來108=六三向應力狀態下的變形能/2.體積改變與形狀改變

+形狀不變,只引起體積改變.無體積改變,只引起形狀改變.=六三向應力狀態下的變形能/2.體積改變與形狀改變

+形109(1)單向應力狀態下的比能比能變形能外力所做的功六三向應力狀態下的變形能/3.三向應力狀態下的變形比能

變形比能:單位體積內儲存的變形能(1)單向應力狀態下的比能比能變形能外力所做的功六三向應110s1s2s3(2)三向應力狀態下的比能式中主應變用主應力表示,則s1s2s3(2)三向應力狀態下的比能式中主應變用主應力表示111(3)體積改變比能與形狀改變比能:單元體因體積改變所儲存的變形能稱為體積改變比能;=+:單元體因形狀改變所儲存的變形能稱為形狀改變比能;(3)體積改變比能與形狀改變比能:單元體因體積改變所儲存的變112體積改變比能體積改變比能113形狀改變比能形狀改變比能114第十章應力狀態理論基礎一應力狀態的概念及其描述二平面應力狀態分析—數解法三平面應力狀態分析—圖解法四三向應力狀態五廣義虎克定律六三向應力狀態下的變形能第十章應力狀態理論基礎一應力狀態的概念及其描述115一應力狀態的概念及其描述第十章應力狀態理論基礎一應力狀態的概念及其描述第十章應力狀態理論基礎116第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述1問題的提出2應力的三個重要概念3一點應力狀態的描述第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述1問117一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

討論基本變形強度問題時的共同特點:危險截面上的危險點只承受正應力或剪應力F拉(壓):一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

討論基本變形強度118一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

扭轉:討論基本變形強度問題時的共同特點:危險截面上的危險點只承受正應力或剪應力一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

扭轉:討論基本變119一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

討論基本變形強度問題時的共同特點:危險截面上的危險點只承受正應力或剪應力一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

討論基本變形強度120一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

對于橫截面上既有正應力又有剪應力的一些點如何建立強度條件?這些點強度條件的危險應力如何確定?一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

121一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

FPl/2l/2S平面5544332211

S平面一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

FPl/2l/2122123S平面

5544332211一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

4PlFMz=123S平面5544332211一應力狀態的概念及其描述123一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

為什么鋼筋混凝土梁在加載試驗過程中,除了在跨中底部會發生豎向裂縫外,其他部位還會發生斜向裂紋?這些問題都要通過應力狀態的分析來解決.一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

1242.應力狀態的三個重要概念(1)應力的面的概念(2)應力的點的概念(3)應力狀態的概念第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述2.應力狀態的三個重要概念第十章應力狀態理論基礎/一應125軸向拉壓同一橫截面上各點應力相等：FF同一點在斜截面上時：第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述此例表明：即使同一點在不同方位截面上，它的應力也是各不相同的，此即應力的面的概念。軸向拉壓同一橫截面上各點應力相等：FF同一點在斜截面上時：第126

橫截面上正應力分析和切應力分析的結果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即應力的點的概念。第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述橫截面上正應力分析和切應力分析的結127應力指明哪一個面上

哪一點？哪一點哪個方向面？第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述應力指明哪一個面上

哪一點？哪一點第十章應力狀128

過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態。應力狀態分析就是研究一點處沿各個不同方位的截面上的應力及其變化規律。第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態129單元體3.一點應力狀態的描述第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述單元體3.一點應力狀態的描述第十章應力狀態理論基礎/一130

圖示為一矩形截面鑄鐵梁，受兩個橫向力作用。從梁表面的A、B、C三點處取出的單元體上，用箭頭表示出各個面上的應力。

課堂練習第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述圖示為一矩形截面鑄鐵梁，受兩個橫向力作用。從梁表131FPl/2l/2S’平面5544332211

S’平面第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述課堂練習繪圖示梁S’平面上各點的應力單元體FPl/2l/2S’平面5544332211S’平面第十章132123S’平面

5544332211一應力狀態的概念及其描述/1問題的提出

123S’平面5544332211一應力狀態的概念及其描133FPlaS第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述課堂練習繪圖示構件固端S截面上、下、左、右切線點處的應力單元體FPlaS第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其134xzy4321S平面第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述SFPxzy4321S平面第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態135yxzMzFQyMx4321143第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述課堂練習yxzMzFQyMx4321143第十章應力狀態理論基礎136l課堂練習承受內壓、扭轉的薄壁圓筒,試從加強肋之間取應力單元體第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述ｐl課堂練習承受內壓、扭轉的薄壁圓筒,試從加強肋之間取應力單元137ＤｐπD２４)Dp(xsｐ第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述ＤｐπD２４)Dp(xsｐ第十章應力狀態理論基礎/一138ｐｐ×Ｄ×ｌ第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述ｐｐ×Ｄ×ｌ第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及139l第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述l第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述140ltsms第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述ｐltsms第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其141二平面應力狀態分析—數解法第十章應力狀態理論基礎二平面應力狀態分析—數解法第十章應力狀態理論基礎142第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法

1.斜截面上的應力已知受力構件中的應力單元體求垂直于xy面的任意斜截面ef上的應力第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法143公式推導使用的符號規定：α角

由x正向逆時針轉到n正向者為正；反之為負。正應力拉應力為正壓應力為負切應力

使單元體或其局部順時針方向轉動為正；反之為負。第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法

αα公式推導使用的符號規定：α角由x正向逆時針轉到n正向者為144公式推導(1)面上的應力：第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法

公式推導(1)面上的應力：第十章應145用斜截面截取，此截面上的應力為公式推導(2)面上的應力：用斜截面截取，此截面上的應力146即單元體兩個相互垂直面上的正應力之和是一個常數。即又一次證明了剪應力的互等定理。公式推導(3)面上的應力之間的關系：即單元體兩個相互垂直面上即又一次證明了剪應力的互等定理。公式147第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法

2.在何處?該處令,則:即:面上有第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法148第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法

在何處?令得:任意(為方便)令:可發現:①正應力極值有兩個方面②相差第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法149第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法

將代入式,得顯然,在面上第十章應力狀態理論基礎/二平面應力狀態分析—數解法1503、=?在何處？該處σ=？

令 面上的正應力:即:方位:大小:將代式,得:3、=?在何處？該處σ=？令 面上的正應力:即:1514、主平面、主應力、主應力的排列主平面：單元體中只有正應力而沒有剪應力的平面稱為主平面。主應力：主平面上的正應力稱為該點的主應力。主應力的排列：用代數值確定，排列為、、4、主平面、主應力、主應力的排列用代數值確定，排列為、、152三向（空間）應力狀態第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述5、應力狀態的分類：三向（空間）應力狀態第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態153平面（二向）應力狀態第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述平面（二向）應力狀態第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態154xyxy單向應力狀態純剪應力狀態

第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述xyxy單向應力狀態純剪應力狀態

第十章應力狀態理論基礎155三向應力狀態平面應力狀態單向應力狀態純剪應力狀態特例特例第十章應力狀態理論基礎/一應力狀態的概念及其描述三向應力狀態平面應力狀態單向應力狀態純剪應力狀態特例特例第十156一點處的平面應力狀態如圖所示。已知

試求（1）斜面上的應力；（2）主應力、主平面；（3）繪出主應力單元體。例題一點處的平面應力狀態如圖所示。已知試求（1157（1）斜面上的應力解、(1)斜面上的應力（1）斜面上的應力解、(1)斜面上的應力158（2）主應力（2）主應力159主平面的方位：哪個主應力對應于哪一個主方向，可以采用以下方法：主平面的方位：哪個主應力對應于哪一個主方向，可以采用以下方法160主應力的方向：主應力的方向：++主應力的方向：主應力的方向：++161

圖示應力單元體，試求斜面ab和bc上的應力。在二向應力狀態下，任意兩個垂直面上，其σ的和為一常數。例題圖示應力單元體，試求斜面ab和bc上的應力。在二向162

分析軸向拉伸桿件的最大切應力的作用面，說明低碳鋼拉伸時發生屈服的主要原因。低碳鋼拉伸時，其上任意一點都是單向應力狀態。

低碳鋼試樣拉伸至屈服時表面沿450出現滑移線，是由最大切應力引起的。例題分析軸向拉伸桿件的最大切應力的作用面，說明低碳鋼拉163

分析圓軸扭轉時最大切應力的作用面，說明鑄鐵圓試樣扭轉破壞的主要原因。

鑄鐵圓試樣扭轉試驗時，正是沿著最大拉應力作用面（即450螺旋面）斷開的。因此，可以認為這種脆性破壞是由最大拉應力引起的。例題分析圓軸扭轉時最大切應力的作用面，說明鑄鐵圓試樣扭164三平面應力狀態分析—圖解法第十章應力狀態理論基礎三平面應力狀態分析—圖解法第十章應力狀態理論基礎1651、應力圓方程(1)(2)對(1)(2)式兩邊平方，將兩式相加，并利用消去和，得(3)1、應力圓方程(1)(2)對(1)(2)式兩邊平方，將兩式166RR比照解析幾何的曲線方程是一個圓心在(a.0),半徑為R的圓，則是個應力圓的方程RR比照解析幾何的曲線方程1672.應力圓是個信息源(從力學觀點分析）（1）若已知一個應力單元體兩個互相垂直面上的應力就一定可以作一個圓，圓周上的各點就是該單元體任意斜截面上的應力。（2）平面應力狀態下任意斜截面上的應力相互制約在圓周上變化。2.應力圓是個信息源(從力學觀點分析）168

在σ-τ坐標系中，標定與微元A、D面上應力對應的點a和d

連ad交s

軸于c點，c即為圓心，cd為應力圓半徑。ADa(sx,tx)d(sy,ty)cR3.應力圓的畫法在σ-τ坐標系中，標定與微元A、D面上應力對169

點面對應——應力圓上某一點的坐標值對應著微元某一方向面上的正應力和切應力4、幾種對應關系caA點面對應——應力圓上某一點的坐標值對應著微元某一方向面上的170轉向對應——半徑旋轉方向與方向面法線旋轉方向一致；二倍角對應——半徑轉過的角度是方向面旋轉角度的兩倍。caDndxA2轉向對應——半徑旋轉方向與方向面法線旋轉方向一致；二倍角對應171b(sy,ty)Oca(sx,tx)BABAb(sy,ty)Oca(sx,tx)BABA172sxsxADtsodacx'yy'45ox2×45o2×45obeBE（1）對基本變形的應力分析單向拉伸5、應力圓的應用sxsxADtsodacx'yy'45ox2×45o2×45173單向拉伸x'y'BEsxsxt45oBEs45o

45o方向面既有正應力又有切應力，但正應力不是最大值，切應力卻最大。可見：s-45ot-45o單向拉伸x'y'BEsxsxt45oBEs45o174ttotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45o2×45os45o＝tBE純剪切（1）對基本變形的應力分析5、應力圓的應用ttotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45175BEttBE純剪切s45o＝tBEttBE純剪切s45o＝t1765.應力圓的應用（2）平面應力狀態下求任意截面上的應力點面相對應，首先找基準。轉向要相同，夾角兩倍整。5.應力圓的應用點面相對應，首先找基準。177txsxsytytsoc20adAD主平面：τ

=0,與應力圓上和橫軸交點對應的面5、應力圓的應用(3)平面應力狀態下主平面、主應力及主方向txsxsytytsoc20adAD主平面：τ=0,5178txsxsytyAD主應力的確定tsoc2αoad5、應力圓的應用(3)平面應力狀態下主平面、主應力及主方向txsxsytyAD主應力的確定tsoc2αoad5、應力圓179

主應力排序：tsoc2qpadtsotso5、應力圓的應用(3)平面應力狀態下主平面、主應力及主方向主應力排序：tsoc2qpadtsotso5、應力圓的應180txysxsytyxADtsoc2oads1s2s1s1os2s2(sx,txy)主方向的確定

負號表示從主應力的正方向到x軸的正方向為順時轉向g5、應力圓的應用(3)平面應力狀態下主平面、主應力及主方向txysxsytyxADtsoc2oads1s2s1s1181

對應應力圓上的最高點的面上切應力最大，稱為“面內最大切應力”。tmax5、應力圓的應用（4）面內最大剪應力tsoc2oad對應應力圓上的最高點的面上切應力最大182

例題試用應力圓法計算圖示單元體e--f截面上的應力。圖中應力的單位為MPa。例題試用應力圓法計算圖示單元體e--f截面上的應力。圖中183

例題一點處的平面應力狀態如圖所示。已知

試求（1）斜面上的應力；（2）主應力、主平面；（3）繪出主應力單元體。AD例題一點處的平面應力狀態如圖所示。已知試求（1）斜面上184用應力圓解法otscdfe解：用應力圓解法otscdfe解：185主應力單元體：主應力單元體：186三向應力狀態1.三向應力狀態的概念2.三向應力狀態的應力圓3.一點處的最大應力第十章應力狀態理論基礎三向應力狀態第十章應力狀態理論基礎187空間應力狀態：三個主應力均不為零的應力狀態s1s2s3四三向應力狀態/1.三向應力狀態的概念空間應力狀態：三個主應力均不為零的應力狀態s1s2s3四188szsxsytxty至少有一個主應力及其主方向已知sytxtysxsz三向應力狀態特例的一般情形四三向應力狀態/1.三向應力狀態的概念szsxsytxty至少有一個主應力及其主方向已知sytxt189tss3s2IIs1s2s3(1)求平行于σ1的方向面的應力σα、τα,其上之應力與σ1無關.于是由σ2

、σ3作出應力圓I四三向應力狀態/2.三向應力狀態的應力圓

tss3s2IIs1s2s3(1)求平行于σ1的方向面的應力190IIs1

s3IIIs2tsOs2s3s1(2)求平行于σ2的方向面的應力σα、τα,其上之應力與σ2無關.于是由σ1

、σ3作出應力圓Ⅱ四三向應力狀態/2.三向應力狀態的應力圓

IIs1s3IIIs2tsOs2s3s1(2)求平行于σ2191IIItsOs3IIIs2s1IIIs2s1s3(3)求平行于σ3的方向面的應力σα、τα,其上之應力與σ3無關.于是由σ1

、σ2作出應力圓Ⅲ四三向應力狀態/2.三向應力狀態的應力圓

IIItsOs3IIIs2s1IIIs2s1s3(3)求平行192s1s2s3(4)一點處任意斜截面上的應力σn、τn,其上之應力與σ1

、σ2

、σ3都有關.四三向應力狀態/2.三向應力狀態的應力圓

在σ-τ平面內,代表任意斜截面的應力的點或位于應力圓上,或位于三個應力圓所構成的區域內.IIIs3IIIs2s1Otss1s2s3(4)一點處任意斜截面上的應力σn、τn,193四三向應力狀態/3.一點處的最大應力

一點處最大正應力與最小正應力由σ1和σ3

所作成的最大應力圓可見:IIIIIIs1s2s3ts四三向應力狀態/3.一點處的最大應力

一點處最大正應力與194Otszyxs2s1s3四三向應力狀態/3.一點處的最大應力

(2)面內最大剪應力與一點處最大剪應力Otszyxs2s1s3四三向應力狀態/3.一點處的最大應195ⅠOtss3s2zyxs2s3四三向應力狀態/3.一點處的最大應力

(2)面內最大剪應力與一點處最大剪應力ⅠOtss3s2zyxs2s3四三向應力狀態/3.一196Ⅱzyxs1s3s1Otss3s2Ⅰ四三向應力狀態/3.一點處的最大應力

(2)面內最大剪應力與一點處最大剪應力Ⅱzyxs1s3s1Otss3s2Ⅰ四三向應197Ⅲzyxs2s1s1Ⅱs1Otss3s2Ⅰ四三向應力狀態/3.一點處的最大應力

(2)面內最大剪應力與一點處最大剪應力Ⅲzyxs2s1s1Ⅱs1Otss3s2Ⅰ198Otxysx在三組特殊方向面中都有各自的面內最大切應力,即：四三向應力狀態/3.一點處的最大應力

Otxysx在三組特殊方向面中都有各199五廣義虎克定律1.橫向變形與泊松比2.三向主應力狀態的廣義虎克定律3.三向一般應力狀態的廣義虎克定律4.彈性常數E、G、μ之間的關系第十章應力狀態理論基礎五廣義虎克定律第十章應力狀態理論基礎200

各向同性材料的廣義胡克定律1、橫向變形與泊松比（各向同性材料）--泊松比yx各向同性材料的廣義胡克定律1、橫向變形與泊松比（各向同性材2012、三向應力狀態的廣義胡克定律－疊加法++2312312312312、三向應力狀態的廣義胡克定律－疊加法++2