概率論與數理統計第一節一維隨機變量

及其分布(3)五、連續型隨機變量六、典型的連續型隨機變量及其分布五、連續型隨機變量

定義對于隨機變量X，若存在非負可積函數

則稱X為連續型隨機變量,且稱p(x)

為密度函數,或概率密度.注此定義中涉及三個名詞:連續型隨機變量,1.連續型隨機變量及其密度函數p(x)(xR),

使得X

的分布函數

密度函數,分布函數.xyo設X為連續型隨機變量,p(x)

為X的密度函數,(1)(2)

(3)

(4)

F(x)為X的分布函數,則2.密度函數的性質(規范性)(非負性)前3個性質顯然成立,下面只給出第4個性質的證明證1o性質4說明對于任意可能值c

,連續型隨機2o連續型隨機變量的概率與區間的開閉無關A=A=3o注變量取c

的概率等于零.注：(6)對連續性隨機變量，

一定是連續的，但是未必連續，在

的連續點處，有

解例1六、典型的連續型隨機變量的分布1.均勻分布（規則分布）Uniformdistribution

(1)定義概率密度函數圖形分布函數為:(2)均勻分布的性質(3)均勻分布的意義背景：幾何概型

設隨機變量X在[2,5]上服從均勻分布,現

X的分布密度函數為設A表示“對X的觀測值大于3”,解即A={X>3}.例2對X進行三次獨立觀測,試求至少有兩次觀測值大于3

的概率.因而有設Y表示對X進行3次獨立觀測中,觀測值大于則3的次數,(1)定義2.正態分布(高斯分布)Normaldistribution

正態分布是最重要的一種概率分布。正態分布概念是由德國數學家和天文學家

棣莫弗(De

Moivre)于1733年在推導二項分布的極限分布時首次發現提出.但由于德國數學家Gauss率先將其應用于天文學研究(誤差密度函數為正態分布)，故正態分布又叫高斯分布。高斯這項工作對后世的影響極大,這直接導致正態分布同時也被冠名為“高斯分布”.高斯是一個偉大的數學家，重要的貢獻不勝枚舉。現今德國10馬克的鈔票上印有高斯頭像，其上還印有正態分布的密度曲線。這傳達了一種觀點：在高斯的一切科學貢獻中，其對人類文明影響最大者，就是這一項。正態分布的歷史

從1989年直到2001年年底，他的肖像和他所寫的正態分布曲線與一些在哥廷根突出的建筑物，一起被放入德國10馬克的鈔票中。背面：高斯發明的六分儀（用于航海、大地測量）正態分布之所以重要,原因很多,我們給出三個主要的原因:首先是正態分布在分析上較易處理。其次是正態分布的密度函數的圖形為鐘形曲線(bell-shapedcurve),再加上對稱性,使得很適合當作不少總體的機率模式。當然下面我們會看到鐘形且具對稱的分布也有不少,但通常不像正態分布,在分析上如此容易駕馭。第三個原因是由于在中心極限定理(CentralLimitTheorem),使得在不太強的條件下,正態分布可當做不少大樣本的近似分布。

正態分布之所以重要,原因很多,三個主要原因:首先是正態分布在分析上較易處理。其次是正態分布的密度函數的圖形為鐘形曲線(bell-shapedcurve),再加上對稱性,使得很適合當作不少總體的機率模式。當然也有很多其它鐘形且具對稱的分布,但不像正態分布,在分析上如此容易駕馭。由于中心極限定理(CentralLimitTheorem),使得在不太強的條件下,正態分布可當做不少大樣本的近似分布。正態分布的應用

正態分布的應用非常廣泛,例如測量誤差,隨機噪聲,學生成績,產品的尺寸等大量的隨機現象可以用正態分布描述.(2)正態概率密度函數的特性xyOx=xyOx=x=正態分布的分布函數標準正態分布的圖形標準正態分布的特殊性質:1)2)可得3)解例3正態分布與標準正態分布的關系:解

本例給出了當隨機變量X服從正態分布例4時,如果我們要計算關于它的概率問題,則可以轉化為標準正態分布進行計算.解例5相應的分布函數為3.指數分布Exponentialdistribution

定義

指數分布也是常用分布之一,常用它來描述各種“壽命”問題,如電子元器件的壽命,生物的壽命.指數分布應用廣泛，在日本的工業標準和美國軍用標準中，半導體器件的抽驗方案都是采用指數分布。此外，指數分布還用來描述大型復雜系統（如計算機）的平均故障間隔時間MTBF的失效分布。設某類日光燈管的使用壽命X服從參數為X的分布函數為解=1/2000的指數分布(單位:小時)(1)任取一只這種燈管,求能正常使用1000小時以上的概率.(2)有一只這種燈管已經正常使用了1000

小時以上,求還能使用1000小時以上的概率.

例6指數分布的重要性質:

“無記憶性”.正是由于指數分布具有缺乏“記憶”的特性．因而限制了它在機械可靠性研究中的應用，所謂缺乏“記憶”,是指某種產品或零件經過一段時間t0的工作后,仍然如同新的產品一樣,不影響以后的工作壽命值，或者說，經過一段時間t0的工作之后，該產品的壽命分布與原來還未工作時的壽命分布相同，顯然，指數分布的這種特性，與機械零件的疲勞、磨損、腐蝕、蠕變等損傷過程的實際情況是完全矛盾的，它違背了產品損傷累積和老化這一過程。所以，指數分布不能作為機械零件功能參數的分布形式。內容小結2.常見連續型隨機變量的分布均勻分布正態分布(高斯分布)指數分布再見解例1-1備用題例1-2設(2)若是X的密度函數,求出X的分布函數.解

綜上所述或設隨機變量X的概率密度為解例1-3例2-1有實根的概率.則有實根的概率為解例5-1某地抽樣調查結果表明，考生的外語成績(百分制),服從正態分布，平均成績為

72分，96分以上占考生總數的2.3%,試求考生的外語成績在

60分至

84分之間的概率.解依題意，考生外語成績X查表，知查表，得例5-2解

例5-3公共汽車車門的高度是按成年男子與門楣碰頭的概率不大于0.01設計的,設成年男子身高(單解

所以,車門最低高度應為184厘米.例5-4從甲地飛往乙地的航班,每天上午10:10起飛,飛行時間X服從均值是4h,標準差是20min的正態分布.(1)該機在下午2:30以后到達乙地的概率是多少?(2)該機在下午2:20以前到達乙地的概率是多少?(3)該機在下午1:50至2:30之間到達乙地的概率是多少?解

(1)所求概率為(2)所求概率為(3)所求概率為例6-1某儀器裝有3支獨立工作的同型號電子元件,其壽命(單位:h)都服從同一指數分布,密度函數為試求在儀器使用的最初200h內,至少有一個電子元解

改變連續型隨機變量X的概率密度平p(x)在個