專題21平面向量的數量積一、單選題（本大題共12小題，共60分）在△ABC中，向量AB與AC滿足(AB|AB|+AC|AC|)·A.等邊三角形 B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形 D.等腰直角三角形已知向量a=(2,1)，b=(-3,1)，則(????)A.(a+b)//a

B.向量a在向量b上的投影為102

C.a與a-已知向量m=1,0，n=12,A.m=n B.m-n//n

C.m在△ABC中，設AC2-AB2=2AM?BC，則動點MA.垂心 B.內心 C.重心 D.外心已知|a|=6，b=(m,3)，且(b-a)⊥(2A.4 B.2 C.1 D.6已知向量a=(-1,1)，b=(m,2).若(a-b)⊥a，則向量2aA.7210 B.210 C.下列四個結論，正確的個數是(????)①在?ABC中，若A>B>C，則sinA>sinB>sinC；②若，則存在唯一實數λ使得a→=λ③若，，則；④在?ABC中，若AB→|AB→|A.1 B.2 C.3 D.4在ΔABC中，以下命題中正確的個數是(

)①若AP=λ(AB+AC)(λ∈R)②若13(OA+OB③若OA?OB=OB?④若AC2-AB2=2A.1 B.2 C.3 D.4八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中OA=1①OA?OD=-22；②OB其中正確結論的個數為(

)A.3 B.2 C.1 D.0設向量a,b,c,滿足a=b=2,a?b=2,a-c?A.3+12 B.3-12在給出的下列命題中，不正確的是(????)A.設O,A,B,C是同一平面上的四個點，若OA=m?OB+(1-m)?OC(m∈R)，則點A,B,C必共線

B.若向量a,b是平面α上的兩個向量，則平面α上的任一向量c都可以表示為c=λa+μb(μ,λ∈R)，且表示方法是唯一的

C.已知平面向量OA,OB,OC滿足OA?已知不共線向量OA,OB夾角為α,OA=1,OBA.0,π3 B.π3,二、單空題（本大題共6小題，共30分）已知向量AB與AC的夾角為120°，且|AB|=3，|AC|=2，若AP=λAB+AC，且如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點，AB=EF=2，CA=CB=3，若AB?AE+AC?AF=7，則EF與已知AD是的斜邊BC上的高，P在DA延長線上，(PB+PC)?AD=82，若AD的長為2已知|a|=2，|b|=1，向量a與向量b夾角為60°，求使向量2ta+7b與如圖，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=1，BC=2.直線l過△ABC的重心G，且與邊AB，AC分別交于D，E兩點，則CG?ED的最小值為________．三、解答題（本大題共3小題，共30分）18．已知，，與的夾角為60°.（1）求的值；（2）當實數為何值時，與垂直?19．已知向量，滿足，，.（1）求向量與的夾角；（2）求.20．已知向量，的夾角為，且．（1）若，求的坐標；（2）若，求的值．專題21平面向量的數量積一、單選題（本大題共12小題，共60分）在△ABC中，向量AB與AC滿足(AB|AB|+AC|ACA.等邊三角形 B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】D【解析】解：因為(ABAB+ACAC)·BC所以三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC．

又因為BABA所以∠ABC=45°，

所以三角形ABC是等腰直角三角形．

故選D．已知向量a=(2,1)，b=(-3,1)A.(a+b)//a

B.向量a在向量b上的投影為102

C.a與a-【答案】C【解析】解：對于A，向量a=(2,1)，b=(-3,1)，

所以a+b=(-1,2)，且-1×1-2x2=-5≠0，所以a+b與a不平行，所以A錯誤；

對于B，向量a在向量b上的投影為a·bb=-510=-102，所以B錯誤：

因為a-b=(5,0)，所以cos<a，a-b已知向量m=1,0，n=1A.m=n B.m-n//n

C.m【答案】C【解析】解：因為m=(1,0)，n=(12,12)，

對于A，m=1,n=122+122=22，則|m|≠|n|，故A錯誤；

對于B，因為m-n=12,-12，又因為12×-12-1在△ABC中，設AC2-AB2=2AM?BCA.垂心 B.內心 C.重心 D.外心【答案】D【解析】解：如圖所示：

設線段BC的中點為D，則AB+AC=2AD．

∵AC2-AB2=2AM?BC，

∴(AC+AB)?(AC-AB)=2AM?BC已知|a|=6，b=(m,3)，且(b-A.4 B.2 C.1 D.6【答案】C【解析】解：因為b=(m,3)，所以b=m2+9．

又因為(b-a)⊥(2a+b)，

所以b-a·2a+b=0，

即b2+a·b-2a2=0，

而|a|=6，

因此m2+9+a·b-12=0，解得a·b=3-m2，

所以向量a已知向量a=(-1,1)，b=(m,2).若(a-b)⊥a，則向量A.7210 B.210 C.【答案】A【解析】解：因為a=(-1,1)，b=(m,2)，

所以a-b=-1-m,-1，

因為，

所以-1×-1-m+1×-1=0，解得m=0，

所以2a+b=-2,2+0,2=-2,4，

a下列四個結論，正確的個數是(????)①在?ABC中，若A>B>C，則sinA>sinB>sinC；②若，則存在唯一實數λ使得a→=λ③若，，則；④在?ABC中，若AB→|AB→|A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】解：①A>B>C，則a>b>c，由正弦定理得則sinA>sinB>sinC；故①正確，

②若b=0，a≠0，滿足a//b，此時不存在實數λ，使得a→=λb→；故②錯誤，

③若b=0，a,c為不共線向量，滿足a//b，，此時a,c不平行，故③錯誤，

④AB|AB|，AC|AC|分別是AB,AC方向的單位向量，向量AB|在ΔABC中，以下命題中正確的個數是(

)①若AP=λ(AB+AC)(λ∈R)②若13(OA+OB③若OA?OB=OB?④若AC2-AB2=2A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】解：①設D為BC中點，則AB+AC=2AD，∴AP可知P點軌跡必過ΔABC的重心，故①錯誤；②因為13(OA化簡得GA+GB+GC=0，故點③∵OA?OB=OB?OC同理由

OA?OB=OC?OA，得到OA⊥BC，∴點④設BC的中點是O，AC2即(AO-AM)?BC=MO所以動點M的軌跡必通過△ABC的外心，故④正確；

綜上，正確個數為3．

故選C．八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中OA=1①OA?OD=-22；②OB其中正確結論的個數為(

)A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】解：對①，OA,OD的夾角為135°，所以OA?OD=|OA||OD|cos?135°=-22，故①正確；

對②，(OB+OH)2=OB2+OH2+2OB?OH=2，所以|OB+OH|=2，|-2OE|=2，

利用向量的加法法則，由圖可發現OB設向量a,b,c,滿足a=b=2,a?b=2,A.3+12 B.3-12【答案】C【解析】解：由題意知，|a→|=|b→|=a→·b→=2，

而a→·b→=|a→||b→|cosα，

故cosα=12，α=π3，

可設a→=(2,0)，b→=(1,3在給出的下列命題中，不正確的是(????)A.設O,A,B,C是同一平面上的四個點，若OA=m?OB+(1-m)?OC(m∈R)，則點A,B,C必共線

B.若向量a,b是平面α上的兩個向量，則平面α上的任一向量c都可以表示為c=λa+μb(μ,λ∈R)，且表示方法是唯一的

C.已知平面向量OA,OB,OC滿足OA?【答案】B【解析】解：對于A，設O,A,B,C是同一平面上的四個點，

若OA=m?OB+(1-m)?OC(m∈R)，

則OA-OC=mOB-OC，

∴CA=mCB，

∴點A,B,C必共線，故A正確；

對于B，當a=0或b=0時，結論不成立，故B錯誤；

對于C，若平面向量OA,OB,OC滿足OA?OB=OA?OC，

則OA·OB-OC=0，即OA·CB=0，

∴OA⊥CB；

又AO=λ(AB|AB|+AC|AC|已知不共線向量OA,OB夾角為α,OAA.0,π3 B.π3,【答案】C【解析】解：由題意可得OA?OB=2×1×cosα=2cosα，

PQ=OQ-OP═tOB-(1-t)OA，

∴PQ2=t2OB2+(1-t)2OA2二、單空題（本大題共5小題，共30分）已知向量AB與AC的夾角為120°，且|AB|=3，|AC|=2，若AP=λAB+【答案】7【解析】解：由題意可知：BC=AC-AB，

因為AP⊥BC，所以AP?BC=0，

所以如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點，AB=EF=2，CA=CB=3，若AB?AE+AC?AF=7，則【答案】1【解析】解：如圖，在和中，B是EF的中點，AB=EF=2，CA=CB=3，

若AB?AE+AC?AF=7，EF?BC=(AF-AE)?(AC-AB)=(AB?AE+已知AD是的斜邊BC上的高，P在DA延長線上，(PB+PC)?AD=82，若AD【答案】4【解析】解(PB+PC)·AD=(已知|a|=2，|b|=1，向量a與向量b夾角為60°，求使向量2ta+7【答案】(-7,-【解析】解：由題意可得a?b=2×1×cos60°=1，

設向量2ta+7b與向量a+tb的夾角為θ，

則θ∈(90°,180°)，則有cosθ<0，且cosθ≠-1．

即2ta+7b與向量a+tb的不能反向共線，

且向量數量積(2ta+7b)?(a+tb)<0，

設2ta+7b≠-k?(a+tb如圖，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=1，BC=2.直線l過△ABC的重心G，且與邊AB，AC分別交于D，E兩點，則CG?ED的最小值為【答案】4+2【解析】解：設AE=λAC,AD=μAB,λ,μ∈0,1，

因為G是△ABC的重心，

所以AG=23·12AB+AC

=13μAD+13λAE，

又因為E，G，D三點共線，

所以13μ+13λ=1，即1λ+1μ=3，

同理：CG=2312三、解答題（本大題共3小題，共30分）18．已知，，與的夾角為60°.（1）求的值；