共5共5頁第1頁2010年河北省大學生數學競賽試卷答案（非數學類，2010）考試形式：閉卷 考試時間：150分鐘滿分：100分+yln2-(n-l)2).?、（本題滿分10分）求極限iimJ-（7/r-l+7/r-22+yln2-(n-l)2).解Sn= (^/r-l+^Jir-22+--+y]n2-(n-l)2)=-[n=-[nw-l=-[n=-[nw-l(=01-(-)2+--+4/1-(—)2]閃Vi-a:在［o.i］上跡續，故在，n10分所以limSn=\\ll-x2dx-hm丄=f\Jl-x2dx=—J0 n->?/J10分:、（本題滿分10分）治問a,b,c^）何值吋卜*式成立lim—一\'^L=c.smx-axJbyj\+r解注點到左邊得極限屮，無論a為Mffi總Yf分母趨f?零，閃此要想極限存在，分子必須為無窮小項.r?是可知必有b=o.當b=o時使用洛必達法則幻到l rdt x1lim =lim 1 ?H0Slllx_ajJoVl+r (cos.r-67)5/1+x由上式可知:當a->0時，則此極限存在,且W值為0;若a=l，則lim一!一\x-^L==hm =一2.綜上所述.扮到如卜結論:smx-xJoVl+r(cosx-lWl+A：210分a#lJ?=0,c=0；或《=1，辦=0，10分Illss5sitg^a^/=f+dx^01+tan?j鴦奇給漭x=h—rW_J2又：‘丄jrJTd/J。i+tu/=ifMI^=￡.……10華2J。is,關婪藝pp}+wa:、Mt1s輝苫拖豚楚y=.:/ll^i>査茇一,2,3,…，/r:n.—i—2></=%M-{Inx—lJ11分y、=0=>J=?氓芯41￡^0<x<Hb|/<0,^A>eIo)}ss^53務M?-^-.ir?lHV、-M1^ssr洚玆Ixl互籽(IMr11N7-1I?irH+1lrH+1=11?M——雉浮?ssfl洚越g￥Tc).?w全膨至:=0S+1eTl,rjo>.5(K7*5洚軸2卻共5共5頁第頁J?是10分n=0六、(本題滿分川分)iS/(A)=sinx- ,H:屮f為跡續函數，求/(<)?J0解原方稈-J寫為fW=smx-xjXQf(t)dt+[jf(t)dt上式兩端對X求導得f\x)=cosj- -xf(x)+xf(x)=cosx-(t)dt兩端再對X求導得廠U)+/U)=-sm.r這是一個二階線性常系數lh齊次方程，由原方R知/(o)=o,巾(*)式知尸(0)=1.特征方程為又2+1=0,A=±i齊次通解為 y=Cksinx+C2cosx沒:lh齊次方程特解ya=x(asinx+bcosx),代入f\x)+/(x)=-sm^f3則II:齊次方程通解為.ytqsinj+C^cosj+yCOSA：巾初始條件y(0)=0和/(0)=1可知=去，C2=0. 10分七、(本題滿分10分)在過點0(0,0)和4(/r，0)的曲線族y=asinx(a>0)中，求-條曲線使沿該曲線從a到<4的積分￡(l+/Xr+(2x+y)a.v的值最小.

解I(ci)=(1+y3)dx+(2x+y)dy=J。[1+a3sm3x+(2x+asinx)acosx]dx令廣(a)=-4+4a:=0，得a=l(?=-1舍去)；又/'(1)=8>0，則/(a)在a=l處取極小值，且a=l是/⑹在(0，+?)內的唯一極值點，故a=1吋/(a)取最小俏，10分則所求曲線為y=sinj10分八、(木題滿分10分)沒/(.r)在［-1.1］上有二階異數，H/(-l)=/(l)=|.|r(-v)|<p證明1.2.f(x)=X在卜2.f(x)=X在卜1，1］上有且只有一個實根.證明1.由泰勒公式W式相減并整理得2作)=與上廠⑷/⑴=f(x)+尸⑺(1-x)+2^1(1—X)2，”W式相減并整理得2作)=與上廠⑷2、…丁見I尸w|< -1/?WI十戸乙Irw\<(1+才+(1一v)21 1 4 4由r.腿(i”):十d-d-匕⑸ 8 2|<1. J€[-l.l].2.令F(x)=/(x)-x.-re[-1,1].RlJF(-l)=/(-!)+!=|,F(l)=/(l)-l=-l.但F(x)在［-1.1］上連續，由介值定理知，F(x)在［-1,1】上至少存一個岑點.又巾14知尸(義)=/?㈧-1<0,故F(x)在［-L1］上嚴格中.凋，從而至多/P—個零點.這樣f(x)在［-U］上有且只有一個岑點，即/(V)=-t在［-1.1］上有且只有一個實報. ……10分

兒、（本題滿分10分）沒/（.V）在（-00，+O3）為述續函數.則J\7（.vVA=ij\x/（.rVA-證明：令（p（x）=jy/（r2^,則（P（%）=x5/（x2）所以^（x）=^（x）即^A）=^（X）+Ct?為常數ifij＞（0）=T（0）=0 ...^x）=T（x）特別地^（n）=^）即J\3/（x2}lx=去J:xf（x）dx. ……10分卜、（木題滿分10分）沒/（■￥）足［0,1］上的迕續函數，證明證法一&D={(x，y)|0<a<1,0<)'<1}.由于e/UWCv,>l+f(x)-f(x)，所以……4分jy⑴叫:廠，⑴辦=