第六章不等式、推理與證明第一節不等關系與不等式查清·基礎知識探究·命題熱點最新考綱1.了解現實世界和日常生活中的不等關系。2.了解不等式(組)的實際背景。3.掌握不等式的性質及應用。C查清·基礎知識1．比較兩個實數大小的法則若a，b∈R，則(1)a＞b?_____________；(2)a＝b?____________；(3)a＜b?____________。a－b＞0a－b＝0a－b＜02．不等式的性質(1)不等式的基本性質①a＞b?____________；②a＞b，b＞c?____________；③a＞b?_______________；④a＞b，c＞0?_________；a＞b，c＜0?_________；⑤a＞b，c＞d?________________；⑥a＞b＞0，c＞d＞0?____________；⑦a＞b＞0?____________(n∈N，且n≥2)；⑧a＞b＞0?____________(n∈N，且n≥2)。b＜aa＞ca＋c＞b＋cac＞bcac＜bca＋c＞b＋dac＞bdan＞bn＜＞＜＞[想一想]判斷下列結論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個實數a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關系中的一種。(

)(2)一個不等式的兩邊同加上或同乘以同一個數，不等號方向不變。(

)(3)一個非零實數越大，則其倒數就越小。(

)(4)同向不等式具有可加和可乘性。(

)(5)兩個數的比值大于1，則分子不一定大于分母。(

)√×××√2．設a，b∈R，若a＋|b|<0，則下列不等式中正確的是(

)A．a－b>0 B．a3＋b3>0C．a2－b2<0

D．a＋b<0解析因為a＋|b|<0，所以|b|<－a。所以b<－a。所以a＋b<0。答案D4．下列各組代數式的判斷正確的是________。(填序號)①x2＋5x＋6<2x2＋5x＋9； ②(x－3)2<(x－2)(x－4)；③當x>1時，x3>x2－x＋1； ④x2＋y2＋1>2(x＋y－1)。解析①2x2＋5x＋9－x2－5x－6＝x2＋3>0；所以x2＋5x＋6<2x2＋5x＋9，故①正確。②(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1，所以(x－3)2>(x－2)(x－4)，故②錯誤。③當x>1時，x3－(x2－x＋1)＝(x－1)(x2＋1)>0，所以當x>1時，x3>x2－x＋1；故③正確；④x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝(x－1)2＋(y－1)2＋1>0，所以x2＋y2＋1>2(x＋y－1)，故④正確。①③④5．已知－2<a<－1，－3<b<－2，則a－b的取值范圍是________，a2＋b2的取值范圍是________。解析∵－2<a<－1，－3<b<－2，∴2<－b<3,1<a2<4，4<b2<9。∴0<a－b<2,5<a2＋b2<13。(0,2)(5,13)T探究·命題熱點【例1】

某商人如果將進貨單價為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，現在他采用提高售價，減少進貨量的辦法增加利潤。已知這種商品的單價每提高1元，銷售量就相應減少10件。若把提價后商品的單價設為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤不低于300元？考點一不等關系與不等式

【規律·方法】

對于不等式的表示問題，關鍵是理解題意，分清變化前后的各種量，得出相應的代數式，然后用不等式表示。而對于涉及條件較多的實際問題，則往往需列不等式組解決。對應訓練1

(2015·浙江卷)有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同。已知三個房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x<y<z，三種顏色涂料的粉刷費用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且a<b<c。在不同的方案中，最低的總費用(單位：元)是(

)A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx

D．ay＋bx＋cz解析用粉刷費用最低的涂料粉刷面積最大的房間，且用粉刷費用最高的涂料粉刷面積最小的房間，這樣所需總費用最低，最低總費用為(az＋by＋cx)元，故選B。答案B考點二比較大小

【規律·方法】

比較兩個數大小的常用方法(1)作差法：其基本步驟為：作差、變形、判斷符號、得出結論，用作差法比較大小的關鍵是判斷差的正負，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等變形方法。(2)單調性法：利用有關函數的單調性比較大小。(3)特值驗證法：對于一些題目，有的給出取值范圍，可采用特值驗證法比較大小。考點三不等式性質的應用

【規律·方法】

不等式性質應用問題的常見類型及解題策略(1)利用不等式性質比較大小。熟記不等式性質的條件和結論是基礎，靈活運用是關鍵，要注意不等式性質成立的前提條件。(2)與充要條件相結合問題。用不等式的性質分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應用。(3)與命題真假判斷相結合問題。解決此類問題除根據不等式的性質求解外，還經常采用特殊值驗證的方法。對應訓練4

不等式“a－b>a且a＋b<b”成立的充要條件為(

)A．a>0且b>0 B．a<0或b<0C．a<0且b<0

D．a<0或b>0解析由a－b>a知b<0，由a＋b<b知a<0，它們之間的邏輯聯結詞為“且”，所以原不等式等價于a<0且b<0，即不等式“a－b>a且a＋b<b”成立的充要條件為a<0且b<0。答案C發散3：求代數式的取值范圍【例5】

已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，則z＝2x－3y的取值范圍是________。(答案用區間表示)(3,8)對應訓練5

設f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍?！疽幝伞し椒ā?/p>

1.判斷不等式命題真假的方法(1)判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明。常用的推理判斷需要利用不等式性質。(2)在判斷一個關于不等式的命題真假時，先把判斷的命題和不等式性質聯系起來考慮，找到與命題相近的性質，并應用性質判斷命題真假。2．充要條件的判斷方法利用兩命題間的關系，看p能否推出q，再看q能否推出p，充分利用不等式性質或特值求解。3．求代數式的取值范圍利用不等式性質求某些代數式的取值范圍時，多次運用不等式的性質時有可能擴大變量的取值范圍。解決此類問題一般