初中數學競賽：完全平方數和完全平方式【內容提要】一、定義.如果一個數恰好是某個有理數的平方，那么這個數叫做完全平方數^例如0,1,0.36,」4,121都是完全平方數.25在整數集合里，完全平方數，都是整數的平方^.如果一個整式是另一個整式的平方，那么這個整式叫做完全平方式^如果沒有特別說明，完全平方式是在實數范圍內研究的^例如：在有理數范圍R,(a+b—2)2,4x2—12x+9,144都是完全平方式.在實數范圍(a+J3)2,x2+2<12x+2,3也都是完全平方式.二、整數集合里，完全平方數的性質和判定.整數的平方的末位數字只能是0,1,4,5,6,9.所以凡是末位數字為2,3,7,8的整數必不是平方數..若n是完全平方數，且能被質數p整除，則它也能被p2整除..若整數m能被q整除，但不能被q2整除，則m不是完全平方數.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方數.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方數.三、完全平方式的性質和判定在實數范圍內如果ax2+bx+c(aw0)是完全平方式，則b2—4ac=0且a>0;如果b2—4ac=0且a>0;則ax2+bx+c(aw0)是完全平方式.在有理數范圍內當b2—4ac=0且a是有理數的平方時，ax2+bx+c是完全平方式.四、完全平方式和完全平方數的關系.完全平方式(ax+b)2中當a,b都是有理數時，x取任何有理數，其值都是完全平方數；當a,b中有一個無理數時，則x只有一些特殊值能使其值為完全平方數.某些代數式雖不是完全平方式，但當字母取特殊值時，其值可能是完全平方數例如：n2+9,當n=4時，其值是完全平方數.所以，完全平方式和完全平方數，既有聯系又有區別^五、完全平方數與一元二次方程的有理數根的關系.在整系數方程ax2+bx+c=0(aw0)中①若b2—4ac是完全平方數，則方程有有理數根；②若方程有有理數根，則b2—4ac是完全平方數..在整系數方程x2+px+q=0中若p2—4q是整數的平方，則方程有兩個整數根；若方程有兩個整數根，則p2—4q是整數的平方.【例題】例1.求證：五個連續整數的平方和不是完全平方數^證明：設五個連續整數為m-2,m-1,m,m+1,m+2.其平方和為S.那么S=(m-2)2+(m-1)2+nf+(m+1)2+(m+2)2=5(R+2).一吊的個位數只能是0,1,4,5,6,9???吊+2的個位數只能是2,3,6,7,8,1.???+2不能被5整除.而5(痛+2)能被5整除,即S能被5整除，但不能被25整除.???五個連續整數的平方和不是完全平方數.例2m取什么實數時，(m-1)x2+2mx+3m-2是完全平方式？解：根據在實數范圍內完全平方式的判定，得當且僅當1°時，(m-1)x2+2mx+3m-2是完全平方式、m-1>0△=0,即(2nrj>2—4(m—1)(3m—2)=0.解這個方程，得m1=0.5,m2=2.解不等式m-1>0,得m>1.

'm=0.5或m=2即,m>1它們的公共解是m=2.答：當m=2時，(m-1)x2+2mx+3m-2是完全平方式.例3.已知：(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求證：a=b=c.證明：把已知代數式整理成關于x的二次三項式，得原式=3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc?..它是完全平方式，「?△=0.即4(a+b+c)2—12(ab+ac+bc)=0.2a2+2b2+2c2—2ab—2bc—2ca=0,

(a—b)2+(b—c)2+(c—a)2=0.要使等式成立，必須且只需：a-b=0b。c=0c-a=0解這個方程組，得a=b=c.例4.已知方程x2—5x+k=0有兩個整數解，求k的非負整數解.解：根據整系數簡化的一元二次方程有兩個整數根時，△是完全平方數可設△=m2(m為整數),即(一5)2—4k=nf(m為整數)，解得，k=25-m.4k是非負整數，r2.25-m之025—m2是4的倍數由25—由25—南A0,得m汨即一5<me5;由25—m2是4的倍數，得m=±1,±3,±5.25m2以m的公共解土1,±3,±5,分別代入k=25m.4求得k=6,4,0.答：當k=6,4,0時，方程x2—5x+k=0有兩個整數解例5.求證：當k為整數時，方程4x2+8kx+(k2+1)=0沒有有理數根.證明：(用反證法)設方程有有理數根，那么△是整數的平方^(8k)2-16(k2+1)=16(3k2—1).設3k2—1=m2(m是整數).由3k2—m2=1,可知k和m是一奇一偶，下面按奇偶性討論3k2=m+1能否成立.當k為偶數，m為奇數時，左邊k2是4的倍數，3k2也是4的倍數；右邊mf除以4余1,mf+1除以4余2.，等式不能成立.；當k為奇數，m為偶數時，左邊k2除以4余1,3k2除以4余3右邊mf是4的倍數，m2+1除以4余1，等式也不能成立.綜上所述，不論k,m取何整數，3k2=mf+1都不能成立.，3k2—1不是整數的平方，16(3k2—1)也不是整數的平方.，當k為整數時，方程4x2+8kx+(k2+1)=0沒有有理數根【練習】.如果m是整數，那么m2+1的個位數只能是..如果n是奇數，那么n2—1除以4余數是—，n2+2除以8余數是,3n2除以4的余數是—..如果k不是3的倍數，那么k2—1除以3余數是..一個整數其中三個數字是1,其余的都是0,問這個數是平方數嗎？為什么？.一串連續正整數的平方1：22,32,,1234567892的和的個位數是.

.m取什么值時，代數式x2-2m(x-4)-15是完全平方式？.m取什么正整數時，方程x2—7x+m=0的兩個根都是整數？.a,b,c滿足什么條件時，代數式(c-b)x2+2(b-a)x+a—b是一個完全平方式？.判斷下列計算的結果，是不是一個完全平方數：①四個連續整數的積；②兩個奇數的平方和..一個四位數加上38或減去138都是平方數，試求這個四位數..已知四位數aabb是平方數，試求a,b..已知：n是自然數且n>1.求證：2n—1不是完全平方數..已知：整系數的多項式4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方數，求整數a和b的值..已知：a,b是自然數且互質，試求方程x2-abx+—(a+b)=0的自然數解.2.恰有35個連續自然數的算術平方根的整數部分相同，那么這個整數是()(A)17(B)18(C)35(D)36【答案】1,2,5,6,7,00,3,30不是平方數，因為能被3整除而不能被9整除5。因為平方數的個位數是(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)X12345678+(1+4+9+6+5+6+9+4+1)即個位數為5X8+53,512,10,6a=b,a=c且c>b都不是2x+38=A2A+B=1987」2A2—B2=176=2X2X2X2X11」、x-138=B、A—B=7744(882).aabb=11Ma0b是