CourseStatus信號與系統電路分析數學物理方法高等數學數字信號處理數字通信自動控制CourseStatus信號與系統電路分析數學物理方法高等TeachingPurpose通過本課程的學習，使學生掌握信號分析與線性系統分析的基本理論及分析方法，能對工程中應用的簡單系統建立數學模型，并對數學模型求解。為適應信息科學與技術的飛速發展，在相關專業領域的深入學習打下堅實的基礎。同時，通過習題和實驗，學生應在分析問題與解決問題的能力及實踐技能方面有所提高。TeachingPurpose通過本課程的學習，使學生掌握TeachingRequest概念第一、方法第二、技巧第三根據個人定位按廣度、深度分層次學習重視基本概念的思考注重物理概念與數學分析之間的對照，不要盲目計算在掌握基本理論和基本方法上下功夫記筆記、記重點、記思路、記方法不強調復雜計算比較學習方法重視預習、復習、練習和章節小結這些學習環節做好作業與一定的習題量，做到熟能生巧TeachingRequest概念第一、方法第二、技巧第三ApplicationField計算機、通信、語音與圖像處理電路設計、自動控制、雷達、電視聲學、地震學、化學過程控制、交通運輸經濟預測、財務統計、市場信息、股市分析宇宙探測、軍事偵察、武器技術、安全報警電子出版、新聞傳媒、影視制作遠程教育、遠程醫療、遠程會議虛擬儀器、虛擬手術人體：ApplicationField計算機、通信、語音與圖像處Problemtosolve兩大模塊：信號與系統研究的對象：線性時不變系統(LTI)信號分析法：時域分析、頻域分析、變換域分析系統分析法：時域分析、頻域分析、變換域分析信號的設計系統的設計Problemtosolve兩大模塊：信號與系統CourseStructure3條主線：1、連續時間信號與系統&離散時間信號與系統

2、時域分析&變換域分析(FT,LT,ZT)3、輸入輸出法&狀態變量法CourseStructure3條主線：TeachingContents第1章信號與系統4

信號的描述；信號的自變量變換；基本連續時間信號；基本離散時間信號；系統的描述第2章線性時不變系統4

信號的時域分解；卷積和；卷積積分；LTI系統的性質；LTI系統的微分、差分方程描述；LTI系統的方框圖描述第3章周期信號的傅立葉級數表示4

連續時間付里葉級數；離散時間付里葉級數第4章連續時間傅立葉變換6＋2

連續時間付里葉變換；傅立葉變換的性質；LTI系統的頻域分析TeachingContents第1章信號與系統4第5章離散時間傅立葉變換6

離散時間付里葉變換；離散時間付里葉變換的性質；由線性常系數差分方程描述的系統的頻率響應第6章信號與系統的時域和頻域特性6

連續時間付里葉變換的極坐標表示；理想低通濾波器；Bode圖；一階系統與二階系統的分析方法第7章采樣4

采樣定理；重建信號；連續時間信號的離散處理；離散時間信號采樣第8章通信系統奧本海姆信號與系統13章重點講解課件第9章拉普拉斯變換雙邊拉氏變換；拉氏反變換，拉氏變換的性質；利用拉氏變換分析LTI系統；單邊拉氏變換第10章Z變換雙邊Z變換，ZZ反變換；Z變換的性質；利用Z變換分析LTI系統；單邊Z變換第11章線性反饋系統第9章拉普拉斯變換概念與重要知識點

信號、信息、消息系統、信號能量與功率（如何求）信號分類：確定信號與隨機信號、連續信號與離散信號、周期信號與非周期信號、能量信號與功率信號、一維信號與多維信號、因果信號與反因果信號第一章信號與系統概念與重要知識點第一章信號與系統信號運算1、信號的算術運算：+-*/；2、信號的時間變換：反轉、平移、尺度變換典型信號（概念、性質、信號運算）：階躍函數、沖激函數、指數信號與正弦信號（歐拉公式、基波頻率、能量、功率、周期性判斷）信號運算系統描述連續動態系統的數學模型是微分方程；描述離散動態系統的數學模型是差分方程。一、連續系統系統描述連續動態系統的數學模型是微分方程；描述離散動態系統2.系統的框圖描述上述方程從數學角度來說代表了某些運算關系：相乘、微分、相加運算。將這些基本運算用一些理想部件符號表示出來并相互聯接表征上述方程的運算關系，這樣畫出的圖稱為模擬框圖，簡稱框圖。基本部件單元有：積分器：加法器：數乘器：積分器的抗干擾性比微分器好。2.系統的框圖描述上述方程從數學角度來說代表了某些運算關系系統模擬：實際系統→方程→模擬框圖→實驗室實現（模擬系統）→指導實際系統設計例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，畫出框圖。解：將方程寫為y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)系統模擬：實際系統→方程→模擬框圖例1：已知y”(t)+例3：已知框圖，寫出系統的微分方程。解：設輔助變量x(t)如圖x(t)x’(t)x”(t)x”(t)=f(t)–2x’(t)–3x(t),即x”(t)+2x’(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x’(t)+3x(t)根據前面，逆過程，得y”(t)+2y’(t)+3y(t)=4f’(t)+3f(t)例3：已知框圖，寫出系統的微分方程。解：設輔助變量x(t)如二、離散系統1.解析描述——建立差分方程由n階差分方程描述的系統稱為n階系統。描述LTI離散系統的是線性常系數差分方程。2.差分方程的模擬框圖基本部件單元有：數乘器加法器遲延單元（移位器）二、離散系統1.解析描述——建立差分方程由n階差分方程描述例：已知框圖，寫出系統的差分方程。解：設輔助變量x(k)如圖x(k)x(k-1)x(k-2)即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去x(k)，得

y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)x(k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)方程←→框圖用變換域方法和梅森公式簡單，后面討論。例：已知框圖，寫出系統的差分方程。解：設輔助變量x(k)如圖1.6系統的性質及分析方法一、系統的定義二、系統的分類及性質、動態系統與即時系統連續系統與離散系統

單輸入單輸出系統與多輸入多輸出系統

線性系統與非線性系統穩定系統與不穩定系統1.6系統的性質及分析方法一、系統的定義二、系統的分類及例判斷下列系統是否為線性系統？解：y

(t)=yf(t)+yx(t)，滿足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，滿足零狀態線性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],滿足零輸入線性；所以，該系統為線性系統。例判斷下列系統是否為線性系統？解：y(t)=yf(t5.時不變系統與時變系統滿足時不變性質的系統稱為時不變系統。（1）時不變性質T[{0}，f(t)]=yf(t)則有

T[{0}，f(t-

td)]=yf(t-

td)系統的這種性質稱為時不變性（或移位不變性）。5.時不變系統與時變系統滿足時不變性質的系統稱為時不變系統例：判斷下列系統是否為時不變系統？（1）yf(k)=f

(k)f

(k–1)

（2）yf(t)=tf

(t)

（3）yf(t)=f

(–t)解(1)令g

(k)=f(k–kd)T[{0}，g

(k)]=g(k)g

(k–1)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)而yf(k–kd)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)顯然T[{0}，f(k–kd)]=yf(k–kd)故該系統是時不變的。(2)令g

(t)=f(t–td)T[{0}，g

(t)]=tg

(t)=tf

(t–td)而yf(t–td)=(t–td)f

(t–td)顯然T[{0}，f(t–td)]≠yf(t–td)故該系統為時變系統。例：判斷下列系統是否為時不變系統？解(1)令g(k)=(3)令g

(t)=f(t–td),T[{0}，g

(t)]=g

(–t)=f(–t–td)而yf(t–td)=f

[–(t–td)]，顯然

T[{0}，f(t–td)]≠yf(t–td)故該系統為時變系統。直觀判斷方法：

若f

(·)前出現變系數，或有反轉、展縮變換，則系統為時變系統。

本課程重點討論:線性時不變(LinearTime-Invariant)系統，簡稱LTI系統。(3)令g(t)=f(t–td),直觀判斷方法（2）LTI連續系統的微分特性和積分特性①微分特性：若f(t)→yzs(t)，則f’(t)→y’

zs(t)②積分特性：若f(t)→yzs(t)，則（2）LTI連續系統的微分特性和積分特性①微分特性：②積分特6.因果系統與非因果系統零狀態響應不會出現在激勵之前的系統，稱為因果系統。即對因果系統，當t<t0

，f(t)=0時，有t<t0

，yf(t)=0。如下列系統均為因果系統：yf(t)=3f(t–1)而下列系統為非因果系統：(1)yf(t)=2f(t+1)(2)yf(t)=f(2t)因為，令t=1時，有yf(1)=2f(2)因為，若f(t)=0，t<t0

，有yf(t)=f(2t)=0,t<0.5t0

。6.因果系統與非因果系統零狀態響應不會出現在激勵之前的系統例某LTI因果連續系統，起始狀態為x(0–)。已知，當x(0–)=1，輸入因果信號f1(t)時，全響應

y1(t)=e–t+cos(πt)，t>0；當x(0-)=2，輸入信號f2(t)=3f1(t)時，全響應

y2(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0；求輸入f3(t)=+2f1(t-1)時，系統的零狀態響應y3f(t)。解設當x(0–)=1，輸入因果信號f1(t)時，系統的零輸入響應和零狀態響應分別為y1x(t)、y1f(t)。當x(0-)=2，輸入信號f2(t)=3f1(t)時，系統的零輸入響應和零狀態響應分別為y2x(t)、y2f(t)。

例某LTI因果連續系統，起始狀態為x(0–)。已知，當x由題中條件，有y1(t)=y1x(t)+y1f(t)=e–t+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2x(t)+y2f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（2）根據線性系統的齊次性，y2x(t)=2y1x(t)，y2f(t)=3y1f(t)，代入式（2）得

y2(t)=2y1x(t)+3y1f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–2×式(1)，得

y1f(t)=–4e-t+cos(πt)，t>0由于y1f(t)是因果系統對因果輸入信號f1(t)的零狀態響應，故當t<0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改寫成

y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)(4)由題中條件，有f1(t)→y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)根據LTI系統的微分特性=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)根據LTI系統的時不變特性f1(t–1)→y1f(t–1)={–4e-(t-1)+cos[π(t–1)]}ε(t–1)由線性性質，得：當輸入f3(t)=+2f1(t–1)時，y3f(t)=+2y1(t–1)=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)+2{–4e-(t-1)+cos[π(t–1)]}ε(t–1)f1(t)→y1f(t)=[–4e-t+cos(π

系統分析研究的主要問題：對給定的具體系統，求出它對給定激勵的響應。具體地說：系統分析就是建立表征系統的數學方程并求出解答。

系統的分析方法：輸入輸出法（外部法）狀態變量法（內部法）（chp.8)外部法時域分析（chp.2,chp.3)變換域法連續系統—頻域法(4)和復頻域法(5)離散系統—z域法（chp6)系統特性：系統函數（chp.7)三、LTI系統的分析方法1.6系統的性質及分析方法系統分析研究的主要問題：對給定的具體系統，求出它對（1）把零輸入響應和零狀態響應分開求。（2）把復雜信號分解為眾多基本信號之和，根據線性系統的可加性：多個基本信號作用于線性系統所引起的響應等于各個基本信號所引起的響應之和。求解的基本思路：采用的數學工具：（1）卷積積分與卷積和（2）傅里葉變換（3）拉普拉斯變換（4）Z變換1.6系統的性質及分析方法（1）把零輸入響應和零狀態響應分開求。求解的基本思路：采用的第二章連續系統的時域分析2.1LTI連續系統的響應

一、微分方程的經典解二、關于0-和0+初始值三、零輸入響應和零狀態響應2.2沖激響應和階躍響應

一、沖激響應二、階躍響應2.3卷積積分一、信號時域分解與卷積二、卷積的圖解2.4卷積積分的性質

一、卷積代數二、奇異函數的卷積特性

三、卷積的微積分性質四、卷積的時移特性五、相關函數2.5*P算子分析法

一、微分算子及系統描述二、零輸入響應求解三、LTI連續系統的初始條件四、零狀態響應的求解五、由H(P)求h(t)第二章連續系統的時域分析2.1LTI連續系統的響應2.一、沖激響應

由單位沖激函數δ(t)所引起的零狀態響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，記為h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)]二、階躍響應g(t)=T[ε(t)，{0}]由于δ(t)與ε(t)為微積分關系，故LTI連續系統的時域分析，歸結為：建立并求解線性微分方程。由于在其分析過程涉及的函數變量均為時間t，故稱為時域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。

第二章連續系統的時域分析一、沖激響應由單位沖激函數δ(t)所引起的零狀態例3如圖所示的LTI系統，求其階躍響應及沖激響應。解：（1）列寫系統的微分方程例3如圖所示的LTI系統，求其階躍響應及沖激響應。解：（1（2）求階躍響應（2）求階躍響應奧本海姆信號與系統13章重點講解課件（3）求沖激響應（3）求沖激響應奧本海姆信號與系統13章重點講解課件奧本海姆信號與系統13章重點講解課件驗證結論（解法II）：驗證結論（解法II）：2.3卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分1.信號的時域分解2.3卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分1.信號的時2.任意信號作用下的零狀態響應yf(t)f(t)根據h(t)的定義：δ(t)

h(t)由時不變性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齊次性：f(τ)h(t-τ)由疊加性：‖f(t)‖yf(t)卷積積分2.任意信號作用下的零狀態響應yf(t)f(t)根據h(3.卷積積分的定義已知定義在區間（–∞，∞）上的兩個函數f1(t)和f2(t)，則定義積分為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡稱卷積；記為

f(t)=f1(t)*f2(t)注意：積分是在虛設的變量τ下進行的，τ為積分變量，t為參變量。結果仍為t的函數。3.卷積積分的定義已知定義在區間（–∞，∞）上的兩個函例1：f(t)=et,（-∞<t<∞)，h(t)=(6e-2t–1)ε(t)，求yf(t)。解：yf(t)=f(t)*h(t)當t<τ，即τ>t時，ε(t-τ)=0例1：f(t)=et,（-∞<t<∞)，h(t)=二、卷積的圖解法卷積過程可分解為四步：（1）換元：t換為τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反轉平移：由f2(τ)反轉→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)（3）乘積：f1(τ)f2(t-τ)（4）積分：τ從–∞到∞對乘積項積分。注意：t為參變量。下面舉例說明。二、卷積的圖解法卷積過程可分解為四步：例2f(t),h(t)

如圖所示，求yf(t)=h(t)*f(t)

。[解]

采用圖解法求卷積。f(t-τ)f(τ)反折f(-τ)平移t①t<0時,f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0②0≤t≤1

時,f(t-τ)向右移③1≤t≤2時⑤3≤t時f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0h(t)函數形式復雜換元為h(τ)。

f(t)換元f(τ)④2≤t≤3

時0例2f(t),h(t)如圖所示，求yf(t)=h(圖解法一般比較繁瑣，但若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的。確定積分的上下限是關鍵。例3：f1(t)、f2(t)如圖所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）換元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）積分，得f(2)=0（面積為0）圖解法一般比較繁瑣，但若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的。2.4卷積積分的性質

卷積積分是一種數學運算，它有許多重要的性質（或運算規則），靈活地運用它們能簡化卷積運算。下面討論均設卷積積分是收斂的（或存在的）。一、卷積代數1滿足乘法的三律：（1）交換律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)（2）

分配律：f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)（3）

結合律：[f1(t)*f2(t)]*f3(t)]=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]2.4卷積積分的性質卷積積分是一種數學運算2.復合系統的沖激響應2.4卷積積分的性質2.復合系統的沖激響應2.4卷積積分的性質二、奇異函數的卷積特性1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)證：f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)證：f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=tε(t)二、奇異函數的卷積特性1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f三、卷積的微積分性質1.證：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.證：上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)3.在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，

f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)三、卷積的微積分性質1.證：上式=δ(n)(t)*[f1例1：f1(t)=1，f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)

解：通常復雜函數放前面，代入定義式得

f2(t)*f1(t)=注意：套用f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)=0*f2(–1)(t)=0顯然是錯誤的。例2：f1(t)如圖,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)解法一：f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)f1’(t)=δ

(t)–δ

(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)例1：f1(t)=1，f2(t)=e–tε(t)解：f1(t)=ε

(t)–ε

(t–2)f1(t)*f2(t)=ε

(t)*f2(t)–ε

(t–2)*f2(t)

ε

(t)*f2(t)=f2(-1)(t)四、卷積的時移特性若f(t)=f1(t)*f2(t)，則f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)前例：f1(t)如圖,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)利用時移特性，有ε

(t–2)*f2(t)=f2(-1)(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)解：f1(t)=ε(t)–ε(t–2)f1(例：f1(t),f2(t)如圖，求f1(t)*f2(t)解：f1(t)=2ε

(t)–2ε

(t–1)f2(t)=ε

(t+1)–ε

(t–1)f1(t)*f2(t)=2

ε

(t)*ε

(t+1)–2

ε

(t)*ε

(t–1)–2ε

(t–1)*ε

(t+1)–2ε

(t–1)*ε

(t–1)由于ε

(t)*ε

(t)=tε

(t)據時移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)ε

(t+1)-2(t–1)ε

(t–1)–2tε

(t)–2(t–2)ε

(t–2)例：f1(t),f2(t)如圖，求f1(t)*f2(t)常見的卷積公式常見的卷積公式求卷積是本章的重點與難點。求解卷積的方法可歸納為：（1）利用定義式，直接進行積分。對于容易求積分的函數比較有效。如指數函數，多項式函數等。（2）圖解法。特別適用于求某時刻點上的卷積值。（3）利用性質。比較靈活。三者常常結合起來使用。求卷積是本章的重點與難點。（1）解法I(定義)：例求下列函數的卷積積分。（1）解法I(定義)：例求下列函數的卷積積分。解法II(圖解)：解法IV(常用公式)：解法III(性質)：解法II(圖解)：解法IV(常用公式)：解法III(性質)：(2)解:(2)解:1、任意信號作用下的零狀態響應yf(t)f(t)根據h(t)的定義：δ(t)

h(t)由時不變性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齊次性：f(τ)h(t-τ)由疊加性：‖f(t)‖yf(t)四、零狀態響應的求解卷積積分1、任意信號作用下的零狀態響應yf(t)f(t)根據h(t第三章離散系統的時域分析3.1LTI離散系統的響應一、差分與差分方程二、差分方程的經典解三、零輸入響應四、零狀態響應3.2單位序列和單位序列響應

一、單位序列和單位階躍序列二、單位序列響應和階躍響應

3.3卷積和

一、卷積和二、卷積的圖解三、卷積和的性質*3.4離散系統的算子分析一、E算子及方程二、離散系統的零輸入響應三、由H(E)求h(k)

四、求解零狀態響應第三章離散系統的時域分析3.1LTI離散系統的響應3.3.1LTI離散系統的響應一、差分與差分方程

設有序列f(k)，則…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2),…等稱為f(k)的移位序列。仿照連續信號的微分運算，定義離散信號的差分運算。1.差分運算離散信號的變化率有兩種表示形式：3.1LTI離散系統的響應一、差分與差分方程（1）一階前向差分定義：f(k)=f(k+1)–f(k)（2）一階后向差分定義：f(k)=f(k)–f(k–1)式中，和稱為差分算子，無原則區別。本書主要用后向差分，簡稱為差分。（3）差分的線性性質：

[af1(k)+bf2(k)]=af1(k)+bf2(k)（4）二階差分定義：

2f(k)=[f(k)]=[f(k)–f(k-1)]=f(k)–f(k-1)=f(k)–f(k-1)–[f(k-1)–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-2)（5）m階差分:

mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+…+bmf(k-m)因此，可定義：（1）一階前向差分定義：f(k)=f(k+1)–f(2.差分方程

包含未知序列y(k)及其各階差分的方程式稱為差分方程。將差分展開為移位序列，得一般形式

y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)

差分方程本質上是遞推的代數方程，若已知初始條件和激勵，利用迭代法可求得其數值解。例1：若描述某系統的差分方程為

y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知初始條件y(0)=0,y(1)=2,激勵f(k)=2kε(k),求y(k)。解：y(k)=–3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)y(2)=–3y(1)–2y(0)+f(2)=–2y(3)=–3y(2)–2y(1)+f(3)=10……注：一般不易得到解析形式的(閉合)解。

2.差分方程包含未知序列y(k)及其各階差二、差分方程的經典解y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)

與微分方程經典解類似，上述差分方程的解由齊次解和特解兩部分組成。齊次解用yh(k)表示，特解用yp(k)表示，即

y(k)=yh(k)+yp(k)1.齊次解yh(k)

齊次解是齊次差分方程

y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0的解。yh(k)的函數形式由上述差分方程的特征根確定。（齊次解的函數形式見P87表3-1）二、差分方程的經典解y(k)+an-1y(k-1)+…齊次方程

y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0其特征方程為1+an-1λ–1+…+a0λ–n=0

，即

λn+an-1λn–1+…+a0=0其根λi(i=1，2，…，n)稱為差分方程的特征根。齊次方程y(k)+an-1y(k-1)+…+2.特解yp(k)

特解的函數形式與激勵函數的形式有關。P87表3-2列出了幾種典型得f(k)所對應的特解yp(k)。2.特解yp(k)例2：若描述某系統的差分方程為

y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始條件y(0)=0，y(1)=–1；激勵f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。解：特征方程為λ2+4λ+4=0可解得特征根λ1=λ2=–2，其齊次解

yh(k)=(C1k+C2)(–2)k特解為yp(k)=P(2)k,k≥0代入差分方程得P(2)k+4P(2)k–1+4P(2)k–2=f(k)=2k

，解得P=1/4所以得特解：yp(k)=2k–2,k≥0故全解為y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(–2)k+2k–2,k≥0代入初始條件解得C1=1,C2=–1/4例2：若描述某系統的差分方程為解：特征方程為λ2+三、零輸入響應和零狀態響應

系統的全響應y(k)可以分解為零輸入響應yx(k)和零狀態響應yf(k)

。

y(k)=yx(k)+yf(k)

零輸入響應和零狀態響應可以分別用經典法求解。

已知單輸入-單輸出LTI離散系統的激勵為f(k)，其全響應為y(k)，那么，描述該系統激勵f(k)與響應y(k)之間的關系的數學模型是n階常系數線性差分方程，表示如下：三、零輸入響應和零狀態響應系統的全響應y(k)可1.零輸入響應

系統的激勵為零，僅由系統的初始狀態引起的響應，稱為零輸入響應，用yx(k)表示。

在零輸入條件下，(1)式可化為齊次方程：通常，用y(-1)，y(-2)，…，y(-n)描述系統的初始狀態。

一般設定激勵是在k=0時刻接入系統的，在k<0時，激勵尚未接入，因此（2）的初始狀態滿足：1.零輸入響應系統的激勵為零，僅由系統的初始狀態2.零狀態響應

系統的初始狀態為零，僅由激勵f(k)引起的響應，稱為零狀態響應，用yf(k)表示。

在零狀態條件下，(1)式仍為非齊次方程，其初始條件為零，即零狀態響應滿足：利用迭代法分別求得零輸入響應和零狀態響應的初始值yx(j)和yf(j)(j=0,1,2,…，n–1)零狀態響應為：2.零狀態響應系統的初始狀態為零，僅由激勵f(

位移單位脈沖序列：1.單位序列(單位脈沖序列/單位樣值序列/單位取樣序列)：基本離散信號：3.2單位序列和單位序列響應位移單位脈沖序列：1.單位序列(單位脈沖序列/單位樣值迭分：延時：乘：加：運算：3.2單位序列和單位序列響應迭分：延時：乘：加：運算：3.2單位序列和單位序列響應取樣性質：偶函數：3.2單位序列和單位序列響應取樣性質：偶函數：3.2單位序列和單位序列響應(1)定義：(2)運算：同一般離散信號的運算相加：相乘：延時：2.單位階躍序列：(1)定義：(2)運算：同一般離散信號的運算相加：相乘：延時迭分：（3）與的關系：迭分：（3）與的關系：3.正弦序列：連續正弦信號是周期信號，但正弦序列不一定是周期序列。式中，m、N

均為整數，只有滿足為整數，或者3.正弦序列：連續正弦信號是周期信號，但正弦序列不一定是周期如果正弦序列是由連續正弦信號通過抽樣得到，設正弦信號式中：代入式得：否則為非周期序列。當為有理數時，正弦序列才是周期序列；如果正弦序列是由連續正弦信號通過抽樣得到，設正弦信號式中：代

可見，復指數序列的實部和虛部均為幅值按指數規律變化的正弦序列。

如下頁圖所示4.復指數序列：可見，復指數序列的實部和虛部均為幅值按指數規律變5.Z序列：z為復數類比：連續與離散基本信號的對應關系復指數函數：復指數序列單位沖激信號：單位階躍信號：正弦信號：虛指數信號：單位脈沖序列單位階躍序列正弦序列虛指數序列5.Z序列：z為復數類比：連續與離散基本信號的對應關系復指數二、單位序列響應和階躍響應1.單位序列響應

當LTI系統的激勵為單位序列δ(k)時，系統的零狀態響應稱為單位序列響應（或單位樣值響應、單位取樣響應），用h(k)表示，它的作用與連續系統中的沖激響應h(t)相類似。

求解系統的單位序列響應可用求解差分方程法或z變換法（見第六章）。

由于單位序列δ(k)僅在k=0處等于1，而在k>0時為零，因而在k>0時，系統的單位序列響應與系統的零輸入響應的函數形式相同。這樣就把求解單位序列響應的問題轉換為求解齊次方程的問題。而k=0處的值h(0)可按零狀態的條件由差分方程確定。二、單位序列響應和階躍響應1.單位序列響應當2.階躍響應

當LTI系統的激勵為單位階躍序列ε(k)時，系統的零狀態響應稱為階躍響應，用g(k)表示。

若已知系統的差分方程，那么利用經典法可以求得系統的單位階躍響應g(k)。此外由于由線性和移位不變性由于那么2.階躍響應當LTI系統的激勵為單位階躍序列例1.求如圖所示離散系統的單位序列響應h(k)和階躍響應g(k)。解：（1）列寫差分方程，求初始值由加法器的輸出可列出系統的方程為整理得：例1.求如圖所示離散系統的單位序列響應h(k)和階躍響應g(根據單位序列響應的定義，它應滿足方程由迭代得：（2）求h(k)當k>0時，h(k)滿足齊次方程其特征方程為：根據單位序列響應的定義，它應滿足方程由迭代得：（2）求h(k代入初始值得：于是，系統的單位序列響應注意：這時已將h(0)的值代入，因而方程的解也滿足

k=0。由上式可解得：代入初始值得：于是，系統的單位序列響應注意：這時已將h(0)（3）求g(k)根據階躍響應的定義，它應滿足方程由迭代得：容易求得其特解為：于是，得：解法I（3）求g(k)根據階躍響應的定義，它應滿足方程由迭代得：代入初始值得：于是，系統的階躍響應由上式可解得：代入初始值得：于是，系統的階躍響應由上式可解得：考慮到k≥0，得：解法II由級數求和公式得：考慮到k≥0，得：解法II由級數求和公式得：3.3卷積和3.卷積和的定義

已知定義在區間（–∞，∞）上的兩個函數f1(k)和f2(k)，則定義和為f1(k)與f2(k)的卷積和，簡稱卷積；記為

f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虛設的變量i下進行的，i為求和變量，k為參變量。結果仍為k的函數。3.3卷積和3.卷積和的定義已知定義在區

若有兩個序列f1(k)與f2(k)，如果序列f1(k)是因果序列，即有f1(k)=0,k<0,則卷積和可改寫為：

若有兩個序列f1(k)與f2(k)，如果序列f2(k)是因果序列，即有f2(k)=0,k<0,則卷積和可改寫為：

如果序列f1(k)與f2(k)均為因果序列，即若f1(k)=f2(k)=0,k<0,則卷積和可寫為：若有兩個序列f1(k)與f2(k)，如果序列f1(k)是例1：f(k)=a

kε(k),h(k)=b

kε(k)，求yf(k)。解：yf(k)=f(k)*h(k)當i<0,ε(i)=0；當i>k時，ε(k-i)=0這種卷積和的計算方法稱為解析法。例1：f(k)=akε(k),h(k)=b二、卷積的圖解法卷積過程可分解為五步：（1）換元：k換為i→得f1(i)，f2(i)；（2）反轉：將

f2(i)以縱坐標為軸線反轉，成為f2(–i)；（3）平移：將f2(–i)沿i軸正方向平移k

個單位→f2(k–i);（4）乘積：f1(i)f2(k–i);（5）求和：i從–∞到∞對乘積項求和。注意：k為參變量。下面舉例說明。二、卷積的圖解法卷積過程可分解為五步：例1：f1(k)、f2(k)如圖所示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)=？解：（1）換元（2）f2(i)反轉得f2(–i)（3）f2(–i)右移2得f2(2–i)（4）f1(i)乘f2(2–i)（5）求和，得f(2)=4.5f2(–i)f2(2–i)例1：f1(k)、f2(k)如圖所示，已知f(k)=f解：（1）換元，反轉，得例2求解：（1）換元，反轉，得例2求（2）平移，求（2）平移，求（3）求（3）求四、卷積和的性質1.滿足乘法的三律(1)交換律：(2)分配律：(3)結合律：證明：

(僅證明交換律，其它類似。)四、卷積和的性質1.滿足乘法的三律(1)交換律：(2)2.復合系統的單位序列響應3.f(k)*δ(k)=δ(k)*f(k)=f(k)，f(k)*δ(k–k0)=f(k–k0)4.f(k)*ε(k)=5.f1(k–k1)*f2(k–k2)=f1(k–k1–k2)*f2(k)6.[f1(k)*f2(k)]=f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)2.復合系統的單位序列響應3.f(k)*δ(k)=常用卷積和公式求卷積和是本章的重點。常用卷積和公式求卷積和是本章的重點。證明:證明:例1

解法I：（列表法）例1解法II：（不進位乘法）解法II：（不進位乘法）解法III：（圖解法）解法III：（圖解法）例5:解：由復合系統各個子系統之間的連接關系得:(3.21)例5:解：由復合系統各個子系統之間的連接關系得:(3.21)解法IV：（解析法）解法IV：（解析法）例2

解：（1）求零輸入響應：零輸入響應滿足方程：方程特征根為：上式的特征方程：(P.110

3.6(4))例2解以上兩式得：于是系統的零輸入響應為：所以其齊次解為：將初始值代入得：解以上兩式得：于是系統的零輸入響應為：所以其齊次解為：將初始

系統的零狀態響應是非齊次方程的解，分別求出非齊次方程的齊次解和特解，得（2）求零狀態響應：零狀態響應滿足方程初始狀態由（2）式得：迭代得：系統的零狀態響應是非齊次方程的解，分別求出非齊（3）系統的全響應為：解以上三式得：于是系統的零狀態響應為：（3）系統的全響應為：解以上三式得：于是系統的零狀態響應為：例3:解：(1)求系統的差分方程：整理得：(P.1123.17)例3:解：(1)求系統的差分方程：整理得：(P.112系統的零狀態響應滿足：由迭代得：(2)求零狀態響應的齊次解差分方程的特征方程為：系統的零狀態響應滿足：由迭代得：(2)求零狀態響應的齊次解可解得特征根為：因此，齊次解為：(3)求零狀態響應的特解因為激勵的底數與特征根λ1相等。其特解為：將特解代入（1），得：可解得特征根為：因此，齊次解為：(3)求零狀態響應的特解因解得：（4）求零狀態響應代入初始條件得：解得：所以，系統的零狀態響應為：解得：（4）求零狀態響應代入初始條件得：解得：所以，系統的零離散系統的E算子分析2、LTI離散系統的響應（1）零輸入響應yx(k):

輸入f(k)為零，由初始狀態產生的響應稱零輸入響應。設初始時刻為k0=0，系統初始狀態通常指：（對n階系統）。

1、描述：LTI離散系統的基本概念復習離散系統的E算子分析2、LTI離散系統的響應（1）零輸入響應初始狀態為零，由輸入f(k)產生的響應稱零狀態響應。（3）完全響應y(k)：3、線性時不變因果系統的性質：（2）零狀態響應yf(k):（2）時不變性：由初始狀態和輸入共同產生的響應稱為完全響應。可分解性：y(k)=yx(k)+yf(k)；零輸入線性：yx(k)與初始狀態滿足線性；零狀態線性：yf(k)與輸入f(k)滿足線性。（1）線性：包括以下三個方面：若則初始狀態為零，由輸入f(k)產生的響應稱零狀態響應。（3

若k<k0時，輸入f(k)=0；則k<k0時，零狀態響應yf(k)=0。

已知單輸入－單輸出LTI離散系統的激勵為f(k)，其全響應為y(k)，那么，描述該系統激勵f(k)與響應y(k)之間的關系的數學模型是n階常系數線性差分方程，表示如下：（3）因果性：若k<k0時，輸入f(k)=0；2、n階離散系統的差分算子方程：---------延遲算子---------超前算子1、差分算子：一、離散系統的差分算子及方程由后向差分方程形式得：2、n階離散系統的差分算子方程：---------延遲算子-算子方程也可寫成：進一步寫成：H(E)稱為系統的傳輸算子。算子方程也可寫成：進一步寫成：H(E)稱為系統的傳輸算子。3、關于差分算子方程的說明：（3）算子方程兩邊的公因子或H(E)的公因子不能隨意消去。（2）其中，A(E)、B(E)為E的正冪或負冪多項式；（1）E的正冪多項式可以相乘，也可以進行因式分解；例：H(E)的E正冪形式：（由前向差分方程形式得到）3、關于差分算子方程的說明：（3）算子方程兩邊的公因子或H(例1圖示LTI離散系統，寫出系統的差分算子方程，和傳輸算子H(E)。由系統框圖得：解：x(k)E-1x(k)E-2x(k)例1圖示LTI離散系統，寫出系統的差分算子方程，和傳差分方程：或：傳輸算子：系統的差分算子方程：差分方程：或：傳輸算子：系統的差分算子方程：求yx(k)方法小結：設方程為：（2）根據情況1、2求各分式對應的零輸入響應；

（3）yx(k)等于各因式對應的零輸入響應之和；（4）由初始條件{yx(-1),yx(-2),…}或{yx(0),yx(1),…}

確定待定系數Ci。（1）對A(E)進行因式分解；二、離散系統的零輸入響應1.零輸入響應yx(k)的方程：求yx(k)方法小結：設方程為：（2）根據情況1、2求各分式1.單位序列響應

當LTI系統的激勵為單位序列δ(k)時，系統的零狀態響應稱為單位序列響應（或單位樣值響應、單位取樣響應），用h(k)表示，它的作用與連續系統中的沖激響應h(t)相類似。

本章第一節我們已經向大家講述了單位序列響應的經典解法——求解差分方程法。本節我們會介紹由傳輸算子H(E)求解h(k)的方法。

第六章我們會給大家講解利用z變換法求解單位序列響應。一、單位序列響應和階躍響應1.單位序列響應當LTI系統的激勵為單位序列2.階躍響應

當LTI系統的激勵為單位序列ε(k)時，系統的零狀態響應稱為階躍響應，用g(k)表示。

若已知系統的差分方程，那么利用經典法可以求得系統的單位階躍響應g(k)。此外由于由線性和移位不變性由于那么2.階躍響應當LTI系統的激勵為單位序列ε((k2≥k1)兩個常用的求和公式：(k2≥k1)兩個常用的求和公式：求單位響應h(k)方法小結：

1、H(E)為E的正冪分式，H(E)除以E，得H(E)/E;2、設H(E)/E為有理真分式，將H(E)/E展開為部分分式之和；

3、H(E)/E的部分分式展開式乘以E，得到H(E)的部分分式展開式；

4、根據情況1，情況2求H(E)的各分式對應的單位響應；

5、求系統的單位響應h(k)，h(k)等于各分式對應單位響應之和。由H(E)求單位序列響應h(k)求單位響應h(k)方法小結：由H(E)求單位序列響應h(k)2．有理分式的部分分式展開H(E)/E為有理真分式（1）H(E)/E的極點為單極點：（2）H(E)/E的極點為m重極點：2．有理分式的部分分式展開H(E)/E為有理真分式（1）H(（3）H(E)/E的極點為單極點和重極點:（3）H(E)/E的極點為單極點和重極點:例6:求圖示系統的單位序列響應。x(k)x(k-1)x(k-2)解：設一中間變量x(k)，則左邊的加法器輸出為：右邊加法器輸出為：整理得：例6:求圖示系統的單位序列響應。x(k)x(k-1)x(k所以，圖示系統的算子方程為：所以，圖示系統的差分方程為：傳輸算子為：由部分分式展開得：所以，圖示系統的算子方程為：所以，圖示系統的差分方程為：傳輸所以系統的單位序列響應為：所以系統的單位序列響應為：1.6 (a).No Becausewhent<0,=0. (b).No Becauseonlyifn=0,hasvaluable. (c).Yes Because N=4.1.6 (a).No奧本海姆信號與系統13章重點講解課件奧本海姆信號與系統13章重點講解課件2.3 Solution:

2.3 Solution: 2.7 Solution:（a）,(b),SisnotLTIsystem..,2.7 Solution:（a）,(b),Sis2.23Solution:

2.23Solution: 奧本海姆信號與系統13章重點講解課件奧本海姆信號與系統13章重點講解課件奧本海姆信號與系統13章重點講解課件3.1 Solution:Fundamentalperiod.3.1 Solution:.奧本海姆信號與系統13章重點講解課件奧本海姆信號與系統13章重點講解課件奧本海姆信號與系統13章重點講解課件奧本海姆信號與系統13章重點講解課件奧本海姆信號與系統13章重點講解課件奧本海姆信號與系統13章重點講解課件CourseStatus信號與系統電路分析數學物理方法高等數學數字信號處理數字通信自動控制CourseStatus信號與系統電路分析數學物理方法高等TeachingPurpose通過本課程的學習，使學生掌握信號分析與線性系統分析的基本理論及分析方法，能對工程中應用的簡單系統建立數學模型，并對數學模型求解。為適應信息科學與技術的飛速發展，在相關專業領域的深入學習打下堅實的基礎。同時，通過習題和實驗，學生應在分析問題與解決問題的能力及實踐技能方面有所提高。TeachingPurpose通過本課程的學習，使學生掌握TeachingRequest概念第一、方法第二、技巧第三根據個人定位按廣度、深度分層次學習重視基本概念的思考注重物理概念與數學分析之間的對照，不要盲目計算在掌握基本理論和基本方法上下功夫記筆記、記重點、記思路、記方法不強調復雜計算比較學習方法重視預習、復習、練習和章節小結這些學習環節做好作業與一定的習題量，做到熟能生巧TeachingRequest概念第一、方法第二、技巧第三ApplicationField計算機、通信、語音與圖像處理電路設計、自動控制、雷達、電視聲學、地震學、化學過程控制、交通運輸經濟預測、財務統計、市場信息、股市分析宇宙探測、軍事偵察、武器技術、安全報警電子出版、新聞傳媒、影視制作遠程教育、遠程醫療、遠程會議虛擬儀器、虛擬手術人體：ApplicationField計算機、通信、語音與圖像處Problemtosolve兩大模塊：信號與系統研究的對象：線性時不變系統(LTI)信號分析法：時域分析、頻域分析、變換域分析系統分析法：時域分析、頻域分析、變換域分析信號的設計系統的設計Problemtosolve兩大模塊：信號與系統CourseStructure3條主線：1、連續時間信號與系統&離散時間信號與系統

2、時域分析&變換域分析(FT,LT,ZT)3、輸入輸出法&狀態變量法CourseStructure3條主線：TeachingContents第1章信號與系統4

信號的描述；信號的自變量變換；基本連續時間信號；基本離散時間信號；系統的描述第2章線性時不變系統4

信號的時域分解；卷積和；卷積積分；LTI系統的性質；LTI系統的微分、差分方程描述；LTI系統的方框圖描述第3章周期信號的傅立葉級數表示4

連續時間付里葉級數；離散時間付里葉級數第4章連續時間傅立葉變換6＋2

連續時間付里葉變換；傅立葉變換的性質；LTI系統的頻域分析TeachingContents第1章信號與系統4第5章離散時間傅立葉變換6

離散時間付里葉變換；離散時間付里葉變換的性質；由線性常系數差分方程描述的系統的頻率響應第6章信號與系統的時域和頻域特性6

連續時間付里葉變換的極坐標表示；理想低通濾波器；Bode圖；一階系統與二階系統的分析方法第7章采樣4

采樣定理；重建信號；連續時間信號的離散處理；離散時間信號采樣第8章通信系統奧本海姆信號與系統13章重點講解課件第9章拉普拉斯變換雙邊拉氏變換；拉氏反變換，拉氏變換的性質；利用拉氏變換分析LTI系統；單邊拉氏變換第10章Z變換雙邊Z變換，ZZ反變換；Z變換的性質；利用Z變換分析LTI系統；單邊Z變換第11章線性反饋系統第9章拉普拉斯變換概念與重要知識點

信號、信息、消息系統、信號能量與功率（如何求）信號分類：確定信號與隨機信號、連續信號與離散信號、周期信號與非周期信號、能量信號與功率信號、一維信號與多維信號、因果信號與反因果信號第一章信號與系統概念與重要知識點第一章信號與系統信號運算1、信號的算術運算：+-*/；2、信號的時間變換：反轉、平移、尺度變換典型信號（概念、性質、信號運算）：階躍函數、沖激函數、指數信號與正弦信號（歐拉公式、基波頻率、能量、功率、周期性判斷）信號運算系統描述連續動態系統的數學模型是微分方程；描述離散動態系統的數學模型是差分方程。一、連續系統系統描述連續動態系統的數學模型是微分方程；描述離散動態系統2.系統的框圖描述上述方程從數學角度來說代表了某些運算關系：相乘、微分、相加運算。將這些基本運算用一些理想部件符號表示出來并相互聯接表征上述方程的運算關系，這樣畫出的圖稱為模擬框圖，簡稱框圖。基本部件單元有：積分器：加法器：數乘器：積分器的抗干擾性比微分器好。2.系統的框圖描述上述方程從數學角度來說代表了某些運算關系系統模擬：實際系統→方程→模擬框圖→實驗室實現（模擬系統）→指導實際系統設計例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，畫出框圖。解：將方程寫為y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)系統模擬：實際系統→方程→模擬框圖例1：已知y”(t)+例3：已知框圖，寫出系統的微分方程。解：設輔助變量x(t)如圖x(t)x’(t)x”(t)x”(t)=f(t)–2x’(t)–3x(t),即x”(t)+2x’(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x’(t)+3x(t)根據前面，逆過程，得y”(t)+2y’(t)+3y(t)=4f’(t)+3f(t)例3：已知框圖，寫出系統的微分方程。解：設輔助變量x(t)如二、離散系統1.解析描述——建立差分方程由n階差分方程描述的系統稱為n階系統。描述LTI離散系統的是線性常系數差分方程。2.差分方程的模擬框圖基本部件單元有：數乘器加法器遲延單元（移位器）二、離散系統1.解析描述——建立差分方程由n階差分方程描述例：已知框圖，寫出系統