復數的幾何意義高一年級數學（1）我們把形如a+bi（a，b）的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，a與b分別叫做復數z的實部與虛部.（2）復數相等的定義復習回顧R思考一實數的幾何意義是什么？實數與數軸上的點一一對應，因此實數可以用數軸上的點來表示.思考二類比實數的幾何意義，復數的幾何意義是什么？知識一：復數的幾何意義知識一：復數的幾何意義思考三根據復數相等的定義，任何一個復數z=a+bi都可以由一個有序實數對(a,b)唯一確定；反之也對.由此你能想到復數的幾何表示方法嗎？復數z=a+bi有序實數對(a,b)？一一對應一一對應平面直角坐標系中的點Z(a,b)知識一：復數的幾何意義x實軸y虛軸0ab如圖，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b,復數z=a+bi可用Z(a,b)表示.這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面x軸叫做實軸y軸叫做虛軸Z：a+bi說明：（1）復數z=a+bi用復平面內的點Z（a，b）表示，

復平面內的點Z的坐標是（a，b)，而不是（a，bi）,

復平面內的縱坐標軸的單位長度是1，而不是i

.（2）實軸上的點都表示實數，原點表示實數0.（3）對于虛軸而言，在說明虛軸上的點表示數時，一定要指出除原點以外都表示純虛數.復數z=a+bi有序實數對(a,b)一一對應一一對應一一對應復平面內的點Z(a,b)復數的一種幾何意義思考四在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一對應的，你能用平面向量來表示復數嗎？知識一：復數的幾何意義設復平面內的點Z表示復數z=a+bi，連接OZ，顯然向量

由點Z唯一確定；反過來，點Z也可由向量

唯一確定.平面向量xyOZ：a+biab復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量建立了如下一一對應.復數z=a+bi復數的另一種幾何意義一一對應

在本書的第六章，我們提到過復數的這種幾何表示是由韋塞爾在1797年提出的.后來，阿爾岡出書對此進行討論，并得到高斯的認同，因此這種幾何表示也稱為阿爾岡圖.正是這種直觀的幾何表示，揭開了復數的神秘的、不可思議的“面紗”，確立了復數在數學中的地位.知識一：復數的幾何意義復數z=a+bi一一對應一一對應一一對應平面向量復平面內的點Z(a,b)知識一：復數的幾何意義為方便起見，常把復數z=a+bi說成點Z或者說成向量，并且規定，相等的向量表示同一個復數.知識二：復數的模xyOZ：a+biab向量

的模叫做復數z=a+bi的模或絕對值，記作

或

即

=（其中

）類比復數的模，實數的模與實數的絕對值是協調一致的.iRi，=xyO43-3例題1：設復數z1=4+3i，z2=4-3i（1）在復平面內畫出復數z1，z2對應的點和向量；（2）求復數z1，z2的模，并比較它們的模的大小.xyOZ1(4,3)43-3Z2(4,-3)解：（1）復數z1，z2對應的點分別為Z1，Z2，對應的向量分別為，.（2）所以例題1ii...xyZ1(4,3)43-3Z2(4,-3)思考五觀察例題1的圖，你能發現這兩個復數所對應的點有怎樣的位置關系？還能發現點的坐標之間有什么數量關系？復數z1，z2對應的點Z1，Z2關于x軸對稱，復數z1，z2對應的點Z1，Z2的橫坐標相等，縱坐標互為相反數.O知識三：共軛復數通過思考五將例題中的幾何直觀一般化.一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數.復數z的共軛復數用

表示，即如果z=a+bi，那么

=a-bi.O例題2，設，在復平面內z對應的點為Z，那么滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？(1)

（2）C5–55xy–5解：（1）由

得，向量

的模等于5，所以滿足

的點Z的集合是以原點為圓心，以5為半徑的圓.例題2ZO解：（2）不等式，可化為

不等式

的解集是圓

的內部所有的點組成的集合，不等式

的解集是圓

的外部所有的點組成的集合，這兩個集合的交集，就是上述不等式組的解集，也就是滿足條件的點Z的集合.xy–55–3–333O5–5例題2O解：（2）所求的集合是以原點為圓心，以3及5為半徑的兩個圓所夾的圓環，但不包括圓環的邊界.xy–55–3–333O5–5O例題2判斷這4個點是否在同一個圓上，并證明你的結論.例題3:在復平面內指出與復數z1=1+2i，z2=+i，z3=-

i，z4=-2+i對應的點Z1，Z2，Z3，Z4.例題3:解：點Z1（1，2），點Z2（，），點Z3（，-

），點Z4（-2,1）由圓的定義知，這4個點在同一個圓上.Oxy--Z1Z2Z3Z4==由i..例題4：復數z1=a+3i，z2=-2+(b-3)i.根據下列情況，求a，b的值.（1）z1=

z2

（2）z1與z2互為共軛復數解：（1）由復數相等的定義，得a=-2，b-3=3.所以a=-2，b=6.例題4：解：（2）由共軛復數的定義，得a=-2，（b-3）+3=0.所以a=-2，b=0.練習(教科書73頁練習2，3）1.在復平面內，描出表示下列復數的點，以及寫出這些復數的共軛復數：（1）2+5i

（2）-3+2i

（3）2-4i（4）-3-i

（5）5

（6）-3i2.已知復數

2+i，-2+4i，-2i，4

（1）在復平面內畫出這些復數對應的向量；

（2）求這些復數的模.練習答案(教科書73頁練習2，3）1.（1）（2，5）2-5i.

（2）（-3，2）-3-2i.

（3）（2，-4）2+4i.（4）（-3，-1）-3+i.

（5）（5，0）5.

（6）（0，-3）3i.2.已知復數

2+i，-2+4i，-2i，4

（2），，2，4.（1）