第一章矩陣

§1.5方陣的逆矩陣

§1.5方陣的逆矩陣

一.逆矩陣的概念數n階方陣事實

應用

1a=a1=a,aEA=AE=A,Aa

0b

s.t.ab=ba=1A

滿足

?

B

s.t.AB=BA=Eba

=1,ax=c

=bc

x=1x=bax

ab

=1,xa=c

=cb

x=x1

=xab

BA=E,AX=C

=BC

X=EX=BAX

AB=E,XA=C

=CB

X=XE

=XAB

第一章矩陣

§1.5方陣的逆矩陣

注:A的逆矩陣記為A1.(教材P.21)定理1.4.A可逆A的逆矩陣唯一.1.定義:設A為方陣,若存在方陣B,使得AB=BA=E則稱A可逆,并稱B為A的逆矩陣2.逆矩陣的唯一性若AB

=BA=E,AC

=CA=E,則B

=BE=B(AC)=(BA)C

=EC

=C.第一章矩陣

3.可逆矩陣的基本性質設A,B為同階可逆矩陣,數k

0.則

(1)(A1)1=A(2)(AT)1=(A1)T(3)(kA)1=k1A1(4)(AB)1=B1A1現在證明(4),只要驗算①(B1A1)(AB)=E,

§1.5方陣的逆矩陣

②(AB)(B1A1)=E

第一章矩陣

二.初等矩陣是可逆矩陣1.初等矩陣的逆矩陣:(1)

E(i,j)1=E(i,j),§1.5方陣的逆矩陣

(2)E(i(k))1=E(i(k1)),(3)E(i,j(k))1=E(i,j(k)).例如3階初等矩陣E(1,3(5))=1

05

010

001,E(1,3(5))=1

05

010

001,1

05

010

0011

05

010

001.=1

00010

001即:初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣第一章矩陣

2.注：§1.5方陣的逆矩陣

*

*

*

*

*

*

0

0

0

=

.1

00010

001

*

***

*

*

****

*

*

*

*

*

000

可逆矩陣中不會有零行.(2)A(1)初等行變換若A可逆U可逆行最簡形U

=P1P2…PsA

U中不會有零行

=E

U=1

0…001…0

00…1

…………=P1P2…PsA

A

=Ps1…P21P11

為初等矩陣的乘積.兩邊同時左乘(Ps1…P21P11)第一章矩陣

3.矩陣與其標準形的關系定理1.6.

設A是mn矩陣,則存在m階可逆矩陣P與n階可逆矩陣Q使得

A=PQ.三.求逆矩陣的方法:用初等行變換§1.5方陣的逆矩陣

定理1.5.

A可逆A可寫成初等矩陣的乘積.第一章矩陣

設A可逆,則A可以經過有限次初等行變換化為行最簡形——單位矩陣E.A…E

(A

E)…(E

?)P1(A

E)P2P1(A

E)Pl-1…P2P1(A

E)PlPl-1…P2P1(A

E)P1AP2P1APl-1…P2P1APlPl-1…P2P1A(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1)?=A1§1.5方陣的逆矩陣

第一章矩陣

§1.5方陣的逆矩陣

例.設A=,求A1.(教材P.24)123100221010343001解:初等行變換1001320103/235/2001111故A1=

1323/235/2

111.123221343第一章矩陣

§1.5方陣的逆矩陣

四.初等變換的應用之一:解矩陣方程設A可逆,則A可以經過有限次初等行變換化為行最簡形——單位矩陣E.下面用初等變換解矩陣方程AX=B.注意到X=A1B.(A

B)…(E

?)P1(A

B)P2P1(A

B)Pl-1…P2P1(A

B)PlPl-1…P2P1(A

B)(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1B)?=A1B=X第一章矩陣

§1.5方陣的逆矩陣

123252213134343解:初等行變換100320102300113故X=

3223

13.例.設A=123221343,,B=253143求矩陣X使AX=B.第一章矩陣

§1.5方陣的逆矩陣

注:XA=B化為ATXT=BT,用上述方法可求出

XT,從而得到X.初等列變換當上面化為單位矩陣時,下面就是矩陣方程XA=B的解了.ABEX=AP1P2…Pl-1PlBP1P2…Pl-1Pl

=AA1

BA1

注意到XA=B的解是X=BA1.也可以用下面的方法直接求解.第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2

(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21

當a11a22a12a210時,a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21,x2=a11a22a12a21a11b2b1a21.第一章矩陣

§1.6方陣的行列式a11a12a21a22記D=,b1

a12b2a22D1=,a11b1a21

b2D2=,則當D=a11a22a12a210時,,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21有唯一解x2=a11a22a12a21a11b2b1a21第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

1階方陣A=[a11]的行列式|A|定義為a11.a11a12a21a222階方陣A=的行列式|A|定義為a11a12a21a22|A|==a11a22

a12a21.a11a12a21a22a11(1)1+1a22+a12

(1)1+2a21

a11a12a21a22一.行列式的定義a11

a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33a11的余子式:a22a23

a32a33M11=代數余子式:A11=(1)1+1M11

a12的余子式:a21a23a31a33M12=代數余子式:A12=(1)1+2M12

a13的余子式:M13=代數余子式:A13=(1)1+3M13

a21a22a31a32a11

a12

a13

a21a22

a23a31

a32

a33第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

3階方陣A=的行列式|A|定義為a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33|A|=a11

a12

a13

a21a22

a23a31

a32

a33=a11A11

+a12A12

+

a13A13

=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13a22a31.第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

注:二階行列式和三階行列式的對角線法則:a11a12a21a22=a11a22

a12a21

a11

a12

a13

a21

a22

a23a31

a32

a33=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13

a22

a31

.第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

一般地,在n階行列式中,將元素aij所在的第i行和第j列劃去,剩下來的n1階行列式稱為元素aij的余子式,記作Mij,令Aij

=(1)i+jMij,并稱之為aij的代數余子式.例如,四階行列式中a32的余子式為a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a11

a13

a14

a21

a23

a24

a41

a43

a44M32=,代數余子式A32

=(1)3+2M32=M32.第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

補充.

數學歸納法1.

第一數學歸納法原理:則P對于任意的自然數nn0成立.設P是一個關于自然數n的命題,若①P對于n=n0成立.②當nn0時,由“n=k時P成立”可推出“n=k+1時P成立”,第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

2.

第二數學歸納法原理:設P為一個關于自然數n的命題,若

①P對于n=n0成立,②由“n0

n

k時P成立”可推出“n=k+1時P成立”,則P對于任意的自然數nn0成立.第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

a11

a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=a11A11+a12A12+…+a1nA1n

假設n1階行列式已經定義,=a11(1)1+1M11

+a12(1)1+2M12

+…+

a1n(1)1+nM1n

n1階行列式

P.-S.Laplace[法](1749.3.23~1827.3.5)

則定義n階行列式第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

例.下三角形行列式a11

0

…0a21

a22

…0…………an1

an2…ann

=a11a22…ann

.例.上三角形行列式a11a12…a1n

0

a22…a2n…………0

0

…ann=a11a22…ann

.第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

二.行列式的性質性質1.互換行列式中的兩列,行列式變號.推論.若行列式D中有兩列完全相同,則

D=0.a11a12a21a22例如=a11a22

a12a21,a12

a11

a22

a21=a12a21a11a22.1

1

2

2D==1

1

2

2

=D

D=0.第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

性質2.(線性性質)(1)det(1,…,kj,…,n)=kdet(1,…,j,…,n);(2)det(1,…,j+j,…,n)=det(1,…,j,…,n)+det(1,…,j,…,n).

例

(1)設A為n階方陣,則det(A)=____det(A).(1)n

(2)a+b

c+d

u+v

x+y

=[].①a

c

u

x

+b

d

v

y

?,②a

c

u

x

+a

d

u

y

+b

c

v

x

+b

d

v

y

.第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

推論.若行列式D中有兩列元素成比例,則

D=0.a11…a1i…ka1i…a1n

a21

…a2i…ka2i

…a2n…………………an1…ani…kani…ann=k0=0.=ka11…a1i…a1i…a1n

a21

…a2i…a2i

…a2n…………………an1…ani…ani…ann第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

性質3.把行列式的某一列的k倍加到另一列上去,行列式的值不變.a11…(a1i+ka1j)…a1j…a1n

a21

…(a2i+ka2j)…a2j

…a2n…an1…(ani+kanj)…anj…ann=a11…a1i…a1j…a1n

a21

…a2i…a2j

…a2n…an1…ani…anj…ann+a11…ka1j…a1j…a1n

a21

…ka2j…a2j

…a2n…an1…kanj…anj…ann第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

例.124221342(2)

104=2613102=14.4

100=26731014注:用定義或對角線法則計算得上列結果.第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

性質4.設A,B為同階方陣,則|AB|=|A||B|.性質5.|AT|=|A|.注:根據性質5,前面所述關于行列式列的性質對行的情形也成立.例如:性質1’.互換行列式中的兩行,行列式變號.第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

定理:n階行列式D等于它的任意一行(列)

的各元素與其對應的代數余子式乘積之和.(教材P.33,定理1.7),即

D

=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a21A21+a22A22+…+a2nA2n

=…=an1An1+an2An2+…+annAnn

=a11A11+a21A21+…+an1An1

=a12A12+a22A22+…+an2An2

=…=a1nA1n+a2nA2n+…+annAnn.第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

性質6.ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i

j)

a1iA1j

+a2iA2j

+…+aniAnj

=0(ij).P.34,定理1.8.設D=|[aij]|,則aikAjk=Dij,k=1nakiAkj=Dij.k=1n注:克羅內克記號ij=1,i=j0,ijL.

Kronecker[德](1823.12.7~1891.12.29)第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

三.行列式的計算1.二,三階行列式—對角線法則.2.利用行列式性質化為三角形行列式.(其中n

2,x

a).Dn=x

a…aa

x…a………a

a…x例計算n階行列式第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

Dn=x

a…aa

x…a………a

a…xx+(n1)a

a…ax+(n1)a

x…a………x+(n1)a

a…x=解:…×(1)…x+(n1)a

a

a…a

a0xa0…0000xa…00………………000…xa0000…0xa

==[x+(n1)a](xa)n1.第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

3.按某一行(列)展開—降階.4.遞推/歸納.(未寫出的元素都是0).例.計算2n階行列式D2n=a

ba

bc

dc

d…………第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

解:D2n==a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b............a00aabcdd00d

...…0bb00cc0….........……第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

=a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b=adD2(n1)bcD2(n1)=(adbc)D2(n1)=(adbc)2D2(n2)=(adbc)3D2(n3)=…=(adbc)n1

D2=(adbc)n.第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

例.證明n階(n2)范德蒙行列式Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1=(aiaj).ni>j1注意觀察上例特點(教材P35例1.25)第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

=111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)現設等式對于(n1)階范德蒙行列式成立,則證明:當n=2時,D2=a2a1Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1(a1)(a1)(a1)…第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

=(a2a1)(a3a1)…(ana1)11…1a2

a3…an

…………a2n-2

a3n-2…ann-2=111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)=(a2a1)(a3a1)…(ana1)(aiaj)ni>j2=(aiaj).ni>j1第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

四.行列式的應用設A=[aij]nn為方陣,元素aij的代數余子式為Aij,則稱如下矩陣A*=A11

A21…An1A12

A22…An2

…………A1n

A2n…Ann為方陣A的伴隨矩陣1.伴隨矩陣與逆矩陣第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

例.求A=a

b

c

d

的伴隨矩陣.解:A11=d,A21=b,A12=c,A22=a.A*=A11

A21

A12

A22

=d

b

c

a

.第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

例.設A為方陣,A*為其伴隨矩陣.

證明:AA*=A*A

=|A|E.證明:AA*=a11…a1n

an1…ann

……A11…An1A1n…Ann

……=nna1kA1k…a1kAnk

k=1k=1

nnankA1k…ankAnk

k=1k=1……=|A||A|….第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

定理(P.38).方陣A可逆的充分必要條件是|A|0.

當|A|0時,有

A1=|A|1A*.推論.設A,B為方陣,若AB=E(或BA=E),

則B=A1.事實上,AB=E|A|0A可逆B=EB=(A1A)B=A1(AB)=A1E=A1.A非奇異第一章矩陣

§1.6方陣的行列式

例求下列方陣的逆矩陣.(1)A=1

234,1

232