1.1如果將等體積球分別排列成下列結(jié)構(gòu)，設(shè)x表示鋼球所占體積與總體積之比，證明結(jié)構(gòu)x簡單立方兀/6=0.52體心立方3兀/8=0.68面心立方2冗/6=0.74六方密排2兀/6=0.74金剛石3兀/16=0.34解：設(shè)鋼球半徑為r,根據(jù)不同晶體結(jié)構(gòu)原子球的排列，晶格常數(shù)a與r的關(guān)系不同，分別為：簡單立方：a=2r體積為：a=8r3＞每個晶胞包含一個鋼球，體積為:—所以k=乃/6之0.52體心立方：y/^a=4r體積為：每個晶胞包含兩個鋼球，體積為：8/r尸/3所以x=G；r/8%0.68面心立方：yfla-4r體積為：每個晶胞包含四個鋼球，體積為：16萬儲3所以#=751/6%0.74六方密排：a—2i\c=yj813G體積為：3日,一個元胞內(nèi)包含兩個鋼球，體積為81//3所以貢=JLr/6ko.74金剛石：根據(jù)金剛石結(jié)構(gòu)的特點，因為體對角線四分之一處的原子與角上的原子緊貼，因此有：(G)=2r,所以晶胞體積為/=(*)，，每個晶胞包含&個原了.，體積為8.則之=x0.34161.3證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是體心立方。證明：體心立方格子的基矢可以寫為%=；(—i+j+k)a2-^(i-j+k)a3=y(i+j-k)面心立方格子的基矢可以寫為aT=，(j+k,a2=—(k+i)%=于十?2 2 ￡ 根據(jù)定義，體心立方晶格的倒格子基矢為TOC\o"1-5"\h\z2左Cl €17 2——(k+j+k+i+j-i)——[j+k)a a. 2霆“ *2tt人上=■照+i) 電-—(i+j)同理 與面心立方晶格基矢對比，正是晶格常數(shù)為 4兀/a的面心立方的基矢，說明體心立方晶格的倒格子確實是面心立方。注意，倒格子不是真實空間的幾何分布，因此該面心立方只是形式上的，或者說是倒格子空間中的布拉菲格子。根據(jù)定義，面心立方的倒格子基矢為瓦=亍(孫川=(?/4)t20t+l)X2(i)1=『T+J+k)b2=---j+kjbs=三■什+j-k)同理而把以上結(jié)果與體心立方基矢比較，這正是晶格常數(shù)為 4兀a的體心立方晶格的基矢。1.5證明:倒格子矢量6=/欣+刀區(qū)+%同市宜于密勒指數(shù)為(砂也)的品面系。證明：根據(jù)定義，密勒指數(shù)為 的晶面系中距離原點最近的平面ABC交于基矢的截距分別為qa2萬m t HhCA=ajh-a./ CB-a1!/?7—砥/九如果?=%&+%4+%&分別垂直于CN和麗，則該矢埴就垂直于平面上所有的直線,即為平面的法線

L4證明：倒格于原胞的體積為其中a為F格子原胞的體積.證明：如果晶體原胞基矢為司、司、用,則原胞體積為u/=4?（萬、X出）根據(jù)定義，倒格子基矢為r2;r（Kx萬Jr2^（a. ）T2Kqx&JTOC\o"1-5"\h\zb［= -b= = -則倒格子原胞的體積為/*=6.（aXa）= @傳）?陶X4）X（qXG）］=（」）"a*小＞｛［（2西）包）佰一［（代碼）聞/2不、三 _口__、_ （2乃）=（——）（小x〃3）?（% L“ uc1.6對于簡單立方品格，證明密勒指數(shù)為(h,k,l)的晶面系，面間距d滿足d±二6i(h'+產(chǎn)、其中a為立方邊長。解：根據(jù)倒格子的特點，倒格子G=hbA+kb、+lb、2二與晶面族(h,k,l)的面間距有如下關(guān)系因此只要先求出倒格襁，求出其大小即可。由正格了基矢方由正格了基矢方1=g，a1-ajt砥ak,可以馬上求出:- 21- - 2乃- - 2笈-"= 7,by= jt&=—ka a a因為倒格子基矢互相正交，因此其大小為G期=阿衣欣而兩7=2^/(-)2+(-)2+(-)2=—"-

Vaaaa則帶入前邊的關(guān)系式，即得晶面族的面間距。

1.7寫出體心立方和面心立方品格結(jié)構(gòu)的金屬中， 最近鄰和次近鄰的原子數(shù)。若立方邊長為a,寫出最近鄰和次近鄰的原子間距。答：體心立方晶格的最近鄰原子數(shù)（配位數(shù)）為 8,最近鄰原子間距等于73 0：2 次近鄰原子數(shù)為6,次近鄰原子間距為a；12,最近鄰原子間距等于為面心立方晶格的最近鄰原子數(shù)（配位數(shù)）12,最近鄰原子間距等于為6 （72 次近鄰原子數(shù)為6,次近鄰原子間距為a。2.1證明兩種一價離子組成的一維品格的馬德隆常數(shù)為 a=21n2證明：設(shè)一個由正負(fù)兩種離子相間等距排列的無限一維長鏈，取一負(fù)離子作參考離子，用r表示相鄰離子間的距離，于是有-=E1一+2r3尸4rri234根據(jù)假設(shè)，馬德隆常數(shù)求和中的正負(fù)號這樣選取，即遇正離子取正號，遇負(fù)離子取負(fù)號。因子2是因為存在著兩個相等距離ir的離子，一個在參考離子左面，一個在其右面。則馬德隆常數(shù)為TOC\o"1-5"\h\z2 3 4. 、》才XXa= + +2 34-1 '/111(1+工)= 1 a= + +2 3412 3 4當(dāng)X=1時，有111(1+1)=;I2111(1+1)=;I2I3I4所以a=21n2工7對于耳，從氣體的測易得到Luimard-J。-參數(shù)為￡=50乂107）。=2.96￡°計算而。結(jié)構(gòu)的Hi的結(jié)合能（以AJ7配"單位》，每個氫分了可當(dāng)做球形來處理.結(jié)合能的實驗值為O.75KJ//77。/,試與計算值比較口解：口工為基團(tuán)，組成改。結(jié)構(gòu)的晶體，則晶體的總相互作用能為;根據(jù)平衡條件，即穩(wěn)定結(jié)合時4=14.45；4=12」3dU=根據(jù)平衡條件，即穩(wěn)定結(jié)合時4=14.45；4=12」3dU=0求得A=3.23A則可以求得每一摩爾氫分子晶體的結(jié)合能為U^2x6.022xl023x50xl0-2iU^2x6.022xl023x50xl0-2ix12.13乂2.963二312—14.45*匕96『<3,23；計算中沒有考慮零點能的量子修正，這是造成理論和實驗值之間巨大差別的原因。是1.5的圖是3.2的圖XCIB003是1.5的圖是3.2的圖XCIB003019 @|是3.3的圖3.2討論N個原胞的一維雙原子鏈（相鄰原子間距為a）,其2N個格波解，當(dāng)M=m時與一維單原子鏈的結(jié)果一一對應(yīng)解：如圖所示，質(zhì)量為M的原子位于2n-1,2n+1,2n+3質(zhì)量為m的原子位于2n,2n+”+生布云方方"""%打=一伙一e一T）2,2n+….牛頓運動萬程為初〃2兌.1二—P（2〃2用—〃2什2—刈2冷）每個原胞有兩個，共有2N個形式相同的獨立方程。形式解為：“2”=/網(wǎng)心函］必,7=周評（2用）聞代回運動方程有-marA=戶（3胸+*一如）B-2pA1 （邛—團(tuán)4產(chǎn)）力一（2月cosaq）B=ol-Mo/B=/?（Z^+e~tag）A-2pB\ -（2^cosaq）A+（2/5-Mc^）BJ這是一個以A、B為未知量的齊次線性方程組，有解的條件是系數(shù)行列式為零2/3-mco2/3-mco2—2/3cosaq—2/?cos〃q

Ip-Mor-0有兩組不同的解:TOC\o"1-5"\h\z2Am+M) 4mM.3 -=B {1+[1 rsnraq]1}+mM (m+A/)3 '2n(n?+M)nj .2 /友二B-^sin-血2}mM +71 JI <gW—q的取值范圍是： -a ~0對應(yīng)于每個q值，有兩個格波，共計2N個格波。2 2萬門4 1CDZ= |_1±COS頂J當(dāng)M=m時，兩組解變?yōu)?in 初看似乎仍為雙值函數(shù)， vqm——，

r jr但是由于原來取布里淵區(qū)為 202c為實際區(qū)域大小的一半，所以冗 7T vq工—當(dāng)我們把布里淵區(qū)擴(kuò)展為 仃 ”時，就不必用雙值表示了，變?yōu)? 47?,2/1 %少= sin-（―ctq）ni2 這時當(dāng)然就沒有光學(xué)波了3.3考慮一雙原子鏈的晶格振動，鏈上最近鄰原子間力常數(shù)交替為c和10c。令兩種原子質(zhì)量相同，且最近鄰間距為a/2。求在k=0和k=Tt/a處的⑴（k）。大略地畫出色散關(guān)系。此問題模擬如2H這樣的雙原子分子晶體。解：可以這樣考慮這個問題，H2分子組成一維晶體，分子內(nèi)部的相互作用較強(qiáng)，力常數(shù)為10c,相鄰的原子間作用較弱，力常數(shù)為c,第s個分子中的兩個原子的位移分別用. 。 。 ? 0巴和匕表示.噎3匕〃3為+】衣不.12=+一％）drMaS=i —i力十。（"一i一%）將試探解TOC\o"1-5"\h\zU 1/S ,S-Mc^u=Ci10+e-妨）v-l\Cu-Mc^v=「儲碣+10）〃一1ICv代入上式有 \ 」是u,v的線性齊次方程組，存在非零解的條件為M-coa-IIMCcd1+20C2（1-conka）=0W=屈1土J121—20（1—8而）］“ 當(dāng)k=0時，co；=22C/M\co2=0+ S-當(dāng)k/mco；=20C/M;co2=2C/M當(dāng)k=九/a時+ ” -“與k的關(guān)系如下圖所示，這是一個雙原子（例如2H）晶體。令成=C/M

求出一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)。解：設(shè)單原子鏈長度L=Na2tt No波陜?nèi)≈祋=巨乂〃，每個波矢的寬度：—,狀態(tài)密度0Na Na 2乃則內(nèi)間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù):—dq.則內(nèi)間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù):—dq.對應(yīng)±q,&取相同值2乃因此夕(3)d啰—2x坐^dq27r維單原子鏈色散關(guān)系：。2="^皿m2兩邊微分得到=g3cos(g)的將cos(2)=將cos(2)=代入de二牡gcos(g)dqNa.Na22x dq-2x 頻率分布函數(shù)2乃 17Ta

頻率分布函數(shù)設(shè)三維品格的光學(xué)振動在q=0附近的長波極限有TOC\o"1-5"\h\zP]/ 1/21a，（跳一⑹ e<&o求證： ■■一/3）=0 口>?o若?A,解：=-Aq2<0f所以若?A,解：i i若0V4,co{q}-c^-Aq2,貝Uq-A'(690-6>)，3）=依據(jù)ds(2i”，3）=依據(jù)ds(2i”忖產(chǎn)0)一，:「▽/S）=-2前現(xiàn)在,ds▽產(chǎn)（。）上上T—4^<?2=(2^)2Aq1VqV(外-由產(chǎn)2?: *,-.2 ,一， 、2 32(2乃1A(21『產(chǎn)

3.8有N個相同原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計算比熱，并論述在低溫極限比熱正比于T2。解：在德拜近似下在g空間中的態(tài)密度為1}

(W.則在半徑q到（7十附間的圜環(huán)內(nèi)的獨立振動模式數(shù)n為2殉的二三在g空間中的態(tài)密度為1}

(W.則在半徑q到（7十附間的圜環(huán)內(nèi)的獨立振動模式數(shù)n為2殉的二三qdq則在。至。+d①間的模式數(shù)目為2/TC2dc二."dm ￡、So21cl 則模式密度為夕（0）二五/設(shè)頻率上限為滿足/(6>)d(y=[%S。1 S療7d◎=一0二2N- 71C~式中出現(xiàn)2N,是由于二維晶格中每個原子的自由度為 2,總自由度為2N。則)1/2—O將各個量代入上式，有kT「%Sco3hcoi, -\—Tico+—~ ]dco=J。2+2 -S在成12-24co~,- dco)e創(chuàng)出_j（黎"d（儂⑷）=E口十一3上式中,與二四多，與溫度無關(guān)，為零點能，工叫d當(dāng)丁-當(dāng)丁-0時，以上的積分部分可以改寫為"x2e-xdx0結(jié)果為一個常數(shù)，與溫度無關(guān)，所以得到石=F0+C用一一’—=3CT—=3CT1xT2dT3.11—維復(fù)式格子 中m-5xL67x10-24g=L5x101JV/777=L5xl046/p?/cm求 :一解:ri/max3.11—維復(fù)式格子 中m-5xL67x10-24g=L5x101JV/777=L5xl046/p?/cm求 :一解:ri/max(1)也M212^^=3.00x1034x5xL67xl0242/?(Af+m)_2xl.5xlO4x(4x5+5)xL67xlO24^w/cm4x5xl.67xlO^x5xL67xlO24=6.70x103Aim0L67xl024,5x104t/17?/C7/7X=6.58x10』coA=max二599x10%t力唯max⑵“。1nm6.58x10-166.58xl016x3,00x10135-1x6,70x10135-1x5.99x10%一】=L97xl(r%P=441xlO-2<?K=3.95xlO-2er3)&\*._廣°873混一二0.221—10)〃之二—萬 =0.276(4)A= =28.1nm - 尸4.1根據(jù)k二士立狀態(tài)簡并微擾結(jié)果，求出與旦及瓦相應(yīng)的波函數(shù)憶及乙，并說明它們a的特性,說明它們都代表駐波，并比較兩個電子云分布忖說明能隙的來源（假設(shè)匕叱,）。解：令￡=+2,簡并微擾波函數(shù)為〃=以貝解：令￡=+2,簡并微擾波函數(shù)為〃=以貝（X）+5吸（X）[￡°(k)-E]A+V：B=0 +[七°仿')一七]5=0其中七°（左）=七°（〃）。解為E=E°（后月|匕|取￡＞爐（卜）+附，帶入方程紡由于小卜0,取￡＞爐（卜）+附，帶入方程紡由于小卜0,所以匕＜0。可以得到8二7,于是取E_=E°（k）—四|匕|義=—匕尻得到/=5,于是.〃了 r4 _“一=A(x)-*(x)]=今7—X“一=A(x)-*(x)]=今a—ea=—7=COSXyjLCl%+及中一均為駐波。在駐波狀態(tài)卜，電了?的平均速度為零。產(chǎn)生駐波的原因是電子波矢左二如時，電子的波長2=2工=二，恰好滿足布拉格反射條件，這時電子波發(fā)生a kn全反射，并與反射波形成駐波。由于兩駐波的電子分布不同，所以對應(yīng)不同能量:。例2圖全反射，并與反射波形成駐波。由于兩駐波的電子分布不同，所以對應(yīng)不同能量:。例2圖6+及巾-的電子云分布，，馳一維近自由電子近似，第山締叩2,附,簡約徽人方的。級波魏1 i .Ln i.尸A I.> 1. i—，，馳一維近自由電子近似，第山締叩2,附,簡約徽人方的。級波魏1 i .Ln i.尸A I.> 1. i—/wx I/—x解以（上方=而"b也mx 1ea=——e4l第一能帶:第二能帶：b=E,則6'->6,m—= ,即m=-l,（e。=e2a）z.y/^（x）=—j=e2aaa yJL,2i2〃lln?o,、 1喘第三能帶:cfc,m ，即7%= =-j=e第三能帶:aa yjL4.3電子周期場的勢能函數(shù)為7(x)=b2b2—(X—77<7)2-b<x<na+b財〃二輪，。是常數(shù),試畫出此勢能曲線，求K平均值及此晶體的第一?個和第二個禁帶(1)題設(shè)勢能曲線如下圖所示(2)P(x)是個以。為周期的周期函數(shù)，所以V(x),(2)P(x)是個以。為周期的周期函數(shù)，所以V(x),■ XCFKMM049a=4b— 1/? 1 1ea-bV(x)=一IV(x)=一IV(x)dx=—IV(x)dxL'l °Jb 。)-bo=4b,故積分上限應(yīng)為a-b=3b,但由于在他3H區(qū)間內(nèi)『(x)=0,故只需在卜帥］區(qū)間內(nèi)積分.這時，〃=0,于是勢能函數(shù)平均值為：771a a人」加。之771a a人」加。之，K=—V(x)dx= (6——x~)r/x= braLb 2aJ" 2aA*b-b=-^ob2

6(3)勢能在［-2b.2b］區(qū)間是個偶函數(shù)，可以展開成傅立葉級數(shù)V(X)=VQ+^ C0S~~X^m= C0S X^X=~Jo C°SX^XTOC\o"1-5"\h\z冽.~00 2b 2b° 2bb° 2b2 __在［O,Z＞］區(qū)間，片(x)=答二(Z『一/)且利用積分公式fircosnuichi=I(rmisinmu+2cosmu)］—sininuJ "l 」m-16mcrT、第一個禁帶寬度為4=-^b~_2mco22第二個禁帶寬度E—iL4.4月緊束縛近似求出面心立方晶格和體心立方晶格s態(tài)原子能級相對應(yīng)的能舸或解：當(dāng)只計入被近鄰格點原了?的相互作用札s態(tài)原子能級相對應(yīng)的能帶/質(zhì)）函數(shù)可以表Esgn「￡J區(qū)）產(chǎn)小為? R:=Nearest對于面心立方晶格，?他并曝近糠了?有12個，以雄預(yù)坐標(biāo)就，最近鄰原子的坐標(biāo)可以表為：處于r平面內(nèi)的4個原子坐標(biāo)為（*,0）,（W0）,-0）W,0）77 ? ? ?? ? ?處于y-二平面內(nèi)的4個原子坐標(biāo)為處于二-x平面內(nèi)的4個原子坐標(biāo)為????????以上每一個原了?對應(yīng)于一個積分。由于s原了?軌道的球?qū)ΨQ性，所以12項軌道積分?jǐn)?shù)值完全相同,為人=J（凡）=J久€—R）。6）- （孑“簧因此￡??）*_j°mz/星R.^Nearest只需計算與結(jié)構(gòu)有關(guān)的求和項。比如對于x-y平面內(nèi)的4個原子，指數(shù)求和可以寫為T（&+勺洋"”號）彳MM-勺斗 /氏一號4e2+e2+e2+e2

=2cos[-(勺+勺,)]+2cos[-(kx-ky)]TOC\o"1-5"\h\zcik cik—4cos(--)cos(—2 2同樣，其它兩個面內(nèi)的求和也可以得到，分別為cik7 cik, ，ak-、 zcikY、4cos(—^2-)cos(--)4cos(—cos(—^-)2 2 2一則面心立方晶格晶格s態(tài)原子能級相對應(yīng)的能帶函數(shù)為ls7 aKyaKy。卜-。匕a&、E(k)=E-JQ-4Jj(cos--cos--+cos--cos—^+cos—^cos--)對于體心立方，一個原子有8個最近鄰原子，坐標(biāo)為aaa aaa a aa a a a一1，— — ?/ ) — —則結(jié)構(gòu)因子為則結(jié)構(gòu)因子為一，(M+六v+￡)§ T氏+k廣卜：堤 一i(勺一勺+k:斗 一處五一六、一卜：斗e-+e-+e-+e-a(A+k+k.) a(kx+k-kz) 〃代-勾-k) a(-kx+k-kr)=2cos--―--+2cos-----+2cos—-~+2cos——--―-TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2。(七十七) ok-前兩項合并為4cos3 8S?后兩項合并為na_k)ak qakx °ky ak_4cos:yCOS年再次合并,8cos—cos—cos—AM am最終，體心立方晶格晶格s態(tài)原子能級相對應(yīng)的能帶函數(shù)為Es(k)=Es-JQ-84cos也西， akcos—^cos——:2 24.7有 維單原子鏈，間距為〃，總長度為陽7。（1）用緊束縛近似求出原子S態(tài)能級對應(yīng)的能帶上（不）函數(shù)。（3）如果每個原子s態(tài)只有一個電子，求等于T=0K的費米能級及處的能態(tài)密度。解：（1）￡（左）二4一一J［（?而+e~lka）二邑一一24coska(2)M^)=2x—x2—=2%\dE\2Na1 X ； 7i 2J[CisinkaN兀J、sinkaN="兇?，甘=2'%kQ--(3)因為“/2"… 〃所以Ep=E?)=q-Jo—24cos叁?a=q-Jo2aN⑻)=——二=￡T?冗7rJ、7FJ1Sill Cl 12<75.1設(shè)有一維晶體的電子能帶可以寫成E(k)士二(―-coska+-cos2ka)mcT8 8其中〃是晶格常數(shù)。試求：（1）電子在波矢上狀態(tài)的速度。1dEg力/., 1.…、解：⑴根據(jù)定義，有染=元力-=就（.鼠—下皿2屆）(2)根據(jù)極值條件=2—(sinka―二sin2kc)=O

dkina 4求得上=0時，取極小值，相應(yīng)的有效質(zhì)量為加"=磊|-。=2加dk2.方2J77 = dk"k=2時，取極大值，相應(yīng)的有效質(zhì)量為a2二17135.2晶格常教為2.5A的一維晶機(jī)當(dāng)外加10濘/所和10仍用電場時，試分別估算電子自能帶底運動到能帶頂所需要的時間。解：一維晶格的能帶底部和頂部分別處于上二0和左=2處，在電場作用下，電子在k空間a的速度為出力所以在兩種場中，電子由能帶底部到能帶頂部所需要的時間分別為3.14xl.06xl0-34eE1.6xlO_19xlOOx2.5xlO-10=8.32x1OT(s)3.14xl.06xl0-34eE1.6xlO-19xlO7x2.5xlO-108.32x1073⑸若把銀看成具有球形費米面的單價金屬，計算以下各量:（1）費米能和費米溫度（2）費米球半徑（3）費米速度解：（1）根據(jù)銀的質(zhì)量密度求出數(shù)密度，為10.5xlQ-10.5xlQ-3xlO6107.87x1.(57x1O-27=5.83x1O28(777-3)則費米波矢為勺=(3/〃嚴(yán)=(3x3.142x5.83x1028產(chǎn)=1.20x101°(〃/T)費米能為Ef=%(1.O6xW34費米能為Ef=%(1.O6xW34)2x(1.2Ox1O10)22///2x9.1x10e二8.89xl0*(J)=5.56(")費米溫度為Tf費米溫度為Tf=Ef_8.89xIQ-1977—1?38><10-23=6.44x104(K)（2）費米波矢就是費米球的半徑七=1.20xl01°On-1）o（3）費米速度為匕=如（3）費米速度為匕=如1111.06x10-34X1