上杭縣2022——2023學年高三月考數學試題(第I卷，選擇題部分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合人二3，"2)-°},B={x|-l<xSl}?則()A.[-1,0]B.[0,1]C.[-1,2]D.[1,2]7函和"丫、— 1-(xeR)的值域是()j田雙八M 1 21+廠A(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]3.已知命題〃：3xg{x|1<x<2},x-a>0,若f是真命題，則實數。的取值范圍是C.a<2A.a<l B.C.a<24.函數/(力=(%—1)小國的圖象可能是()5.函數f(x)=2'+3x的零點所在的一個區間是A.(-2,-1) B5.函數f(x)=2'+3x的零點所在的一個區間是A.(-2,-1) B.(-1,0)則a,b,c的6.已知a=In120202019H 2020jJ駟202120211 2021c=ln 1 20222022B.B.a>c>bD.c>a>b大小關系是()A.a>b>cC.c>b>a7.“綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來，城鄉深化河道生態環境治理，科學治污.某鄉村一條污染河道的蓄水量為V立方米，每天的進出水量為Z立方米.已知污染源以每天一個單位污染河水，某一時段，（單位：天）河水污染質量指數為（每立方米河水所含（機。為初始質量指數），經測算，河道蓄水量是的污染物）滿足根（，）=（+|肛）一,K\（機。為初始質量指數），經測算，河道蓄水量是每天進出水量的80倍.若從現在開始關閉污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的10%,需要的時間大約是（參考數據：In10a2.30）（ ）A.1個月 B.3個月 C.半年 D.1年.蘇格蘭數學家科林麥克勞林（Co〃“ 研究出了著名的Maclaurin級數展開式，受到了世界上頂尖數學家的廣泛認可，下面是麥克勞林建立的其中一個公式：in（i+^）=x-—+-+（-ir'—試根據此公式估計下面代數式&+辿+逋…逑匚+…（〃25）的近似值為（ ）（可能用到數值In2.414=0.881,In3.414=1.23）A.2.788 B.2.881 C.2.886 D.2.902二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分..下列函數既是偶函數又在（0,+8）上單調遞增的是（）A./（x）=2|v| B./（x）=x-2 C./（x）=x--D.Xf（x）=2'+2.下列說法中正確的有（）A.若a<b<0,則ab〉。？hnB若。>力>0,則一>—abC.Vxe（o,-H?）,“x+’Nm恒成立”是“機42”的充分不必要條件XD.若a>0,b>0,a+b=1,則'的最小值為4ab11.對于函數/（x）=lnk土；和g（x）=lnx-ln（2x-l）,則下列結論中正確為（）A.設/（X）的定義域為M,g（x）的定義域為N,則NUM.B.函數g（x）的圖像在x=l處的切線斜率為0.C.函數/(x)的單調減區間是(一8,0),D.函數/(x)的圖像關于點對稱.q~x+ 4-ITlX<0.已知函數f(x)=< '(e為自然對數的底)，若/(x)=/(x)+/(-x)ex(x-l),x>0且尸(x)有四個零點，則實數機的取值可以為A.1 B.e C.2e D.3e(第II卷，非選擇題部分)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分..若函數/(x)=xln(x+Ja+x?)偶函數，則。=..已知函數/(x)=4x+二一.若存在xw(2,+8),使得“x)W4"—2"成立，則實數。X—2的取值范圍是..定義在/?上的函數/(x)滿足以下兩個性質：①〃-x)+/(x)=0,②/(l+x)=/(2-x),滿足①②的一個函數是..定義在R上函數/(X)滿足/(x+l)=g〃x),且當xe[0,l)時，/(x)=l-|2x-l|.若對任意田)，都有則加的取值范圍是四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟..如圖，直棱柱ABC—A4G的底面AABC中，CA=CB=\,NAC8=90°,棱A&=2,如圖，以C為原點，分別以C4,CB,CG為x,y,z軸建立空間直角坐標系(1)求平面ABC的法向量；(2)求直線AC與平面Age夾角的正弦值..已知f(x)=ex-ax-\.(1)當a=2時，討論f(x)的單調區間；(2)若f(x)在定義域R內單調遞增，求”的取值范圍..今年年初，我市某醫院計劃從3名醫生、5名護士中隨機選派4人參加湖北新冠肺炎疫情狙擊戰.(1)求選派的4人中至少有2名醫生的概率；(2)設選派的4人中醫生人數為X,求X的概率分布和數學期望..如圖，邊長為2的正方形A8CZ)所在的平面與半圓弧CO所在平面垂直，加是CD上異于C，D的點.(1)證明：平面平面8MC；(2)當三棱錐M—ABC體積最大時，求面M46與面MCD所成二面角的正弦值..最新研發的某產品每次試驗結果為成功或不成功，且試驗成功的概率為P(0<P<D.現對該產品進行獨立重復試驗，若試驗成功，試驗結束；若試驗不成功，則繼續試驗，且最多試驗10次.記X為試驗結束時所進行的試驗次數，且每次試驗的成本為a(a>0)元.(1)①寫出X的分布列；②證明：E(X)<f(2)某公司意向投資該產品.若，=0.25,且試驗成功則獲利5a元，則該公司如何決策投資，并說明理由..已知函數/(x)=e*+(a-l)x,g(x)=ar+sinx+cosx(1)求函數f(x)最值；TT(2)令〃(x)=/(x)-g(x),求函數/z(x)在區間(-二,+oo)上的零點個數，并說明理由.上杭一中2022——2023學年高三月考數學試題（第I卷，選擇題部分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的..已知集合4={加'（*—2）'°}, 1},則4U8=（）A.[-1,0] B.[0,1] C.[-1,2] D.[1,2]【答案】C【解析】【分析】解出集合A,進而根據交集定義解得答案即可.【詳解】由題意，A=[0,2],則Ad8=[-1,2].故選：C..函數/■（尤）=7\（%€/?）的值域是（ ）1+XA.（0,1） B.（0,1] C.[0,1） D.[0,1]【答案】B【解析】【分析】本題首先可令/=1+/，然后將函數f（x）=—二轉化為y=L最后利用反比1+x t例函數性質得出當rw[l,+8）時函數y=l的值域，即可得出結果.【詳解】令r=l+f,則r?l,+oo）,因為函數y=l在[1,+8）上單調遞減，所以當te[l,+oo）時函數y 的值域為（0,1],則函數/（》）=彳下（*6R）值域為（0,1],故選：B.【點睛】本題考查函數值域的求法，考查通過換元法求函數值域，考查反比例函數的性質,考查推理能力，是簡單題..已知命題P：3xe{x|l<x<2},x-a>0,若rP是真命題，則實數。的取值范圍是A.a<\ B.a>2 C.a<2 D.a>2【答案】D【解析】【分析】先求出命題。為真命題時。的取值范圍，則可求出命題。為假命題的范圍，即可選出答案.【詳解】若命題〃為真命題則，3xe{x|l<x<2}, 即a<2.又一P是真命題，即命題。為假命題，即aN2.故選：D..函數/（力=（》-1）1川目的圖象可能是（）【答案】A【解析】【分析】由題意，去掉絕對值，變函數為分段函數，結合導數研究其單調性，可得答案./、/x?,f（x-l）lnxx>0【詳解】由函數"力=（1）1中=［（1阿一）x<0'x_1 1當x>0時，/f(x)=lnx+: =lnx+1——，易知y=7'(x)單調遞增,且/'（1）=0,可得下表:X(。,1)1(1,+00)—0+“X)極小值/

則，(x)極小=，⑴=°，、 r-1 1 1當x<0時，/'(%)=In(-x)+: =ln(-x)+l——,令g(x)=ln(-x)+l——,8'(%)=：+4=矍，令g'(x)=O,解得x=-l,可得下表:,V(-00,-1)-1(T0)g'(x)—0+g(x)極小值則gOOmin=8(%)極小=g(T)=2>°，即，'(x)>0,則/(X)單調遞增.故選：A..函數f(x)=2*+3x的零點所在的一個區間是A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)【答案】B【解析】【詳解】試題分析：因為函數f(x)=2，+3x在其定義域內是遞增的，那么根據f(-l)=5一一3=一一<0,f(0)=1+0=1>0,那么函數的零點存在性定理可知，函數的零點的區間為2(-1,0),選B.考點：本試題主要考查了函數零點的問題的運用.點評：解決該試題的關鍵是利用零點存在性定理，根據區間端點值的乘積小于零，得到函數的零點的區間.c=ln1 2021 1 20222022c=ln1 2021 1 20222022B.a>C>h6.己知a=In 1 ,o=In 1 20202020 20212021大小關系是(A.a>b>cC.c>b>aD.C.c>b>a【答案】A【解析】【分析】根據三個數的形式，構造函數，利用導數判斷函數的單調性，最后根據單調性進行

比較大小即可.| 1_x【詳解】構造函數/(x)=lnx+l-x,f\x)=一一1=——，當0<x<l時，r(x)>0,小）單調遞增，所以費＞，（熹）＞/（/）小）單調遞增，所以費＞，（熹）＞/（/）a>b>c.故選：A7.“綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來，城鄉深化河道生態環境治理，科學治污.某鄉村一條污染河道的蓄水量為u立方米，每天的進出水量為Z立方米.已知污染源以每天，個單位污染河水，某一時段，（單位：天）河水污染質量指數為加（r）（每立方米河水所含的污染物）滿足加（，的污染物）滿足加（，）=2+1mo_/卜V（加0為初始質量指數），經測算，河道蓄水量是每天進出水量的80倍.若從現在開始關閉污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的10%,需要的時間大約是（參考數據：In10a2.30）（ ）A.1個月 B.3個月 C.半年 D.1年【答案】C【解析】【分析】由題可知：機（/）=相心強=0.1%，化簡得出結論.【詳解】由題可知："=0.1%?,.--r=In0.1?_2.3080.,.r?184（天）...要使河水的污染水平下降到初始時的10%,需要的時間大約是半年.故選：C.8.蘇格蘭數學家科林麥克勞林研究出了著名 級數展開式，受到了世界上頂尖數學家的廣泛認可，下面是麥克勞林建立的其中一個公式：ln（l+x）=x-y+—-—++（-lp'—+...,試根據此公式估計下面代數式0+竿+警-g+…廠+…（〃25）的近似值為（ ）（可能用到數值In2.414=0.881,In3.414=1.23）A.2.788 B.2.881 C.2.886 D.2.902【答案】B【解析】【分析】由麥克勞林公式得味+0)=0_2+逑，+建，+…+(-廣⑼+.?.，進而可2 3 4 5 3 az得答案.【詳解】解：根據麥克勞林公式得：或+0)=0二+逑，+延，+…+”回+…，' ' 2 3 4 5 3 '/〃所以ln(l+&)+2=&+半+竽<+…+(-1廣空+...(”25)由于ln(l+0)+2?ln2.414+2=2.881.故0+2包+逑，+…+(-1廣'6空+…(〃25)的近似值為2.881.3 5 3 n故選：B.【點睛】本題考查數學知識遷移與應用能力，解題的關鍵是將所求近似代替，是中檔題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分..下列函數既是偶函數又在(0,+8)上單調遞增的是()A./(X)=2W B,y(x)=x-2 C./(x)=x-D.〃月=2八2【答案】AD【解析】【分析】結合函數的奇偶性、單調性確定正確選項.【詳解】A選項，_/'(x)=2H的定義域為R,/(-x)=2H=2w=/(x),/(x)為偶函數.當x>0時，/(x)=2，為增函數，符合題意.B選項，的定義域為{x|xh0},當x>0時，”工人!為減函數，不符合題思.C選項，/（x）=x-工的定義域為{x|xhO},f（-x）=-x+—=-/（x）,/（X）為奇函X X數，不符合題意.D選項，"x）=2-2的定義域為R,/（-x）=/（x）,/（X）為偶函數.當x>0時，根據復合函數單調性同增異減可知：f（x）=2/+2為增函數，符合題意.故選：AD.下列說法中正確的有（）A.若a<b<0,則加?>人2B.若a>b>0,則2>qabc.Vxe（o,y）,“x+，2”恒成立”是“〃742”的充分不必要條件XD.若a>O,b>O,a+b=l,則的最小值為4ab【答案】AD【解析】【分析】對于A,B,利用不等式的性質可以判斷：對于C,利用基本不等式及不等式恒成立與最值的關系，再結合充要條件即可判斷；對于D,利用基本不等式及“1”的巧用可以判斷.【詳解】對于A,因為a（人<0,所以。一人<0,所以"一從=力（。—力）>（）,即時>〃，故A正確；對于B,因為。>力>0,所以ab>0,b+a>0,b-a<0,所以婦色"?<o，即故B不正確；ahah ah ab對于C,Vx€（0,+oo）,x+’Nm恒成立等價于（X+—]>m,Vxe（0,+a>）X VX^rnin因為x>0,所以L>0,所以x+，N2jx，=2,X X\X當且僅當X=L即x=l時，等號成立，X所以當x=l時，X+，取得最小值為2,即WW2.X所以Vxe(0,+oo),“無+，2加恒成立”是“mV2”的充要條件，故C不正確.XhZ7對于D,因為。>0,〃>0,。+〃=1,—>0,—>0,ab當且僅當2=二即a=b="!■時，等號成立，ab 2所以當a=b=，時，1取得最小值為4,故D正確.2ab故選：AD11.對于函數〃x)=ln——g(x)=lnx-ln(2x-l),則下列結論中正確為()A.設/(X)的定義域為M,g(x)的定義域為N,則N7M.B.函數g(x)的圖像在x=l處的切線斜率為0.C.函數f(x)的單調減區間是(一8,0),(g，+8).D.函數/(x)的圖像關于點對稱.【答案】ACD【解析】【分析】利用導數來研究函數的切線斜率以及單調性問題，利用函數的概念以及性質來研究定義域與對稱性問題.【詳解】因為/(x)=ln—J,所以^^>0,即M2x—D>0，2x—1 2x—1解得或x<0,因為g(x)=lnx-ln(2x-l),TOC\o"1-5"\h\zx>0? 1所以《 ，解得x>-.所以NqA/.故A正確；2x-l>0 2? 2因為g(x)=lnx-ln(2x-l),所以g<x)=一—-~x2x-12所以g'(l)=二元0=-1,所以g(x)的圖像在X=1處的切線斜率為-1，故B錯誤:因為/(x)=ln管、=lnx-ln(2x—l)，定義域為：? ] 2 -1{x\x>-^x<o]9所以ra)=一―-~~-=—~~2 x2x-lx(2x-l)由/'(x)<0有：x>g或x<0,所以函數/(x)的單調遞減區間是(-8,0),l/'+s)，故C正確；當百+%=；時，/(^)+/(^)=In-^-+ln-^-2 zx-1 ,尤2-]=In =ln-=-21n2.4為%2—2(%)+%2)+1 4所以函數f(x)的圖像關于點對稱，故D正確.故選：ACD.e，+2/tix+mx<0.已知函數/(x)=《v ' (e為自然對數的底)，若尸(x)=f(x)+/(-x)e(x-l),x>0且尸(x)有四個零點，則實數機的取值可以為A.1 B.e C.2e D.3e【答案】CD【解析】【分析】首先判斷E(x)為偶函數，考慮x>0時，b(x)的解析式和零點個數，運用導數的幾何意義和數形結合思想，即可得到所求加的范圍.【詳解】解：因為尸(x)=/(x)+/(-x),可得尸(?=尸(一幻,即尸(x)為偶函數,由題意可得x>0時，/(x)有兩個零點，當x>0時，-x<0，f(-x)=ex-2mx+m即x>0時，F(x)=xex-ex+ex-2nvc+m=xex—2mx+m,由b(x)=。，可得xe*—2nzx+/n=0，由丁=%",丁=m(2%-1)相切，設切點為(fjd),

y=xe'的導數為y'=(x+1)靖，可得切線的斜率為(t+l)e',可得一出'="+1)-可得切線的方程為可得一出'="+1)-山切線經過點解得：，=1或--(舍去)，即有切線的斜率為2e,2故2m>2e,:.m>e,故選：CD.【點睛】本題考查函數的零點問題，關鍵是轉化為函數圖像的交點問題，考查數形結合的思想及計算能力，難度較大.(第n卷，非選擇題部分)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分..若函數/(x)=xln(x+Ja+x2)為偶函數,則。= -【答案】1【解析】【詳解】試題分析：由函數f(x)=xln(x+yla+x2)為偶函數=>函數^(x)=ln(x+yja+x2)為奇函數，g(0)=lna=0=>a=l.考點：函數的奇偶性.【方法點晴】本題考查導函數的奇偶性以及邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力、特殊與一般思想、數形結合思想與轉化思想，具有一定的綜合性和靈活性，屬于較難題型.首先利用轉化思想，將函數/(x)=xln(x+CT?)為偶函數轉化為函數g(x)=ln(x+Ja+x2)為奇函數，然后再利用特殊與一般思想，取g(0)=lna=°=a=l.

.已知函數/(x)=4x+二一.若存在xg(2,m),使得〃x)W4"-2"成立，則實數。的取值范圍是.【答案】［2,+8)【解析】【分析】由題意可得/(x)1nhiW4"-2",利用基本不等式求出/(x)min=12,然后解不等式12W4"-2”可求出。的取值范圍.【詳解】因為xe(2,”)，所以x—2>0,所以f(x)=4x+—!—=4(x-2)+—!—+82 2>2j4(x-2)?——+8=12,Vx—2當且僅當4(x-2)=」一，即x=*時取等號，x—2 2所以/(X)min=%，因為存在xe(2,+8),使得〃x)W4"-2"成立，所以/(x)1rtli44"-2",即1244"一2〃，所以(2")'-2"-1220,即2"4一3(舍去)，或2"24，得a22,所以”的取值范圍為［2,+8),故答案為：［2,+8).定義在/?上的函數/(x)滿足以下兩個性質：①/(-x)+/(x)=0,②〃l+x)=f(2-x),滿足①②的一個函數是.7T【答案】/(x)=sin-x(答案不唯一)【解析】3【分析】根據性質①②可知，/(X)為奇函數且函數圖像關于X=5對稱，即可得到結果.【詳解】因為/(_x)=sin[_H=_sin]x=_/(x),即滿足性質①又因為/(l+x)=sin；(l+x)

所以〃l+x)=f(2-x),即滿足性質②故答案為：/(x)=sin-x.定義在R上函數〃x)滿足/(x+l)=；/(x),且當xe[O,l)時，/(x)=l-|2x-l|.若對任意xe[也田)，都有/(x)W3，則機的取值范圍是37【答案】m>—82x,xg[0,^12-2x,xg2x,xg[0,^12-2x,xg[―,1)2，根據/(x+l)=：/(x)，即= —1)，依此類推，作出函數f(x)的圖象求解.【詳解】因為當xe[。，1)時，/(x)=l-|2x-l|,2x,xg[0,—]所以f(x)=< 21,2—2x,xg(一,1)因為f(x+l)=；f(x)，當xe口，2)時，即x-lw[0,l)時，所以/[(x-1)+1]=；f(x-1),即/(x)=；f(x-1),TOC\o"1-5"\h\z1 3 1 1當X-lw[0,y],BPxg[1,5]時，/(x)=-/(x-l)=--2(x-l)=x-l,1 3 1 1當x—leg,1),即xe',2)時，f(x)=^f(x-\)=-[2-2(x-\)]=2-xfx-1,xg[1,—]所以/(幻={ 2，2—x,xg(—,2)依此類推，作出函數/（X）的圖象，如圖所示：TOC\o"1-5"\h\z由圖象知：/4）=±，/⑸=。,當X.5時，f（x）? ?2 64 3264當x?4.5,5）時，〃力二^」（』一4）=友［2—2（尢-4）］="（5—力、 3因為對任意X￡pw,+8）,都有f（戲,77,641 3 37則3（5-巾）”77，解得：江?丁，8 64 837故答案為：mN—四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟..如圖，直棱柱ABC—A8c的底面AABC中，CA=CB=l,NAC8=90°,棱A4,=2,如圖，以。為原點，分別以C4,CB,CG為x,y,z軸建立空間直角坐標系（1）求平面A8C的法向量；（2）求直線4C與平面ABC夾角的正弦值.【答案】（1）v=（-2,-2,l）；（2）|.【解析】【詳解】分析：（1）設處平面的法向量的坐標，利用向量的數量積為0,即可求解平面48。的一個法向量；(2)取出向量法=(1,0,0),利用向量的夾角公式，即可求解直線AC與平面A8C所成角的正弦值.詳解：(1)由題意可知C(0,0,0),A(1,0,2),4(0,1,2)故不=(1,0,2),國=(0,1,2)設U=(%,%,￡())為平面AB|C的法向量，則v-C\=(^,^0,￡0)(1,0,2)=^+220=0,/?C8i=(%%，Zo)(O,l,2)=No+2zo=0卜％=一：。令Z°=1,則/=(_2,—2,1)[%=-2zo(2)設直線AC與平面AMC夾角為。，C4=(1,0,0)疝0=呼臼」(1，。,型-2，-2」)|=2|C4||v| 1x>/22+22+12 3點睛:本題考查了平面法向量的求解，以及直線與平面所成的角，著重考查了空間想象能力，以及推理與運算能力，在高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現在以下幾個方面：①求異面直線所成的角，關鍵是轉化為兩直線的方向向量的夾角：②求直線與平面所成的角，關鍵是轉化直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關鍵是轉化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標系和表示出所需點的坐標是解題的關鍵..已知/@)=6'-"-1.(1)當4=2時，討論f(x)的單調區間；(2)若f(x)在定義域R內單調遞增，求。的取值范圍.【答案】(1)單調增區間是(ln2,+8),單調遞減區間為(-co,In2).(2)(-oo,0].【解析】【分析】(1)對f(x)求導，利用導函數的正負討論單調區間；(2)/(x)在定義域R內單調遞增，即導函數/")=6*-。20恒成立，解。的取值范圍即可.【小問1詳解】當a=2時，f(x)=e'-2x-l,定義域xeR.f\x)=ex-2.令/"(x)>。，即/一2>0解得：x>ln2；令/"(jOvO,即/一2<0解得：x<ln2；...當。=2時，函數/(x)的單調增區間是(ln2,+8),遞減區間為(-8,In2).【小問2詳解】,:f(x)=ex-ax-\,xeR/.f'{x}=ex-a???/(x)在R上單調遞增，即f'(x)=ex-a>0恒成立,*/xeR時exe(0,+oo)/.a<0,即a的取值范圍為(-8,0].19.今年年初，我市某醫院計劃從3名醫生、5名護士中隨機選派4人參加湖北新冠肺炎疫情狙擊戰.(1)求選派的4人中至少有2名醫生的概率；(2)設選派的4人中醫生人數為X,求X的概率分布和數學期望.【答案】(1) (2)分布列見解析；期望為3.2 2【解析】分析】(1)分別對“4人中有2名醫生2名護士”、“4人中有3名醫生1名護士”記事件，然后根據互斥事件以及組合知識，進行求解可得結果.(2)列出X的所有可能結果，并計算相應概率，然后列出分布列，最后根據數學期望公式，可得結果.【詳解】(1)記選派的4人中至少有2名醫生為事件A,記4人中有2名醫生2名護士為事件A,,記4人中有3名醫生1名護士為事件人,且A與4互斥?則當事件A發生時，有A或4發生,所以有尸(A)=RA+4)=P(A)+P(&).又24)=等V罟吃;3 1 1所以P(A)='+-!-=±.7142故選派的4人中至少有2名醫生的概率為表(2)由題意選派的醫生人數X可以是0，1,2,3.所以P(x=0)=目=5；尸(X=l)=害='所以，隨機變量X的概率分布表為22）加6等《心3）=尸⑷=等七X0123P]3737114故隨機變量X的數學期望為1 3 3 13￡(X)=Ox—+lx-+2x-+3x—=-14 7 7 142故x的數學期望為2.2【點睛】本題考查互斥事件的概率以及離散型隨機變量的分布列以及數學期望，考查分析能力以及運算能力，屬中檔題.20.如圖，邊長為2的正方形ABC。所在的平面與半圓弧CO所在平面垂直，V是CO上異于C，。的點.（1）證明：平面AA/DJ?平面BMC；（2）當三棱錐M—ABC體積最大時，求面M43與面所成二面角的正弦值.【答案】（1）見解析⑵巫5【解析】【分析】（1）先證BCJ■平面CMD,得BC_LCM,再證CM_LMD,進而完成證明.（2）先建立空間直角坐標系，然后判斷出M的位置，求出平面MAB和平面MCD的法向量，進而求得平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值.【詳解】解：（1）由題設知，平面CM。，平面A8C2交線為CD因為BC_LCO,BCu平面ABCD,所以BC_L平面CMD,故BC1DM.因為M為而上異于C,。的點，且。C為直徑，所以DWLCM.又BCnCM=C，所以￡>“，平面BMC.而OA/u平面AMD,故平面AMO_L平面BMC.(2)以。為坐標原點，況的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.當三棱錐M-A8C體積最大時，M為函的中點.由題設得0(0,0,0),A(2,0,0),8(2,2,0),。(0,2,0),股(0,1』)，AM=(-2,l,l),AB=(0,2,0),a4=(2,0,0)設〃=(x,y,z)是平面M4B的法向量，則fn-AM—0,?f—2x+y+z=0,[n-AB^O.[2y=0.可取〃=(1,0,2).da是平面MCD的法向量，因此p..1n-DA^5cosn,DA=， ?=—.I啊5’sinn,DA= >所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是—.5【點睛】本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問主要考查建立空間直角坐標系，利用空間向量求出二面角的平面角，考查數形結合，將幾何問題轉化為代數問題進行求解，考查學生的計算能力和空間想象能力，屬于中檔題.21.最新研發的某產品每次試驗結果為成功或不成功，且試驗成功的概率為，(0<，<1).現對該產品進行獨立重復試驗，若試驗成功，試驗結束；若試驗不成功，則繼續試驗，且最多試驗10次.記X為試驗結束時所進行的試驗次數，且每次試驗的成本為a(a>0)元.(1)①寫出X的分布列；②證明：￡(%)<-；(2)某公司意向投資該產品.若P=0.25,且試驗成功則獲利5。元，則該公司如何決策投資，并說明理由.【答案】(1)①答案見解析；②證明見解析(2)應該投資，理由見解析【解析】【分析】(1)由題意，X=1,2,3,...,10,尸(X=A)=p(l-p)J,4=1,2,…,9,P(X=10)=(l-p)9,列出分布列即可：列出E(X),乘公比錯位相減法求和S=(l-p)°+2(1-p)'+3(1-p>+…+9(1-pF,分析可證明E(X)<,；P(2)由(1)￡(X)<-=4,分析即得解P【小問1詳解】①由題意，X=1,2,3,...,10故P(X=攵)=p(l—〃產/=1,2,…,9,P(X=10)=(1-“)9分布列如下：X12345678910ppp(l-p)p(l-p/P(l-PrP(1-P)4p(l-p)5p(l-P9p(l-pVp(l-Pl8(l-p)②E(X)="(1-p)。+2p(l-p)i+3p(l—「產+…+9p(l-p)8+10(l-p)9,記S=(l-p)°+2(l_py+3(l-p)2+—+9(l-p)8,(1-p)S=(1-p)'+2(1-p)2+3(1-p)3+…+9(1-4,作差可得，pS=(l-p)°+(l-p)'+(l-p)2+???+(1-/?)8-9(1-/7)9=-~~———--9(