第27講衛星(天體)追及相遇模型I真題示例I真題示例(全國高考)太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象，天文學稱為“行星沖日據報道，2014年各行星沖日時間分別是：1月6日木星沖日；4月9日火星沖日；5月11日土星沖日；8月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示，則下列判斷正確的是地球火星木星土星天王星海王星軌道半徑(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都會出現沖日現象B.在2015年內一定會出現木星沖日C.天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為土星的一半D.地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短一.知識回顧如果有兩顆衛星在同一軌道平面內兩個不同軌道上同向繞地球做勻速圓周運動，a衛星的角速度為3a，b衛星的角速度為(Ob，某時刻兩衛星正好同時通過地面同一點正上方，相距最近，如圖甲所示，則當它們轉過的角度之差△。=兀，即滿足(OaAt-3bAt=7t時，兩衛星第一次相距最遠，如圖乙所示。兩衛星相距最遠的條件是(oaAt-o)bAt=(2n+l)7t(n=0,l,2,3--)>相距最近的條件是(oaAt-a)bAt=2ri7c(n=0,1,2,3...)o甲 乙二.例題精析例1.如圖是在同一平面不同軌道上同向運行的兩顆人造地球衛星。設它們運行的周期分別是Ti、T2(Ti<T2),且某時刻兩衛星相距最近。問：(1)兩衛星再次相距最近的時間是多少？(2)兩衛星相距最遠的時間是多少？?? 、」 、??.((???(多選)例2.2020年6月23日，“北斗三號”最后一顆全球組網衛星在西昌衛星發射中心點火升空，中國終于有了自己的衛星導航系統，未來將向全世界開放，也會成為70多億人生活的一部分。北斗衛星導航系統有55顆衛星，若其中在同一平面不同軌道上同向運行的兩顆人造地球衛星甲和乙，它們運行的周期分別是2小時、16小時，且某時刻兩衛星相距最近。則下列說法中正確的是()A.兩顆衛星再次相距最近的時間是個小時7B.兩顆衛星相距最遠的時間是(16k+4)(k—0,1?2,...)小時C.乙衛星點火加速可以與甲衛星對接D.甲、乙兩顆衛星的軌道半徑之比為1：4三.舉一反三，鞏固練習.(多選)如圖是在同一平面不同軌道上運行的兩顆人造地球衛星.設它們運行的周期分別是Ti、T2,(Ti<T2),且某時刻兩衛星相距最近.( )A.兩衛星再次相距最近的時間是1="耳2T1B.兩衛星相距最遠的時間是tn/1%2T1)C.兩衛星再次相距最近的時間是1=“2T1)D.兩衛星相距最遠的時間是士=孥(其中k=0.1.2…)如圖所示，有A、B兩顆衛星繞同顆質量未知，半徑為R的行星做勻速圓周運動，旋轉方向相同，其中A為近地軌道衛星，周期為Ti，B為靜止軌道衛星，周期為T2,在某一時刻兩衛星相距最近，試用已知量求解下列問題：(引力常量G為已知)(1)經過多長時間，兩行星再次相距最近？(2)同步衛星離地面的高度h=?(3)該行星的平均密度p=?2. '"1一二A、B兩顆衛星在同一軌道平面內繞地球做勻速圓周運動。地球半徑為R,A衛星離地面的高度為R，周期為T,B衛星離地面高度為3R,則：(結果可用根式表示)(1)A、B兩衛星周期之比是多少？(2)若某時刻兩衛星正好通過地面同一點的正上方，則經過多長時間兩衛星再次相距最近？(3)若某時刻兩衛星正好通過地面同一點的正上方，則經過多長時間兩衛星相距最遠？3.如圖所示，A、B是地球的兩顆衛星，衛星A、B的圓形軌道位于赤道平面內，運行方向與地球自轉方向相同。衛星A離地面高度為7R,衛星B離地面高度為R,R為地球半徑，地球表面的重力加速度為g,O為地球中心。(I)求衛星A、B的運行周期之比。(2)若某時刻A、B兩衛星相距最近(O、B、A在同一直線上)，則至少經過多長時間，它們再一次相距最近？??TOC\o"1-5"\h\z■?? 、// '、\、、\ 」:、.、* ，/*'? “嫦娥一號”在西昌衛星發射中心發射升空，準確進入預定軌道。隨后，“嫦娥一號”經過變軌和制動成功進入環月軌道。如圖所示，陰影部分表示月球，設想衛星在圓形軌道I上做勻速圓周運動，在圓軌道I上飛行n圈所用時間為t,到達A點時經過短暫的點火變速，進入橢圓軌道II,在到達軌道I【近月B點時再次點火變速，進入近月圓形軌道III(軌道半徑近似為月球半徑)，而后衛星在軌道ni上繞月球做勻速圓周運動，在圓軌道ni上飛行n圈所用時間為:，不考慮其他星體對衛星的影響。(1)求月球的平均密度。(2)求衛星從軌道II上遠月點A運動至近月點B所用的時間。(3)如果在I、HI軌道上有兩顆衛星，它們繞月球飛行方向相同，某時刻兩衛星相距最近(兩衛星在月球球心的同側，且兩衛星與月球球心在同一直線上)，則至少經過多長時間，它們又會相距最近？

II一2014年3月8日馬航客機MH370失聯，多國衛星在搜尋中發揮了重要作用.如圖所示為某兩顆搜尋衛星的運行示意圖，A是地球的同步衛星.另一衛星B的圓形軌道位于赤道平面內，離地面高度為h,已知地球半徑為R,地球自轉周期為T.地球表面的重力加速度為q,O為地球中心.（1）求衛星B的運行角速度3;（2）若衛星B繞行方向與地球自轉方向相同，某時刻A、B兩衛星相距最近（O、B、A在同一直線上），則至少經過多長時間，它們再一次相距最近?線上），則至少經過多長時間，它們再一次相距最近?第27講衛星(天體)追及相遇模型I真題示例I真題示例(全國高考)太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象，天文學稱為“行星沖日據報道，2014年各行星沖日時間分別是：1月6日木星沖日；4月9日火星沖日：5月11日土星沖日：8月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示，則下列判斷正確的是地球火星木星土星天王星海王星軌道半徑(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都會出現沖日現象B.在2015年內一定會出現木星沖日C.天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為土星的一半D.地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短答案：BD解析：考察角追及和萬有引力定律。由引力提供向心力可知inra)2相鄰兩次沖日的時間間隔———其中。。表示的是地球的公轉角速度，a)x表示的是行星.的公轉角速度。將第一式中一做的結果代入到第二式中有設行星的半徑是地球半徑的k倍，則上式可化為設行星的半徑是地球半徑的k倍，則上式可化為27r上式中y=刀三，也就是地球繞太陽公轉的周期，即一年的時間。IGM小丁，e -vL53 、， 1.5x1.2 ,cl”對于火星k=1.5,t=一7 丫? Y=1-257a/TF-I1-5x1.2-1對于木星k=5.2,y=1.09y5.2>2對于木星k=5.2,y=1.09y2x2.3-1至此可知，后面的行星沖日時間間隔大約都是1年，但又大于1年，因為只有2-8時才恰恰為一年。知識回顧如果有兩顆衛星在同一軌道平面內兩個不同軌道上同向繞地球做勻速圓周運動，a衛星的角速度為3“6衛星的角速度為某時刻兩衛星正好同時通過地面同一點正上方，相距最近，如圖甲所示，則當它們轉過的角度之差△〃=n,即滿足3"Xt—3bxt=Ji時，兩衛星第一次相距最遠，如圖乙所示。兩衛星相距最遠的條件是w.,At-t=(2/7+1)n(/7=0,1,2,3-),相距最近的條件是t~3bA(/7=o,1,2,3…)。甲 乙二.例題精析例1.如圖是在同一平面不同軌道上同向運行的兩顆人造地球衛星。設它們運行的周期分別是Ti、T2(Ti<T2),且某時刻兩衛星相距最近。問：(1)兩衛星再次相距最近的時間是多少？(2)兩衛星相距最遠的時間是多少？【解答】解：(1)依題意，T|<T2,根據開普勒第三定律可知，==k,周期大

的軌道半徑大，故在外層軌道的衛星運行一周所需的時間長。27r設經過At兩衛星再次相距最近，則它們運行的角度之差△e=2m27r2鞏一ct—-2tt12解得t=(2)兩衛星相距最遠時，它們運行的角度之差△0=(2k+1)n(k=0,1,2,?,,)r27r 27r即一t-^t=(2k+l)n(k=0,1,2,…)At2解得t=第喏(k=0,1,2-)o2T1)答：(1)兩衛星再次相距最近的時間是型-0(2)兩衛星相距最遠的時間是"U送(k=0,1,2…)。2(Rf)(多選)例2.2020年6月23日，''北斗三號”最后一顆全球組網衛星在西昌衛星發射中心點火升空，中國終于有了自己的衛星導航系統，未來將向全世界開放，也會成為70多億人生活的一部分。北斗衛星導航系統有55顆衛星，若其中在同一平面不同軌道上同向運行的兩顆人造地球衛星甲和乙，它們運行的周期分別是2小時、16小時，且某時刻兩衛星相距最近。則下列說法中正確的是( )A.兩顆衛星再次相距最近的時間是半小時B.兩顆衛星相距最遠的時間是(16k+4)(k=0,1,2,…)小時C.乙衛星點火加速可以與甲衛星對接D.甲、乙兩顆衛星的軌道半徑之比為1：4【解答】解：A、設兩顆衛星運行的周期分別為「、27TAt27TAtT2,設經過At時間兩衛星再次相距最近，則它們運行的角度之差△0=2n,即——-——=2mTiT2解得△t=￥小時，故A正確；B、兩衛星相距最遠時，它們運行的角度之差△e=(2k+l)ir(k=0、1、2……)，即生絲一生竺=%T2(2k+l)n(k=0、1、2 ),解得41=丹把(k=0、1、2 )小時，故B錯誤；GMm v2C、乙衛星點火加速，v突然增大，—<m—乙衛星將做離心運動，不可能與甲衛星對接,丫乙 T故c錯誤;

D、根據開普勒第三定律可知，W，解得口=±故D正確。呼瑤r24故選：AD。三.舉一反三，鞏固練習.（多選）如圖是在同一平面不同軌道上運行的兩顆人造地球衛星.設它們運行的周期分別是Ti、T2.（Ti<T2）,且某時刻兩衛星相距最近.（ ）兩衛星再次相距最近的時間南=晚兩衛星再次相距最近的時間南=晚B.兩衛星相距最遠的時間是"城餐C.兩衛星再次相距最近的時間是"忌治D.兩衛星相距最遠的時間是t=警.林（其中k=012??）27r【解答】解：AC、兩衛星再次相距最近時，轉動的角度相差2ir,即:27r2n-yr-t—2n12解得：1=岸和。故c錯誤，A正確。BD、兩衛星相距最遠時，轉動的角度相差（2k+l）tt（其中k=0.1.2…），即:—t-^t=(2k+l)n,(k=0.L2…)解得：t=駕±口^-(k=0.12“)。故B錯誤，D正確。TxT2 2T2-Tx故選：ADo2.如圖所示，有A、B兩顆衛星繞同顆質量未知，半徑為R的行星做勻速圓周運動，旋轉方向相同，其中A為近地軌道衛星，周期為Ti，B為靜止軌道衛星，周期為T2,在某一時刻兩衛星相距最近，試用已知量求解下列問題：（引力常量G為已知）（1）經過多長時間，兩行星再次相距最近？（2）同步衛星離地面的高度h=?（3）該行星的平均密度p=?【解答】解：（1）衛星繞行星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力有:GMm 47r2rr2 T2

周期T=2nJ器,某時刻兩衛星相距最近，則可知經過時間t兩衛星再次相距最近時，A衛星比BE星多轉過2n弧度，,. 27r2n即有：（———）t=2nAt2得丁1丁2T2-T1,（2）衛星做勻速圓周運動萬有引力提供向心力有:GMm4712r——=m——r2T2A為近地軌道衛星，周期為Ti，23所以行星質量M=駕-GTi同步衛星周期為T2,所以同步衛星離地面的高度h=-R?同步衛星周期為T2,所以同步衛星離地面的高度h=-R?（3）根據密度的定義得:行星的平均密度p=y_行星的平均密度p=y~GTi°答：（1）經過尹-，兩行星再次相距最近。同步衛星離地面的高度h=T2f同步衛星離地面的高度h=(2)（3）該行星的平均密度p=簫。3.A、B兩顆衛星在同一軌道平面內繞地球做勻速圓周運動。地球半徑為R,A衛星離地面的高度3.為R,周期為T,B衛星離地面高度為3R,則：（結果可用根式表示）（1）A,B兩衛星周期之比是多少？（2）若某時刻兩衛星正好通過地面同一點的正上方，則經過多長時間兩衛星再次相距最近?（3）若某時刻兩衛星正好通過地面同一點的正上方，則經過多長時間兩衛星相距最遠？【解答】解：（1）地球半徑為R,A衛星離地面的高度等于R,B衛星離地面高度為3R,所以Ra=2R,Rb=4R由開普勒第三定律可知解得：Ta：Tb=1：2V2o(2)設經過t時間，兩衛星再次相距最近2n2n此時A比B多轉一圈，即(———)1=2tttaTb解得：t=牛1其中：Ta=T則t=肚箸T。(3)設經過t'時間，兩衛星相距最遠此時A比B多轉(n+0.5)圈，n=0、1,2 2n2n(———)t,=(n+0.5)2n,n=0>1、2 TaTb解得：t'=片生(2n+l)T,n=0、1、2 答：(1)A、B兩衛星周期之比是1：2V2o8+2V2(2)若某時刻兩衛星正好通過地面同一點的正上方，則經過一匚丁兩衛星再次相距最近。(3)74+V2若某時刻兩衛星正好通過地面同一點的正上方，則經過一2」(2n+l)T,n=0、1、2……，兩衛7星相距最遠。4.如圖所示，A、B是地球的兩顆衛星，衛星A、B的圓形軌道位于赤道平面內，運行方向與地球自轉方向相同。衛星A離地面高度為7R,衛星B離地面高度為R,R為地球半徑，地球表面的重力加速度為g,O為地球中心。(1)求衛星A、B的運行周期之比。(2)若某時刻A、B兩衛星相距最近(0、B、A在同一直線上)，則至少經過多長時間，它們再一次相距最近？JVJfJL r ￡?ILA【解答】解：由萬有引力提供I可心力：Gk=m=murr=m(―)2r解

O)A=gR

(7R+R)(2)由O)A=gR

(7R+R)(2)由3=gR

(R+R)3得它們再一次相距最近時，一定是B比A多轉了一圈，有:(3B-3a)t=2ir由以上各式可得：t由以上各式可得：t=327r叵

~~小丁答：(1)求衛星A、B的運行周期之比為8：1。(2)若某時刻A、B兩衛星相距最近(O、B、A在同一直線上)，則至少經過它們再一次相距最近。“嫦娥一號”在西昌衛星發射中心發射升空，準確進入預定軌道。隨后，“嫦娥一號”經過變軌和制動成功進入環月軌道。如圖所示，陰影部分表示月球，設想衛星在圓形軌道I上做勻速圓周運動，在圓軌道I上飛行n圈所用時間為t,到達A點時經過短暫的點火變速，進入橢圓軌道H,在到達軌道H近月B點時再次點火變速，進入近月圓形軌道HI(軌道半徑近似為月球半徑)，而后衛星在軌道HI上繞月球做勻速圓周運動，在圓軌道IIL上飛行n圈所用時間為，不考慮其他星體對衛星的影響。(1)求月球的平均密度。(2)求衛星從軌道II上遠月點A運動至近月點B所用的時間。(3)如果在I、III軌道上有兩顆衛星，它們繞月球飛行方向相同，某時刻兩衛星相距最近(兩衛星在月球球心的同側，且兩衛星與月球球心在同一直線上)，則至少經過多長時間，它們又會相距最近?

【解答】解：(I)設月球的質量為M,半徑為R,“嫦娥一號”的質量為m,衛星在圓軌道山上的運動周期為：73=普由萬有引力提供向心力有：G爺=m*聯立解得：p=當gt11927m2又根據：M=p聯立解得：p=當gt11927m2(2)設衛星在軌道I上的運動周期為Ti，在軌道1上，由萬有引力提供向心