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第PAGE1第1頁共3頁北京師范大學2012年招收攻讀碩士學位研究生入學考試試題部（院、系：物理系科目代碼： 959 科目名稱： 量子力學（所有答案必須寫在答題紙上，做在試題紙或草稿紙上的一律無效）0 1 0 i 1 0參考公式：泡利矩陣x1 0，y i

，z0 1 一．選擇題（25分。。一維粒子處于勢函數Vx中，已知Vxx是能量本征方程的一個解，則x必為偶函數(B)(x一定是能量本征方程的解(C)(x)必為實值函數(D)(x)的復共軛函數*(x)一定是能量本征方程的解以下哪個（些）數字可能是氫原子能級的簡并度(A)2 (B)4 (C)7 (D)9若算符滿足2?，則?的本征值只可能是0或1 (B)?必為厄米算符(C)?在任何態的平均值為非負實數(D)必為常數算符以下哪個（些）算符一定為厄米算符(A) (B) (C) (D) 厄米算符、滿足0。若是的本征態，本征值非零，則必為的本征態 (B)必為的本征態(C)必為的本征態(D)在中的平均值必為零。（）科目代碼：959科目代碼：959科目名稱：量子力學第第2頁共3頁二．（25分）已知H0

p2V(x)E，若系統變為HH2m

p（為常數，求該能級的變化。（提示：此題需嚴格求解，可在動量表象下計算）三．（25分）在某自旋態 中，測s

的概率是1，測s 的概率是3，求所z 2 2 x 2 4有可能的獨立解，結果用sz

表象與表示。四．（25分）x方向運動的一維電子，其運動存在自旋軌道耦合，哈密頓量可1寫成1H (p2m

)2x其中,為常數。令2m1，1。當a0時，寫出能量本征值和相應的本征態。當a0，0時，寫出能量本征值和相應的本征態。設電子處于動量為k的態，將哈密頓量中的 作為微擾，寫出能量本征值和本x征函數到一級近似。五．（25分）考慮一個類氫原子：無自旋質量為m的粒子在中心力場中運動，原子處于z方向均勻磁場中。哈密頓量可寫為H

p2e2

L，

為角動量z分量， 正比于原子磁矩。

2m r L z z L寫出原子角動量各分量的期望值的時間演化方程。假設原子在t0時刻處于2pLx

的本征態，求t時刻波函數。（）科目代碼：科目名稱：量子力學959科目代碼：科目名稱：量子力學959第3頁共第3頁共3頁接問，在tLz

的可能值和相應幾率是多少？(5)接(2)問，t

L2 L

的可能值和幾率是多少？注：本題可能用到的公式如下球諧函數Y 310

cos，Y 11

3sinei；800 1 002 2 l1LLx z

表象的表示矩陣為： 1 2 010

1。200六．（25分）兩個電子被緊緊地束縛在晶體的相鄰位置上，可分辨，也不考慮它們的空間1

2

。兩個電子之間的相互作用可以用如下的哈密頓量表示：HJ(ss

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