2022屆廣東省廣州市天河區華南師范大學附屬中學高三三模數學試題一、單選題1.復數Z=二，則z在復平面內對應的點是()1-1A.(0,-1) B.(0,1) C.(-1,1) D.(-1,-0【答案】B【分析】先計算求出z,即可求出答案.【詳解】因為z=n=/,°.：?[、=[=i,所以z在復平面內對應的點是(0,1).1—1(1— 2故選：B..已知集合"={x|y=ln(x-2)},N={y[y=e*},則Mp|N=( )A.(O,-H?) B.(2,+oo) C.(0,2) D.[2,-h?)【答案】B【分析】首先根據指數函數、對數函數的性質求出集合N、M,再根據交集的定義計算可得；[詳解]解：因為M={x|y=ln(x_2)}={x|x>2},N={小=e、}={y|y>0},所以McN={x|x>2}；故選：B.函數〃x)=sin(2x+9+1)為偶函數的一個充分條件是()TOC\o"1-5"\h\z71 c 兀 一 兀 e 兀A.(p=- B. (p=— C. (p=- D. (p=~6 6 3 3【答案】c【分析】先求得函數,f(x)為偶函數的充要條件，再去求函數/(X)為偶函數的充分條件即可解決.【詳解】函數，(x)=sin(2x+/+1)為偶函數,TT IT JT 7T則有夕+2=ht+7，解之得°=E+：7，keZ,令&=0,則有夕=；6 2 3 3則函數"X)為偶函數的一個充分條件為故選：C.已知一個圓柱的高是底面半徑的2倍，且其上、下底面的圓周均在球面上，若球的體積為一^―,則圓柱的體積為（）A.167r B.8% C.407t D.2&%【答案】C【分析】設圓柱的底面圓半徑為,，高為2r,球。的半徑為R,由題可得R=2,進而可得r=夜，然后利用圓柱的體積公式即得.【詳解】設圓柱的底面圓半徑為『，高為2r,球。的半徑為R,4 32萬由題可知§萬穴=子，解得R=2,則/+，=心=4，可得r=0，所以丫=兀3-（2r）=4>/2^.故選：C..“幻=/-幽，則函數y=/（x）的大致圖象為（）

【分析】根據/（X）的奇偶性可判斷選項B、C錯誤，又/（一目＜0可判斷選項D錯誤,從而可得答案.【詳解】解：由題意，函數/（X）的定義域為（-8,0）U（0,E）,e山、 7InIxlby在/、2In|-x| ,Inlxl因為fW=x2--U,所以f（-x）=（-x）-—」=x2+'*±/（x）,X -x X所以f（x）為非奇非偶函數，故選項B、C錯誤；. lne-'1n當》=--時，eJe2+1e?,故選項D錯誤，選項A正確；ee故選：A..已知點A、8在單位圓上，ZAOB=~,若OC=Q4+xO8（xeR）,則OC的取值范圍是（）A.[0,+＜x＞） B.-,+°°lC. D.【答案】C【分析】利用平面向量數量積的運算性質以及二次函數的基本性質可求得OC的取值范圍.【詳解】|oc|：=(OA+xOB|oc|：=(OA+xOB)2=OA2+x2OB2+2x|oa|-|ob|cos^=+y/^,X+1=V2Xd 2Yii+—>—22因此，回2孝.故選：C..已知O為坐標原點，F是橢圓C：二+與=1（。＞人＞0）的左焦點，A,8分別為C的CTb一左，右頂點.P為C上一點，且尸尸J_x軸.過點A的直線/與線段P尸交于點何，與y軸交于點￡若直線8M經過OE的中點，則C的離心率為A.- B.- C.- D.-3 2 3 4【答案】Ah2【詳解】試題分析：如圖取尸與M重合，則由A（-a,0）,例（-C,—）=直線aAM:y= (x+a)nE(0,同理由TOC\o"1-5"\h\z一c+a a—c>2 ?2 12 ?2 ]B(a,O),A/(—c,—)=>G(0, )=> = =a=3cne=—，故選A.a a+ca-ca+c 3【解析】1、橢圓及其性質；2、直線與橢圓.【方法點晴】本題考查橢圓及其性質、直線與橢圓，涉及特殊與一般思想、數形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.如圖取P與M重合，則由4一w0),時(7：二)=直線4〃.、,_a,— 從、a /\1V1.y— (人~rCl)—zZLyV, )-C+Cl Cl—Ch2同理由B(?,O),A/(-c,—)=G(0,aa+ca-ca+c 3.已知數列｛《,｝滿足a“+2+(T)"a"=3,4=1，％=2,數列｛q,｝的前〃項和為，則Sjo=()A.351 B.353 C.531 D.533【答案】B【分析】根據題意討論〃的奇偶，當〃為奇數時，可得+2-。”=3,按等差數列理解處理，當〃為偶數時，可得4*2+4=3,按并項求和理解出來，則現按奇偶分組求和分別理解處理.【詳解】依題意，an+2+(-l)n?n=3,顯然，當〃為奇數時有4+2-4=3,即有%-q=3,a5-a,=3, a2n+l-a2n_,=3,令故加*=3,所以數列出｝是首項為1,公差為3的等差數列,故包=3〃-2；當〃為偶數時有見+2+。〃=3,HP^4+a2=3,。6+〃4=3,???，〃2n+2+〃2n=3，于是'S3G=(q+4+…+%)+(%+4+…+/)=(4+&+???+45)+[%+(/+46)+???+(6/28+/)]=^^xl5+2+7x3=330+23=353,2故選：B.二、多選題.如果4<分<0,c<d<0,那么下面一定成立的是( ), dcA.a+d<b+cB.ac>bd C.ac2>be2 D.—<—aa【答案】BD【分析】用不等式的性質推導和取值驗證相結合可解.【詳解】^La=c=-2,b=d=-\,則a+d=b+c=-3,ac2=-8,be2=-4,故AC不正確；因為一一b>O,-c>-d>。，所以ac>bd,故B正確；因為c<d,』<0,所以&<￡,故D正確.a aa故選：BD.已知(a+2b)"的展開式中第5項的二項式系數最大，則〃的值可以為( )7 B.8 C.9 D.10【答案】ABC【分析】按照哪幾項的二項式系數最大分三種情況討論，結合二項式系數的性質可得答案.【詳解】當(。+26)”的展開式中第4項和第5項的二項式系數相等且最大時，〃=7；當當(〃+處)"的展開式中第5項和第6項的二項式系數相等且最大時，〃=9；當(〃+%)”的展開式中只有第5項的二項式系數最大時，〃=8.故選：ABC..圓M：x2+y2+2x-4y+3=0關于直線2or+外+6=0對稱，記點P(ab),下列結

論正確的是（）A.點P的軌跡方程為x-y-3=0 B.以尸例為直徑的圓過定點。（2,-1）C.|尸網的最小值為6 D.若直線以與圓M切于點A,則|網24【答案】ABD【分析】由題意可知2or+by+6=0過圓心，代入即可得。-6-3=0,作出圖象，利用直線與圓的關系依次判斷各選項即可求得結果.【詳解】圓M：J+y2+2x_4y+3=0配方得：(x++('-2)?=2,???圓M關于直線2ar+by+6=0對稱,二直線2ar+外+6=0過圓心M（-1,2）.—2d+2/?+6=0,即3=0,點戶的軌跡方程為x-y-3=0,A正確.由右。=與\=一1，則%?.％=一1，則以尸”為直徑的圓過定點Q（2,T），B正確.-1-2儼M的最小值即為M（-l,2）到直線x-y-3=0的距離，由于d=則I尸吸=四=3&,C錯誤.由于1PAi[1=^|PA/|2-|AM|2=yj\PM^-2,要使1PAi取最小，即由于1PAi1PMmin=儼。=3柄,|尸*』尸4_2=>/18-2=4,則D正確.故選：ABD.已知圓錐的頂點為P,母線長為2,底面圓直徑為26，A,B,C為底面圓周上的三個不同的動點，M為母線PC上一點，則下列說法正確的是（ ）A.當A,8為底面圓直徑的兩個端點時，ZAPB=120°AflAB面積的最大值為6C.當△以B面積最大值時，三棱錐C-布B的體積最大值為近史3D.當AB為直徑且C為弧AB的中點時，M4+M3的最小值為后【答案】ACD【分析】對于A,利用已知條件和圓錐的性質判斷即可，對于B,由三角形的面積公式結合正弦函數的性質判斷，對于C,當AfiAB面積最大值時，AB=2應，從而可求出點C到AB的距離的最大值，進而可求出三棱錐C-FB的體積最大值，對于D,由題意可得△外。和△尸BC全等，在△陽C中求出sinNAPC,從而可求出PC邊上的高，則可求出+的最小值【詳解】對于A,記圓錐底面圓心為O,sinZAPO=—=—,所以NAPO=60。，所AP2以NAPB=120。，故A正確；對于B,設44尸8=。（0。<。<120。），則截面三角形的面積S」PAPBsine=2sin6><2,故B不正確；2對于C,由選項B中推理可知，此時AB=2應，所以點C到AB的距離的最大值為6+'（可_（可=6+1,從而可知三棱錐C-兩8的體積最大值為；x（；x（6+l）x2&）xl=6產,故C選項正確；TOC\o"1-5"\h\z對于D,由題意可得△%C和△PBC全等，在△朋C中，PA=PC=2,AC=y[6,所4+4—61 、斤以cos/APC=c：：=；，進而sinZAPC=也，2x2x24 4記尸C邊上的高為〃（垂足為Q）,則〃=P4sinZAPC=2x4i5=巫，所以4 2MA+MB22h=而,當M與。重合時取等號，故D選項正確；故選：ACD.三、填空題.當x>“時，曰>0成立，則實數。的取值范圍是.X【答案】口,一）【分析】由二>0可得x>l或x<0,當X>a時，三二1>0成立，即可求出。的取值X X范圍.【詳解】±^>0=>x(x-l)>0=x>l或x<0,則當x>a時，--5■>()成立，所以aNl.X X故答案為：［L+?)..為了做好疫情防控期間的校園消毒工作，某學校對教室進行消毒，室內每立方米空氣中的含藥量y(單位：毫克)隨時間x(單位：小時)的變化情況如圖所示，在藥物釋放的過程中，y與釋放的過程中，y與x成正比;藥物釋放完畢后，y與x的函數關系式為y=為常數)，根據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低叫毫克以下時，學生方可迸教室學習，那么從藥物釋放開始，至少需要經過小時后，學生才能回到教室.3【答案】0.6j【分析】根據函數圖象經過點(021),求出。的值，然后利用指數函數的單調性解不等I11【詳解】由題意知，點(021)I11【詳解】由題意知，點(021)在函數y32的圖象上,所以1=1產

32)解得a=0.2,x—0.2所以y=32所以y=32x-0.2 1I小即2~5x+i<2~2得-5x+l<-2,所以x>0.6.所以從藥物釋放開始，到學生回到教室至少需要經過的0.6小時.故答案為：0.6..已知隨機變量 且P（歹41）=P（jNa-3）,則1+-^-（0<x<a）的最xa-x小值為.【答案】4【分析】由正態曲線的對稱性得出。=4,再由基本不等式得出最小值.【詳解】由隨機變量€~N（l,b2）,則正態分布的曲線的對稱軸為。=1,又因為P（J41）=尸（jNa-3）,所以1+（。-3）=2,所以”=4當0vxv4時，后1 9 （1 9V+（4-x）（ 4-x9x、110+2^.有一+ =一+ —— -=10+ + x-> =4,x4-x\x4-xJ4Vx4-xJ4 44—rQr當且僅當上三==匚，即x=l時等號成立，故最小值為4.故答案為：4.設函數= -2”（〃>0）的圖像與g（x）=/lnx+人的圖像有公共點，且在公共點處切線方程相同，則實數b的最大值為.【答案】止【分析】設公共點坐標為（毛,%）,求出兩個函數的導數，利用r（%）=g'（不）,推出b=-x^-2axii-a2lnx[],然后構造函數，利用導函數單調性求解函數的最值即可.【詳解】解：設公共點坐標為（/，%），則/?）=3工-%/（幻=》&>0）,2所以有八%）=g'（x（））,BP3x0-2a=—,解出/=々（/=-?舍去），3_ _又％=f（%）=g（%）,所以有-刎,=。-儂>+b,3故〃=一4-a"/叫），所以有〃=-a2Ina,對h求導有=-2^（1+Ina）,故6關于。的函數在（0」）為增函數，在（L故）為減函數，e e所以當a=g時b有最大值表.故答案為：■四、解答題

17.“雙減”政策實施后，為了解某地中小學生周末體育鍛煉的時間，某研究人員隨機調查了600名學生，得到的數據統計如下表所示：周末體育鍛煉時間r（min）[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)頻率0.10.20.30.150.150.1（1）估計這600名學生周末體育鍛煉時間的平均數7：（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）（2）在這600人中，用分層抽樣的方法，從周末體育鍛煉時間在［40,60）內的學生中抽取15人，再從這15人中隨機抽取3人，記這3人中周末體育鍛煉時間在［50,60）內的人數為X,求X的分布列以及數學期望E（X）.【答案】（1）58.5；（2）分布列答案見解析，數學期望：【分析】（1）根據平均數的定義，7等于頻率乘以每一組數據的中點值之和：（2）根據題意，X的可能取值是0,1,2,3,再根據古典概型計算方法分別計算概率即可.【詳解】（1）估計這600名學生周末體育鍛煉時間的平均數7=35x0.1+45x0.2+55x0.3+65x0.15+75x0.15+85x0.1=58.5.（2）依題意，周末體育鍛煉時間在［40,50）內的學生抽6人，在［50,60）內的學生抽9人，則上=。）小臉P（x=D=警嗡尸-2）=警嘿,山=3）吟吟,則E（則E（X）=0x±+1x2Z+2x21691 91 455故X的分布列為:X0123P4912791216455126518.已知等差數列｛%｝中，%=3,4=6,且竄著.(1)求數列｛或｝的通項公式及前2〃項和；(2)若c.=H,i也“，記數列｛q,｝的前〃項和為S.，求S”.【答案】⑴"I"；"普，數列間的前2〃項和為〃(〃+1)+#-1)2，〃力儂雙 388-9+【分析】(1)結合為=3,4=6求得等差數列｛4｝的通項公式，即可得｛〃｝的通項公式，利用分組求和的方法，根據等差數列和等比數列的前〃項和公式求解即可；(2)由(1)可知c.=&iO“=2〃x22"=2〃-4",利用錯位相減法求解即可.【詳解】(1)設等差數列｛《,｝的公差為d，則1=之二?=1,6—3r.., / \, , . +為奇數所以—(〃-3)小，從喃=|2”,〃為偶數bl+b2+b3+--+b2n_t+b2n=(2+4+---+2n)+(22+2'+---+22n)_〃x(2+2〃)4x0-4")F -1-4=n(n+l)+-(4"-l).(2):c?=b2n_,-b2n=2nx22"=2n-4n,/.S?=2x4'+4x42+6x43+---+2n-4n,4S?=2x42+4x43+6x44+--+2(n-l)-4"+2n-4"+l,相減得，-3S?=2x4l+2x42+2x43+---+2x4n-2n-4n+l,19.在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2s=-6麗.及，作AB±AD,使得四邊形4BCC滿足NACO=(,AD=6

⑴求NB；（2）設NBAC=。，BC=/（e）,求函數的值域.24【答案】（1）8=與⑵（。，2）【分析】（1）由三角形面積公式和向量數量積公式，代入2s=-行而?及計算可得2x—acsinB=-\[?>accosB,化簡即可得解；2jr 7T（2）首先找到各個角之間的關系，ZCAD=--0,ZCDA^0+-,再由正弦定理可2 6得AC=3啜黑°=2sin伍+外再在三角形ABC中，由正弦定理得=等,sinZACDV6J sinBsin。所以8c=黑，=爰5吊（。+看卜血利用三角函數求最值即可得解.【詳解】⑴由2s=-J5麗?冊，可得Zx^acsinBu-GaccosB,即sinB=-6cosB,可得tanB=-6,因為8€（0,左），所以8=因為8€（0,左），所以8=半，AC在三角形A。中,由正弦定理得尚而AD

sinZACD可得AC=ADsinZADCsinZACD在三角形神中，由正弦定理得焉二簽AC-sin042sin在三角形神中，由正弦定理得焉二簽AC-sin042sin(6+：卜in6=-^(sincos20)+1=^sin[^20-y^+l,?sin。因為。＜04，可得一代＜2。-工（工，TOC\o"1-5"\h\z3 33當2。一工=工時，即。=工，33 3可得氈sinC+l=2,3 3TT7T當2。一生=-二時，即。=0,可得苧sinf1=0,所以/（。）的值域為（0,2）.20.如圖所示，已知矩形4BC。和矩形AOEF所在的平面互相垂直，AD=2AF=2AB=2,M,N分別是對角線8。，AE上異于端點的動點，且BM=4V.（1）求證：直線MV〃平面CCE；（2）當MN的長最小時，求二面角A-MN-D的正弦值.【答案】（1）證明見解析⑵華【分析】（1）根據邊對應成比例，可證明平行四邊形，進而可得線線平行，即可求解.（2）根據空間中兩點距離公式，可得線段MN的最小值，進而根據空間向量，求平面法向量,進一步可求解.【詳解】（1）過N作與ED交于N'點,過”作W〃A。與CO交于AT點，連接MW.由已知條件AD=2AF=2AB=2.可知矩形ABCD與矩形ADEF全等.VBM=AN,AE=BD,NN'//AD//MM'.NN'_AE-AN_BD-BMMM'_MM',,AO—AE一BDBCAD：.NN'=MM'又MV，〃AD〃MW',則四邊形MNN，AT為平行四邊形，所以MN〃N'M;MNN平面CDE,MNu平面CDE,二MN〃平面CDE.(2)由平面ABC￡)_L平面ADEF,平面ABCDCl平面ADEF=AD,又AFu平面AOE尸，AFLAD,."尸"L平面ABC3.以4為原點，分別以48,AD,AF為x,y,z軸建立空間直角坐標系,過M點作MG_LAO,垂足為G,連接NG,易知NG_LAO,設AG=a(O<a<2)可知當。=1時，MN長最小值為變2此時歷［；［,())，N?,又4(0,0,0),3(020),AM設平面AMN的法向量為川二(x，y,zj,比.AM比.AM=0in-MN=0可得,1-］芭 =0u令玉=2,可得加=(2,-1,2)設平面MNO的法向量為〃=(%,%/2)，n-DM=0n-MNn-DM=0n-MN=02可得1令馬二2,可得3=(2,1,2)tnn?.cos〈肛ri)|=?.，?=tnnHtI：?sin(m：?sin(myn)=4V2則二面角A-MN-D的正弦值為逑.21.已知在A4BC中，8（-2,0）,C（2,0）,動點A滿足=26，ZABC>90°,AC的垂直平分線交直線AB于點P.（1）求點尸的軌跡E的方程；（2）直線x=m（機>6）交x軸于。，與曲線E在第一象限的交點為Q,過點。的直線/3與曲線E交于M,N兩點，與直線x=一交于點K,記QM,QN,QK的斜率分別為尤，k?勺，①求證：勺盧是定值.②若直線/的斜率為1,問是否存在力的值，使匕+&+勺=6?若存在，求出所有滿足條件的機的值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）.-尸=1卜>6）⑵①證明見解析；②存在；1n二巫2【分析】（1）利用幾何知識可得|尸網-歸4=26<忸。，結合雙曲線定義理解處理；（2）根據題意設直線及點的坐標，①分別求占，k2,k},利用韋達定理證明；②根據①結合題意求。的坐標，代入雙曲線方程運算求解.【詳解】（1）：NBAC>90。，：.AC的垂直平分線交BA的延長線于點P.連接PC,則|PC|=|B4|,：.\P^-\PC\=\PB\-\PA\^\A^=2y[3<\BC\,由雙曲線的定義知，點P的軌跡E是以B（-2,0）,C（2,0）為焦點，實軸長為2石的雙曲線的右支（右頂點除外），c=2,a=>/3,則-a2=1?.?.E的方程是^--/=l（x>>/3）.（2）①證明：由已知得。（八O）, 滿足胃x=ty+m聯立,X22J' y=13”2mtk %一%1Xj-m ty{同理—;嚷,/+網=2,對x="+機，令》=1mtmJh+k2=2%,1一2是定值②假設存在m的值由①知，K+匕=2則用+&+%=3kA~:.《3=2,直線QK的方程為J令工二3，m得％=2（，—m）+直線/的斜率為1,3令％=一,得人=-m：?2（3一m]+）,0=-._ 3??%=m ,m代入三一y：=i，彳縱J—3）y2+2/n<y+"/-3=0,m2-3心=產_3，_=1_A，小JL+_l]=2_2k.x+g="?4^=2（1+-^]，iy2）tty%ttm2-3 m2-3）3俎 3-疝m tmITT-3k->，1+tm_my0.1L 3 -33+〃m m使勺+&+&=6勺，：6,^-y0=2（x-m）,%;直線/的方程