函數與方程函數與方程函數與方程函數與方程知識梳理1．一般地，如果函數y＝f(x)在實數a處的________，即______．則a叫做這個函數的零點.2．方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有______?函數y＝f(x)有______．3．(1)如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線；(2)并且滿足__________．那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即至少存在一個c∈(a，b)，使________．滿足上面條件(1)、(2)后，在(a，b)內存在的c不一定只有一個．

知識梳理交點零點f(a)·f(b)＜0

f(c)＝0

函數值等于零知識梳理1．一般地，如果函數y＝f(x)在實數a處的____知識梳理

知識梳理一分為二零點知識梳理知識梳理一分為二零點

知識梳理有兩個不相等的實根有兩個相等的實根無實根有兩個零點有一個二重零點無零點有兩個交點有一個交點無交點知識梳理有兩個不相等的實根有兩個相等的實根無實根有兩要點探究?探究點1方程的根與函數的零點

要點探究[思路]分別確定分段函數在各段解析式中的零點個數．[答案]B

要點探究?探究點1方程的根與函數的零點要點探究[思路]

要點探究[解析]當x≤0時，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；當x＞0時，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函數有2個零點，選B.[點評]函數f(x)的零點是一個實數(不是點)，就是方程f(x)＝0的實數根，也是函數y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標，因此判斷零點的個數就是判斷方程f(x)＝0的實根個數，有時也可以根據函數圖象的交點來判斷零點的個數，如：要點探究[解析]當x≤0時，令x2＋2x－3＝0，解得x

要點探究變式題求函數y＝lnx＋2x－6的零點個數．

[解答]在同一坐標系畫出y＝lnx與y＝6－2x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個交點，故函數y＝lnx＋2x－6只有一個零點．

要點探究變式題求函數y＝lnx＋2x－?探究點2函數零點位置的判斷

要點探究[思路]對于區間上連續不斷的函數，在區間[a，b]內尋根，往往需要利用零點的存在性定理判斷，即判斷f(a)f(b)<0是否成立．

例2判斷下列函數在給定區間上是否存在零點．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．?探究點2函數零點位置的判斷要點探究[思

要點探究[解答](1)方法一：因為f(1)＝－20＜0，f(8)＝22＞0，所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零點．方法二：令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函數f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零點．(2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，∴f(x)＝x3－x－1在x∈[－1,2]上存在零點．(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1＞0，f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3＜0，∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在x∈[1,3]上存在零點．[點評]零點的存在性定理是判斷連續不斷的函數在區間[a，b]上是否存在零點的定理，該定理只能判斷存在零點，不能判斷區間[a，b]不存在零點，即如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上有f(a)f(b)>0，函數在區間[a，b]上也可能存在零點，如：要點探究[解答](1)方法一：因為f(1)＝－20＜0

要點探究變式題[2009·天津卷]設函數f(x)＝x－lnx(x>0)，則y＝f(x)(

)A．在區間，(1，e)內均有零點

B．在區間，(1，e)內均無零點

C．在區間內有零點，在區間(1，e)內無零點

D．在區間內無零點，在區間(1，e)內有零點要點探究變式題[200

要點探究

[答案]D

[解答]由題意得f′(x)＝＝，令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得0<x<3；f′(x)＝0，得x＝3，故知函數f(x)在區間(0,3)上為減函數，在區間(3，＋∞)上為增函數，在點x＝3處有極小值1－ln3<0.又f(1)＝，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0，故選擇D.要點探究[答案]D[解答]由題意得f′?探究點3二次函數零點的分布問題

例3已知關于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有兩根，其中一根在區間(－1,0)內，另一根在區間(1,2)內，求m的范圍；(2)若方程兩根均在區間(0,1)內，求m的范圍．

要點探究[思路]設出二次方程對應的函數，可畫出相應的示意圖，然后用函數性質加以限制．

?探究點3二次函數零點的分布問題例3

要點探究要點探究

要點探究[點評]本題綜合考查了二次函數、二次方程以及二次不等式等的基本關系，有效地訓練對“三個二次”的整體理解與掌握，解題過程中的數形結合是數學的重要思想方法．

要點探究[點評]本題綜合考查了二次函數、二次方程以及二次不

要點探究變式題

求a為何值時，方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有實根．

要點探究變式題求a為何值時，方程9－|x?探究點4利用函數零點求參數

例4(1)若函數f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個零點，求實數a的值；

要點探究[思路]函數的類型為初等函數，因此可以利用方程的思想求解?探究點4利用函數零點求參數例4(1)

要點探究[思路]通過圖象變換法作出函數的圖象，利用數形結合思想求解．

(2)若函數f(x)＝|4x－x2|＋a有4個零點，求實數a的取值范圍．[解答]若f(x)＝|4x－x2|＋a有4個零點，即|4x－x2|＋a＝0有四個根，即|4x－x2|＝－a有四個根．令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.作出g(x)、h(x)的圖象，由圖象可知如果要使|4x－x2|＝－a有四個根，那么g(x)與h(x)的圖象應有4個交點．故需滿足0＜－a＜4，即－4＜a＜0.∴a的取值范圍是(－4,0)．要點探究[思路]通過圖象變換法作出函數的圖象

要點探究[點評]函數形結合法是解決利用函數零點求參數問題的基本思想，其要點是通過構造函數，把函數的零點問題轉化為兩個函數圖象的交點問題．要點探究[點評]函數形結合法是解決利用函數零點求參數

要點探究變式題

已知函數f(x)＝x|x－4|－5，當方程f(x)＝a有三個根時，求實數a的取值范圍．要點探究變式題已知函數f(x)＝x|x規律總結

規律總結1．方程的根(從數的角度看)、函數圖象與x軸的交點的橫坐標(從形的角度看)、函數的零點是同一個問題的三種不同的表現形式．

2．函數零點的求法：

(1)代數法：利用公式法、因式分解法、直接法求方程f(x)＝0的根．

(2)幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數y＝f(x)的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點．

(3)二分法：主要用于求函數零點的近似值．

規律總結規律總結1．方程的根(從數的角度看)、函數

規律總結3．要注意對于在區間[a，b]上的連續函數f(x)，若x0是f(x)的零點，卻不一定有f(a)·f(b)<0，即f(a)·f(b)<0僅是f(x)在[a，b]上存在零點的充分條件，而不是必要條件．

4．有關函數零點的重要結論

(1)若連續不斷的函數f(x)是定義域上的單調函數，則f(x)至多一個零點．

(2)連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號．

(3)連續不斷的函數圖象通過零點時，函數值符號可能不變，也可能改變．

5．用二分法求零點的近似解時，所要求的精確度ε不同，得到的結果也不同．精確度為ε是指在計算過程中得到某個區間(a，b)后，若其長度小于ε，即認為已達到所要求的精確度，可停止計算．精確度為0.001與精確到0.001是不同的．

規律總結3．要注意對于在區間[a，b]上的連續函數

函數與方程函數與方程函數與方程函數與方程知識梳理1．一般地，如果函數y＝f(x)在實數a處的________，即______．則a叫做這個函數的零點.2．方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有______?函數y＝f(x)有______．3．(1)如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線；(2)并且滿足__________．那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即至少存在一個c∈(a，b)，使________．滿足上面條件(1)、(2)后，在(a，b)內存在的c不一定只有一個．

知識梳理交點零點f(a)·f(b)＜0

f(c)＝0

函數值等于零知識梳理1．一般地，如果函數y＝f(x)在實數a處的____知識梳理

知識梳理一分為二零點知識梳理知識梳理一分為二零點

知識梳理有兩個不相等的實根有兩個相等的實根無實根有兩個零點有一個二重零點無零點有兩個交點有一個交點無交點知識梳理有兩個不相等的實根有兩個相等的實根無實根有兩要點探究?探究點1方程的根與函數的零點

要點探究[思路]分別確定分段函數在各段解析式中的零點個數．[答案]B

要點探究?探究點1方程的根與函數的零點要點探究[思路]

要點探究[解析]當x≤0時，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；當x＞0時，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函數有2個零點，選B.[點評]函數f(x)的零點是一個實數(不是點)，就是方程f(x)＝0的實數根，也是函數y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標，因此判斷零點的個數就是判斷方程f(x)＝0的實根個數，有時也可以根據函數圖象的交點來判斷零點的個數，如：要點探究[解析]當x≤0時，令x2＋2x－3＝0，解得x

要點探究變式題求函數y＝lnx＋2x－6的零點個數．

[解答]在同一坐標系畫出y＝lnx與y＝6－2x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個交點，故函數y＝lnx＋2x－6只有一個零點．

要點探究變式題求函數y＝lnx＋2x－?探究點2函數零點位置的判斷

要點探究[思路]對于區間上連續不斷的函數，在區間[a，b]內尋根，往往需要利用零點的存在性定理判斷，即判斷f(a)f(b)<0是否成立．

例2判斷下列函數在給定區間上是否存在零點．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．?探究點2函數零點位置的判斷要點探究[思

要點探究[解答](1)方法一：因為f(1)＝－20＜0，f(8)＝22＞0，所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零點．方法二：令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函數f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零點．(2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，∴f(x)＝x3－x－1在x∈[－1,2]上存在零點．(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1＞0，f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3＜0，∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在x∈[1,3]上存在零點．[點評]零點的存在性定理是判斷連續不斷的函數在區間[a，b]上是否存在零點的定理，該定理只能判斷存在零點，不能判斷區間[a，b]不存在零點，即如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上有f(a)f(b)>0，函數在區間[a，b]上也可能存在零點，如：要點探究[解答](1)方法一：因為f(1)＝－20＜0

要點探究變式題[2009·天津卷]設函數f(x)＝x－lnx(x>0)，則y＝f(x)(

)A．在區間，(1，e)內均有零點

B．在區間，(1，e)內均無零點

C．在區間內有零點，在區間(1，e)內無零點

D．在區間內無零點，在區間(1，e)內有零點要點探究變式題[200

要點探究

[答案]D

[解答]由題意得f′(x)＝＝，令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得0<x<3；f′(x)＝0，得x＝3，故知函數f(x)在區間(0,3)上為減函數，在區間(3，＋∞)上為增函數，在點x＝3處有極小值1－ln3<0.又f(1)＝，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0，故選擇D.要點探究[答案]D[解答]由題意得f′?探究點3二次函數零點的分布問題

例3已知關于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有兩根，其中一根在區間(－1,0)內，另一根在區間(1,2)內，求m的范圍；(2)若方程兩根均在區間(0,1)內，求m的范圍．

要點探究[思路]設出二次方程對應的函數，可畫出相應的示意圖，然后用函數性質加以限制．

?探究點3二次函數零點的分布問題例3

要點探究要點探究

要點探究[點評]本題綜合考查了二次函數、二次方程以及二次不等式等的基本關系，有效地訓練對“三個二次”的整體理解與掌握，解題過程中的數形結合是數學的重要思想方法．

要點探究[點評]本題綜合考查了二次函數、二次方程以及二次不

要點探究變式題

求a為何值時，方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有實根．

要點探究變式題求a為何值時，方程9－|x?探究點4利用函數零點求參數

例4(1)若函數f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個零點，求實數a的值；

要點探究[思路]函數的類型為初等函數，因此可以利用方程的思想求解?探究點4利用函數零點求參數例4(1)

要點探究[思路]通過圖象變換法作出函數的圖象，利用數形結合思想求解．

(2)若函數f(x)＝|4x－x2|＋a有4個零點，求實數a的取值范圍．[解答]若f(x)＝|4x－x2|＋a有4個零點，即|4x－x2|＋a＝0有四個根，即|4x－x2|＝－a有四個根．令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.作出g(x)、h(x)的圖象，由圖象可知如果要使|4x－x2|＝－a有四個根，那么g(x)與h(x)的圖象應有4個交點．故需滿足0＜－a＜4，即－4＜a＜0.∴a的取值范圍是(－4,0)．要點探究[思路]通過圖象變換法作出函數的圖象

要點探究[點評]函數形結合法是解決利