拓撲優化算法及其實現馬燦2015年11月30日拓撲優化算法及其實現馬燦1拓撲優化簡介拓撲優化設計流程算例內容拓撲優化簡介內容2拓撲優化：拓撲優化是結構優化的一種。結構優化可分為尺寸優化、形狀優化、形貌優化和拓撲優化。尺寸優化以參數為優化對象，比如板厚、梁的截面寬、長和厚等；形狀優化以結構件外形或者孔洞形狀為優化對象，比如凸臺過渡倒角的形狀等；形貌優化是在已有薄板上尋找新的凸臺分布，提高局部剛度；拓撲優化以材料分布為優化對象，通過拓撲優化，可以在均勻分布材料的設計空間中找到最佳的分布方案。拓撲優化相對于尺寸優化和形狀優化，具有更多的設計自由度，能夠獲得更大的設計空間，是結構優化最具發展前景的一個方面。優化設計過程：將區域離散成足夠多的子區域，對這些子區域進行結構分析，再按某種優化策略和準則從這些子區域中刪除某些單元，用保留下來的單元描述結構的最優拓撲。拓撲優化拓撲優化：拓撲優化是結構優化的一種。結構優化可分為尺寸優化、3變密度法LevelSet法(水平集法)ICM(獨立映射法)ESO(進化法)……拓撲優化建模方法SIMP（SolidIsotropicMicrostructureswithPenalization）(固體各向同性懲罰函數法）RAMP（RationalApproximationofMaterialProperties）（材料屬性的理性近似模型）變密度法拓撲優化建模方法SIMP（SolidIso4OC法(優化準則法)MMA法(移動漸進線法)SLP(序列線性規劃法）SQP(序列二次規劃法)…………優化求解方法OC法(優化準則法)優化求解方法5拓撲優化簡介拓撲優化設計流程算例內容拓撲優化簡介內容6拓撲優化實現流程基于99行拓撲優化程序代碼top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin)312SIMP法+OC法拓撲優化實現流程基于99行拓撲優化程序代碼312SIMP法+74節點矩形單元e1234有限元分析目的：求整體位移矩陣B、D、t分別代表什么？？？4節點矩形單元e1234有限元分析目的：求整體位移矩陣8整體剛度矩陣單元剛度矩陣整體剛度矩陣整體剛度矩陣單元剛度矩陣整體剛度矩陣9ee劃分網格數(nelx,nely)整體節點編排：縱向1nely+1nely+22(nely+1)ee劃分網格數整體節點編排：縱向1nely+1nely1012875643局部整體e(1)(2)(3)(4)12875643局部整體e(1)(2)(3)(4)11(有限元基本方程)U——各節點位移矩陣建立優化模型(有限元基本方程)U——各節點位移矩陣建立優化模型12拓撲優化算法及其實現課件13目標函數——最小柔度(SIMP法)——設計變量本質上，結構拓撲優化是個（0,1）整數規劃問題，屬于組合優化的范疇。2n次計算有限元分析才能求得全局最優解，是個指數時間算法，非多項式時間算法，隨著單元數量n的增加，計算量會激增，也即是困擾組合優化領域的NP難題。

目標函數——最小柔度(SIMP法)——設計變量本質14SIMP法——設計變量密度變量的引入：

在工程中，材料的剛度線性依賴材料的密度，即剛度大的材料，密度也大。比如，鋼的密度比鋁的密度大，因此鋼的剛度比鋁的剛度大。按照這個樸素的邏輯，就可用單元的密度來代替材料的有無，如下式

(0,1)整數規劃問題[0,1]區間內的單元密度的連續變量優化問題SIMP法——設計變量密度變量的引入：(0,1)整數規劃問題15OC法優化求解優化求解OC法優化求解優化求解16基本原理變量約束優化的KT條件：定義在閉區間上的一元函數的優化（僅有變量上下限約束）

基本原理變量約束優化的KT條件：定義在閉區間上的一元函數的優17基本原理基本原理18OC法數學模型對應于目標函數的拉格朗日函數為：OC法數學模型對應于目標函數的拉格朗日函數為：19OC法數學模型OC法數學模型20OC法數學模型優化設計準則OC法數學模型優化設計準則21OC法數學模型優化設計準則上式即為設計變量的迭代準則。由該式可以看出當柔度取得極值時,在整個設計區域內單元的應變能密度是恒定的常數。由此建立更新設計變量迭代格式：OC法數學模型優化設計準則上式即為設計變量的迭22>Imagesc(-x)xnew=max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))))優化結果：各單元密度組成的矩陣——X>Imagesc(-x)xnew=max(0.001,m23敏度分析目的：消除棋盤格效應及網格依賴性方法：1、高階單元法（計算量大）2、周長約束法（周長約束的上限值需要依靠經驗來確定，因為局部尺寸和周長邊界間沒有直接的關系。如果周長約束邊界定得太緊，則可能導致沒有計算結果，如果定的太松又達不到預期的效果。因此約束邊界很難確定，這種情況在三維問題下特別明顯）3、局部梯度約束方法（局部斜率約束屬于局部約束，可防止局部細條的形成，從而降低結構拓撲的幾何復雜性，但優化結果難以滿足全局最佳，并且，這種方法在優化問題中引入了2N(二維)或3N(三維)個額外約束，使計算效率大大降低）

4、網格過濾法（網格過濾方法只需定義一個局部長度尺寸，相對較為容易，在約束尺度下的結構變量都被過濾掉。網格過濾方法的優點是不需要在優化問題中加入額外約束，且容易實施。缺點是過濾方法為一種基于啟發式求解規則的方法）敏度分析目的：消除棋盤格效應及網格依賴性方法：1、高階單元法24敏度分析（sigmund.O）網格過濾法原理：數字圖像處理中的降噪技術一張圖片被離散成有限個像素點，一個像素點代表一個灰度值（256個灰度水平）。假設灰度值是連續變化的。圖像處理的一個常見問題是噪音來自電氣傳感器噪聲,噪聲傳輸錯誤等。主要表現為離散孤立的像素變化,這些地方與其周圍通常出現顯著的不同。

解決方法：線性和非線性

Pratt,(1991)證明了非線性技術優于線性技術。但是非線性技術不能應用于拓撲優化，因為非線性方法常會造成拓撲優化問題的不光滑。

線性技術又分為兩種：基于傅里葉變換對的方法（頻率）和基于卷積的方法。但是傅里葉變換法只能用于常規的矩形網格。

敏度分析（sigmund.O）網格過濾法原理：數字圖像處理中25敏度分析（sigmund.O）敏度分析（sigmund.O）26敏度分析目前SIMP方法常用的過濾技術是Sigmund提出的過濾方案，用于修改目標函數的敏度信息：敏度分析目前SIMP方法常用的過濾技術是S27敏度分析敏度分析28拓撲優化簡介OC法拓撲優化設計流程算例內容拓撲優化簡介內容29拓撲優化算法及其實現課件30左邊界各節點受橫向約束右下角節點受縱向約束約束情況F(2,1)=-1;fixeddofs=union([1:2:2*(nely+1)],[2*(nelx+1)*(nely+1)]);》top(60,20,0.5,3,3)6020左邊界各節點受橫向約束約束情況F(2,1)=-1;60231在Matlab中運行程序行top(60,20,0.5,3,3)迭代次數：10153069>imagesc在Matlab中運行程序行迭代次數：10153069>ima32懸臂梁左端固支右端中間作用垂直載荷F(2*nelx*(nely+1)+nely+2,1)=-1fixeddofs=[1:2*(nely+1)]>top(80,50,0.5,3,3)懸臂梁左端固支F(2*nelx*(nely+1)+nely+33迭代次數：51029迭代次數：5102934拓撲優化算法及其實現課件35拓撲優化算法及其實現馬燦2015年11月30日拓撲優化算法及其實現馬燦36拓撲優化簡介拓撲優化設計流程算例內容拓撲優化簡介內容37拓撲優化：拓撲優化是結構優化的一種。結構優化可分為尺寸優化、形狀優化、形貌優化和拓撲優化。尺寸優化以參數為優化對象，比如板厚、梁的截面寬、長和厚等；形狀優化以結構件外形或者孔洞形狀為優化對象，比如凸臺過渡倒角的形狀等；形貌優化是在已有薄板上尋找新的凸臺分布，提高局部剛度；拓撲優化以材料分布為優化對象，通過拓撲優化，可以在均勻分布材料的設計空間中找到最佳的分布方案。拓撲優化相對于尺寸優化和形狀優化，具有更多的設計自由度，能夠獲得更大的設計空間，是結構優化最具發展前景的一個方面。優化設計過程：將區域離散成足夠多的子區域，對這些子區域進行結構分析，再按某種優化策略和準則從這些子區域中刪除某些單元，用保留下來的單元描述結構的最優拓撲。拓撲優化拓撲優化：拓撲優化是結構優化的一種。結構優化可分為尺寸優化、38變密度法LevelSet法(水平集法)ICM(獨立映射法)ESO(進化法)……拓撲優化建模方法SIMP（SolidIsotropicMicrostructureswithPenalization）(固體各向同性懲罰函數法）RAMP（RationalApproximationofMaterialProperties）（材料屬性的理性近似模型）變密度法拓撲優化建模方法SIMP（SolidIso39OC法(優化準則法)MMA法(移動漸進線法)SLP(序列線性規劃法）SQP(序列二次規劃法)…………優化求解方法OC法(優化準則法)優化求解方法40拓撲優化簡介拓撲優化設計流程算例內容拓撲優化簡介內容41拓撲優化實現流程基于99行拓撲優化程序代碼top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin)312SIMP法+OC法拓撲優化實現流程基于99行拓撲優化程序代碼312SIMP法+424節點矩形單元e1234有限元分析目的：求整體位移矩陣B、D、t分別代表什么？？？4節點矩形單元e1234有限元分析目的：求整體位移矩陣43整體剛度矩陣單元剛度矩陣整體剛度矩陣整體剛度矩陣單元剛度矩陣整體剛度矩陣44ee劃分網格數(nelx,nely)整體節點編排：縱向1nely+1nely+22(nely+1)ee劃分網格數整體節點編排：縱向1nely+1nely4512875643局部整體e(1)(2)(3)(4)12875643局部整體e(1)(2)(3)(4)46(有限元基本方程)U——各節點位移矩陣建立優化模型(有限元基本方程)U——各節點位移矩陣建立優化模型47拓撲優化算法及其實現課件48目標函數——最小柔度(SIMP法)——設計變量本質上，結構拓撲優化是個（0,1）整數規劃問題，屬于組合優化的范疇。2n次計算有限元分析才能求得全局最優解，是個指數時間算法，非多項式時間算法，隨著單元數量n的增加，計算量會激增，也即是困擾組合優化領域的NP難題。

目標函數——最小柔度(SIMP法)——設計變量本質49SIMP法——設計變量密度變量的引入：

在工程中，材料的剛度線性依賴材料的密度，即剛度大的材料，密度也大。比如，鋼的密度比鋁的密度大，因此鋼的剛度比鋁的剛度大。按照這個樸素的邏輯，就可用單元的密度來代替材料的有無，如下式

(0,1)整數規劃問題[0,1]區間內的單元密度的連續變量優化問題SIMP法——設計變量密度變量的引入：(0,1)整數規劃問題50OC法優化求解優化求解OC法優化求解優化求解51基本原理變量約束優化的KT條件：定義在閉區間上的一元函數的優化（僅有變量上下限約束）

基本原理變量約束優化的KT條件：定義在閉區間上的一元函數的優52基本原理基本原理53OC法數學模型對應于目標函數的拉格朗日函數為：OC法數學模型對應于目標函數的拉格朗日函數為：54OC法數學模型OC法數學模型55OC法數學模型優化設計準則OC法數學模型優化設計準則56OC法數學模型優化設計準則上式即為設計變量的迭代準則。由該式可以看出當柔度取得極值時,在整個設計區域內單元的應變能密度是恒定的常數。由此建立更新設計變量迭代格式：OC法數學模型優化設計準則上式即為設計變量的迭57>Imagesc(-x)xnew=max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))))優化結果：各單元密度組成的矩陣——X>Imagesc(-x)xnew=max(0.001,m58敏度分析目的：消除棋盤格效應及網格依賴性方法：1、高階單元法（計算量大）2、周長約束法（周長約束的上限值需要依靠經驗來確定，因為局部尺寸和周長邊界間沒有直接的關系。如果周長約束邊界定得太緊，則可能導致沒有計算結果，如果定的太松又達不到預期的效果。因此約束邊界很難確定，這種情況在三維問題下特別明顯）3、局部梯度約束方法（局部斜率約束屬于局部約束，可防止局部細條的形成，從而降低結構拓撲的幾何復雜性，但優化結果難以滿足全局最佳，并且，這種方法在優化問題中引入了2N(二維)或3N(三維)個額外約束，使計算效率大大降低）

4、網格過濾法（網格過濾方法只需定義一個局部長度尺寸，相對較為容易，在約束尺度下的結構變量都被過濾掉。網格過濾方法的優點是不需要在優化問題中加入額外約束，且容易實施。缺點是過濾方法為一種基于啟發式求解規則的方法）敏度分析目的：消除棋盤格效應及網格依賴性方法：1、高階單元法59敏度分析（sigmund.O）網格過濾法原理：數字圖像處理中的降噪技術一張圖片被離散成有限個像素點，一個像素點代表一個灰度值（256個灰度水平）。假設灰度值是連續變化的。圖像處理的一個常見問題是噪音來自電氣傳感器噪聲,噪聲傳輸錯誤等。主要表現為離散孤立的像素變化,這些地方與其周圍通常出現顯著的不同。

解決方法：線性和非線性

Pratt,(1991)證明了非線性技術優于線性技術。但是非線性技術不能應用于拓撲優化，因為非線性方法常會造成拓撲優化問題的不光滑。