第六章基于小波變換的故障診斷方法小波變換的基本原理奇異性的檢測基于小波變換的原油管道泄漏檢測第六章基于小波變換的故障診斷方法小波變換的基本原理1一、小波變換的基本原理小波變換是由法國理論物理學家Grossmann與法國數學家Morlet共同提出的。小波分析是近20多年來發展起來的新興學科，其基礎是平移和伸縮下的不變性，這使得能將一個信號分解成對空間和尺度的獨立貢獻，同時又不丟失原有信號的信息。小波的由來一、小波變換的基本原理小波變換是由法國理論物理學家Gross2小波變換是一種能夠在時間－頻率兩域對信號進行分析的方法，具有可以對信號在不同范圍、不同的時間區域內進行分析，對噪聲不敏感，能夠分析到信號的任意細節等優點，在信號處理領域獲得越來越廣泛的應用，被譽為“數學顯微鏡”。小波變換是一種能夠在時間－頻率兩域對信號進行分析的方法，具有3小波分析和Fourier分析傅立葉變換是一個十分重要的工具，無論是在一般的科學研究中，還是在工程技術的應用中，它都發揮著基本工具的作用。從歷史發展的角度來看，自從法國科學家J.Fourier在1807年為了得到熱傳導方程簡便解法而首次提出著名的傅立葉分析技術以來，傅立葉變換首先在電氣工程領域得到成功應用，之后，傅立葉變換迅速得到越來越廣泛的應用，而且理論上也得到了深入研究。小波分析和Fourier分析傅立葉變換是一個十分重要的工具4傅立葉變換最重要的意義是它引進了頻率的概念，他把一個函數展開成各種頻率的諧波的線性疊加，由此引出了一系列頻譜分析的理論。很多在時域中看不清的問題，在頻域中卻能一目了然。因此，長期以來，Fourier分析理論不論在數學中還是工程科學中一直占領著極其重要的地位。傅立葉變換最重要的意義是它引進了頻率的概念，他把一個函數展開5傅立葉分析的實質在于將一個任意的函數f(t)表示為具有不同頻率的諧波函數的線性疊加。即一族標準函數的加權求和，從而將對原來函數的研究轉化為對這個疊加的權系數的研究：其中，權函數：就是原來函數f(t)的傅里葉變換。傅立葉分析的實質在于將一個任意的函數f(t)表示為具有不同頻6經過以上的變換，就將對的研究，轉化為對權系數，即其傅氏變換的研究。從以上分析可知，經典的傅氏分析是一種純頻域分析。上式中，各符號的含義：表示頻域函數；表示對原函數f(t)的傅里葉變換；表示對頻域函數的傅里葉反變換。經過以上的變換，就將對的研究，轉化為對權系數，即其傅氏變換的7傅里葉變換是時域到頻域互相轉化的工具，從物理意義上講，傅里葉變換的實質是把f(t)這個波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和。從傅里葉變換中可以看出，這些標準基是由正弦波及其高次諧波組成的，因此它在頻域內是局部化的。傅里葉變換是時域到頻域互相轉化的工具，從物理意義上講，傅里葉8例：假設一信號的主要頻率成分是100Hz和400Hz，如下圖所示，通過傅里葉變換對其頻率成分進行頻域分析。上圖為原始信號，從圖中看不出100Hz和400Hz的任何頻域信息。但從下圖的信號頻譜分析中，可以明顯看出信號的頻率特性。例：假設一信號的主要頻率成分是100Hz和400Hz，如下圖9從上例中可知，雖然傅里葉變換能夠將信號的時域特征和頻域特征聯系起來，能分別從信號的時域和頻域進行觀察，但卻不能把兩者有機地結合起來。信號的時域波形中不包含任何頻域信息；而其傅里葉譜是信號的統計特性，從其表達式中也可以看出，它是整個時間域內的積分，沒有局部化分析信號的功能，完全不具備時域信息。也就是說，對于傅里葉譜中的某一頻率，不知道這個頻率是在什么時侯產生的。這樣，在信號分析中就面臨一對最基本的矛盾：時域和頻域的局部化矛盾。從上例中可知，雖然傅里葉變換能夠將信號的時域特征和頻域特征聯10在實際的信號處理過程中，尤其是對非平穩信號的處理中，信號在任一時刻附近的頻域特征都很重要。如在故障診斷中，故障點（機械故障、控制系統故障、電力系統故障等）一般都對應于測試信號的突變點。對于這些時變信號進行分析，通常需要提取某一時間段（或瞬間）的頻率信息或某一頻率段所對應的時間信息。因此，需要尋求一種具有一定的時間和頻率分辨率的基函數來分析時變信號。在實際的信號處理過程中，尤其是對非平穩信號的處理中，信號在任11為了研究信號的局部特征，科學家們提出了一些對傅里葉變換進行改進的算法，其中短時傅里葉變換（ShortTimeFourierTransform－STFT）就是比較有代表性的一種。短時傅里葉變換是一種折衷的信號時、頻信息分析方法，它是DennisGabor于1946年提出的。為了研究信號的局部特征，科學家們提出了一些對傅里葉變換進行改12短時傅里葉變換的基本思想是：通過給信號加一個小窗，將信號劃分為許多小的時間間隔，用傅里葉變換來對每一個時間間隔內的信號進行分析，以便確定該時間間隔內的頻率信息。它假定非平穩信號在分析窗函數g(t)的這個短時間間隔內是平穩的（偽平穩），并移動分析窗函數，使f(t)g(t-τ)在不同的有限時間寬度內是平穩信號，從而計算出各個不同時刻的功率譜。短時傅里葉變換的基本思想是：通過給信號加一個小窗，將信號劃分13短時傅里葉變換定義如下：其中，f(t)是待分析的信號；函數是的復共軛函數；g(t)是固定的緊支集函數，稱為窗口函數。隨著時間τ的變化，g(t)所確定的“時間窗”在t軸上移動，使f(t)“逐漸”進行分析。短時傅里葉變換定義如下：其中，f(t)是待分析的信號；隨著時14短時傅里葉變換大致反映了f(t)在時刻τ時，頻率為ω的“信號成分”的相對含量。這樣，信號在窗函數上的展開就可以表示為在這一區域內的狀態，并把這一區域稱為窗口，δ和ε分別稱為窗口的時寬和頻寬，表示了時－頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率越高。短時傅里葉變換大致反映了f(t)在時15為了得到更好的時頻分析效果，希望δ和ε都非常小，但是由海森堡測不準定理（HeisenbergUncertaintyPrinciple）可知，δ和ε是互相制約的，兩者不可能同時都任意小。（事實上，δ·ε≥0.5，且僅當g(t)為高斯函數時，等號成立。）為了得到更好的時頻分析效果，希望δ和ε都非常小，但是由海森堡16由此可見，短時傅里葉變換雖然在一定程度上克服了標準傅里葉變換不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當窗函數g(t)確定后，矩形窗口的形狀就確定了，τ和ω只能改變窗口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀。可以說，短時傅里葉變換是具有單一分辨率的分析，這對分析信號來說是很不利的。因為，一般來說高頻信號持續的時間比較短，低頻信號持續的時間比較長。為了更好地分析信號，信號的高頻成分需要窄的時間窗，而信號的低頻成分需要寬的時間窗。而單一分辨率無法滿足這種要求。由此可見，短時傅里葉變換雖然在一定程度上克服了標準傅里葉變換17正是由于傅立葉分析理論存在上述缺陷，人們一直在尋找更好的基來展開和描繪任意函數，經過多年的探索和總結，逐漸發展成為小波分析理論。小波變換繼承和發展了短時傅里葉變換的局部化思想，并且克服了其窗口大小和形狀固定不變的缺點。它不但可以同時從時域和頻域觀測信號的局部特征，而且時間分辨率和頻率分辨率都是可以變化的，是一種比較理想的信號處理方法。正是由于傅立葉分析理論存在上述缺陷，人們一直在尋找更好的基來181984年，法國地球物理學家Morlet在分析地震波的局部性質時，發現傳統的Fourier變換難以達到要求，因而引入小波概念用于對信號進行分解。小波變換理論發展過程中的重要階段

1985年，Meyer構造了具有一定衰減性質的光滑函數ψ，它的二進制伸縮與平移構成了L2(R)的規范正交基，這一發展標志著小波熱的開始。1986年，Lemarie和Battle分別提出了具有指數衰減的小波函數。

1987年，法國馬賽召開第一次有關小波的國際會議。1984年，法國地球物理學家Morlet在分析地震波的局部191990年，崔錦泰和王建忠構造了基于樣條函數的單正交小波函數。1988年，Mallat與Meyer合作提出了多分辨分析的框架。1988年，Daubechies構造了具有有限支集的正交小波基。在美國Pure＆Appl.Math.發表一篇長達87頁的論文，被公認是小波分析的經典文獻。1989年，Mallat在多分辨率分析基礎上，構造了Mallat算法。為此，Mallat于1989年榮獲IEEE論文獎。1990年，崔錦泰和王建忠構造了基于樣條函數的單正交小波函201990年，Meyer等出版第一部小波系統性專著《小波與算子》，共三卷。尤眾、王耀東、鄧東皋等譯校成中文本（共兩冊）。這套書詳細研究了各種小波基的構造，小波基與函數空間的關系，小波分析在復分析、算子論、偏微分方程與分線性分析等方面的應用。1991年，鄧東皋等在《數學進展》上發表“小波分析”－國內第一篇小波論文。對國內小波的研究和應用起了很大的推動作用。1992年，Daubechies的《小波10講》系統論述了正交小波的緊支性、正則性、對稱性及時頻特性，介紹了離散小波變換和連續小波變換等。到此，經典小波理論已基本成熟，1992年以后，在國際上，重點轉向小波的推廣和應用。1990年，Meyer等出版第一部小波系統性專著《小波與算21在國內，由于對小波的研究起步較晚，20世紀90年代以來，可以說小波的理論研究和應用研究幾乎同時開始。1994年，形成國內的小波高潮。近十年來，小波理論一直在各個不同研究領域扮演著重要的角色。主要集中在數學物理（如分形、混沌、求解方程等）、圖像與數據壓縮、信號處理、神經網絡、故障診斷與檢測、石油地質勘探等方面。在國內，由于對小波的研究起步較晚，20世紀90年代以來，可以22定義1：稱滿足的函數f(x)為平方可積函數，并把這類函數的集合記為L2(R)。其中，R表示實數集合。若f(x)，g(x)∈L2(R)，α，β為常數，則αf(x)＋βg(x)

∈L2(R)。因此，L2(R)構成了一個線性空間。我們稱其為平方可積函數空間。預備知識定義1：稱滿足23定義2：在L2(R)空間中的內積<f，g>定義為：其中，表示g(x)的共扼。定義3：在L2(R)空間，函數f(x)的范數‖f(x)‖定義為：定義2：在L2(R)空間中的內積<f，g>定義為：其中，24定義4：在L2(R)空間，若：內積<f，g>＝0，則稱函數f與函數g正交。定義5：在L2(R)空間，兩個函數f(x)與g(x)的卷積定義為：定義6：函數f(x)的傅里葉變換定義為：定義4：在L2(R)空間，若：內積<f，g>＝0，則稱函數f25定義7：對任意函數f(x)，其擴張函數fs(x)定義為：其中，s為尺度因子（scalefactor），或簡稱為尺度。定義7：對任意函數f(x)，其擴張函數fs(x)定義為：其中26定義8：把希爾伯特空間（Hilbertspace）中的可測的、平方可積的兩維函數構成的子空間記作：L2(R2)。函數f(x，y)∈L2(R2)的經典范數‖f(x，y)‖定義為：定義9：f(x，y)∈L2(R2)的傅里葉變換‖f(x，y)‖定義為：定義10：定義8：把希爾伯特空間（Hilbertspace）中的可測27定義11：設f(t)為在R上定義的函數，我們稱集合為函數f(t)的支集（即f(t)≠0的點所構成的集合的閉包）。具有緊支集的函數就是在有限區間外恒等于零的函數。定義11：設f(t)為在R上定義的函數，我們稱集合具有緊支集28小波與小波變換我們稱滿足條件定義12：的平方可積函數ψ(x)（即ψ(x)∈L2(R)）為基本小波，或小波母函數。小波與小波變換我們稱滿足條件定義12：的平方可積函數ψ(x29函數f(x)∈L2(R)的連續小波變換定義為：定義13：其中，*表示卷積。因此，Wf(s，x)關于x的傅里葉變換可以表示為：函數f(x)∈L2(R)的連續小波變換定義為：定義13：其30由定義13可知，小波變換Wf（s，x）是尺度s與空間位置x的函數。小波變換通過ψ(x)在尺度上的伸縮和空間域（時域）上的平移來分析信號。尺度s增大時，ψs在空間域（時域）上伸展，小波變換的空間域分辨率降低；ψs(ω)在頻域上收縮，其中心頻率降低，變換的頻域分辨率升高。反之，尺度s減小時，ψs在空間域（時域）上收縮，小波變換的空間域分辨率升高；ψs(ω)在頻域上伸展，其中心頻率升高，變換的頻域分辨率降低。連續小波變換的定義由定義13可知，小波變換Wf（s，x）是尺度s與空間位置x的31也即：當檢測低頻信號時（即對于大的s>0），時間窗會自動變寬，以便在低頻域用低頻對信號進行輪廓分析。反之，當檢測高頻信息時，（即對于小的s>0），時間窗會自動變窄，以便在頻率域用較高的頻率對信號進行細節分析。因而，小波分析具有“數學顯微鏡”的美譽。圖小波變換的時－頻窗口也即：當檢測低頻信號時（即對于大的s>0），時間窗會自動變寬32例：圖聯合時頻分析小波變換可以對信號做聯合時-頻域分析得到其特征。最下面的圖是信號在時域的波形，右上圖為該信號的頻譜，左上的大圖為聯合時頻分析一種算法的結果，前后兩個400Hz的頻率成分通過聯合時頻分析可以清楚地看到，而傳統傅立葉變換則只能分辨出含有400Hz的信號，不能從時域上分辨出包括兩個400Hz頻率信號。例：圖聯合時頻分析小波變換可以對信號做聯合時-頻域分33通常使用的小波母函數有：Daubechies小波、Harr小波以及Morlet小波。Morlet小波函數由下式描述：通常使用的小波母函數有：Daubechies小波、Harr小34小波變換具有多分辨即多尺度特點，可以由粗及精的觀察信號。可以將小波變換看成基本頻率特性為的帶通濾波器在不同尺度a下對信號作濾波。小波變換帶通濾波器的帶寬與中心頻率f成正比即，亦即濾波器有一個恒定的相對帶寬，即品質因數恒定（稱之為等Q結構，Q為濾波器的品質因數）。適當的選擇基本小波，使在時域上為有限支撐，在頻域上也比較集中，便可以使小波變換在時、頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，因此非常適合于檢測信號的瞬態或奇異點。小波變換具有多分辨即多尺度特點，可以由粗及精的觀察信號。可以35二、奇異性的檢測通常用李普西茲指數(Lipschitz)來描述函數的局部奇異性。設n是一非負整數，，我們說f(x)在點x0為李普西茲α，如果存在兩個常數A和h0>0，及n次多項式Pn(h)，使得對任意的，均有：如果上式對所有均成立，且，稱f(x)在（a，b）上是一致李普西茲α。信號的奇異性表征與小波變換的模極大值二、奇異性的檢測通常用李普西茲指數(Lipschitz)來描36李普西茲指數越大，函數越光滑。函數在一點連續、可微，則在該點的李普西茲指數為1；在一點可導，而導數有界但不連續時，李普西茲指數仍為1。如果f(x)在x0李普西茲指數小于1，則稱函數f(x)在x0點是奇異的。階躍信號的李普西茲指數為0，脈沖函數的李普西茲指數為-1。李普西茲指數越大，函數越光滑。函數在一點連續、可微，則在該37設實函數滿足且，如果我們選擇小波函數為它的一階導數，即，同時記，這時，小波變換：即小波變換可表示為信號f(x)在尺度s被平滑后的一階導數。設實函數滿足且38圖信號突變點與其小波變換模極大值的關系例：x0，x2是信號f(x)的突變點；x1是f(x)慢變區間的轉折點。x0，x2是的快變化點；x1對應的慢變化點。這兩種拐點可以通過觀察的極值點是極大點還是極小點分辨出來。x0，x2對應的極大點；x1對應的極小點。圖信號突變點與其小波變換模極大值的關系例：x0，x2是39函數的奇異點可以從其小波變換的模極大值檢測出來。小波變換的模極大值都是出現在信號有突變的地方。信號突變越大，其小波變換的模極大值就越大。對于邊沿檢測或奇異點檢測來說，我們只是對的極大點感興趣。事實上，的局部極大值通常刻畫了信號非正規性的Lipschitz指數。結論：函數的奇異點可以從其小波變換的模極大值檢測出來。對于邊沿檢測40奇異點檢測的小波的選擇下面以階躍式邊沿和函數式尖峰這兩類突變為例，介紹小波變換的過零點和極值點來檢測信號的局部突變的特性。圖用，作小波對階躍輸入和脈沖輸入的處理結果奇異點檢測的小波的選擇下面以階躍式邊沿和函數式41由以上分析可得，突變點的位置有時是由小波變換的過零點反映的，有時是由小波變換的極值點反映的。一般地說，根據過零點作檢測不如根據極值點。因為過零點易受噪聲干擾，而且有時過零點反映的不是突變點，而是信號在慢變區間的轉折點。檢測邊沿宜采用如的反對稱小波；檢測尖峰脈沖宜采用如的對稱小波。結論：由以上分析可得，突變點的位置有時是由小波變換的過零點反映的，42要使奇異檢測有效，必須滿足適當條件：，應是某一平滑函數的一、二階導數；尺度a必須適當，以便使y(t)的突變點基本上能反映待分析信號x(t)的突變點；且只有在適當尺度下各突變點引起的小波變換才能避免交疊干擾。要使奇異檢測有效，必須滿足適當條件：，43三、基于小波變換的原油管道泄漏檢測1、泄漏檢測原理當流體輸送管道因為機械、人為破壞、材料失效等原因發生泄漏時，由于管道內流體壓力很高而管道外一般為大氣壓力，管內輸送的流體在內外壓差的作用下迅速流失，泄漏部位產生物質損失，這會引起發生泄漏場所的流體的密度減小，進而引起管道內此處流體的壓力降低。

瞬態負壓波法泄漏檢測原理及定位公式

三、基于小波變換的原油管道泄漏檢測1、泄漏檢測原理當流體輸44由于流體的連續性，管道中的流體速度不會立即發生改變，流體在泄漏點和與其相鄰的兩邊的區域之間的壓力產生差異，這種差異導致泄漏點上下游區域內的高壓流體流向泄漏點處的低壓區域，從而又引起與泄漏點相鄰區域流體的密度減小和壓力降低。這種現象從泄漏點處沿管道依次向上、下游方向擴散，在水力學上稱為負壓波(又稱為減壓波)。由于流體的連續性，管道中的流體速度不會立即發生改變，流體在泄45泄漏在管道中的總體反映就是從泄漏點處產生了同時向上、下游端傳播的瞬態負壓波，它的傳播過程類似于聲波在介質中的傳播，它的傳播速度是聲波在管道輸送流體中的傳播速度，原油管道中負壓力波的傳播速度約在1000～1200米/秒之間。泄漏在管道中的總體反映就是從泄漏點處產生了同時向上、下游端傳46在管道兩端安裝壓力傳感器能夠捕捉到包含泄漏信息的瞬態負壓波，就可以檢測泄漏的發生，并根據泄漏產生的瞬態負壓波傳播到管道兩端的時間差進行漏點定位。沿管道傳播的瞬態負壓波中包含有泄漏的信息，由于管道的波導作用，它能夠傳播數十公里以上的遠端。該方法即為瞬態負壓波法，它具有快速的反應速度和很高的定位精度，能夠及時檢測出泄漏，防止泄漏事故擴大，減少流體損失贏得寶貴的時間，是一種受到廣泛重視的泄漏檢測方法。在管道兩端安裝壓力傳感器能夠捕捉到包含泄漏信息的瞬態負壓波，47瞬態負壓波泄漏定位示意圖瞬態負壓波泄漏定位示意圖48其中：

x

—泄漏點距上游站測壓點的距離，單位：m；L—上下游站間距，單位：m；a—負壓波的傳播速度，單位：m/s；

Δt—上游站壓力突變時間與下游站壓力突變時間差，單位：s。泄漏點的計算公式為：其中：泄漏點的計算公式為：492、瞬態負壓波泄漏定位準確的關鍵由泄漏點的定位公式：可以看出，負壓波傳播到上、下游傳感器的時間差的精確確定，和管內負壓波速度的確定是瞬態負壓波定位方法的兩項關鍵所在。2、瞬態負壓波泄漏定位準確的關鍵由泄漏點的定位公式：可以看50在分析泄漏引發的負壓波信號序列，確定負壓波信號傳到管道首、末端的時刻時，一個顯然的要求是首、末端壓力信號序列起始時刻應該一致，這就要求統一擔任首、末端數據采集系統的工控機的系統時間，可以采用全球定位系統(GPS)來定時統一各站工控機的系統時鐘。這個方案即滿足了泄漏監測系統對統一時標的要求，實施也很方便，造價低廉，有很廣泛的應用場所。在分析泄漏引發的負壓波信號序列，確定負壓波信號傳到管道首、末51GPS是英文GlobalPositioningSystem的縮寫，意即全球定位系統。全球定位系統利用導航衛星進行測時和測距，使在地球上任何地方的用戶，都能計算出他們所處的方位。GPS系統包括以下三大部分：(1)GPS衛星(空間部分)；(2)地面支撐系統(地面監控部分)；(3)GPS接收機(用戶部分)。GPS是英文GlobalPositioningSyste52在泄漏監測系統中使用到的是GPS的精確授時功能。GPS開始時只用于軍事目的，后來由于GPS接收機技術的發展，超大規模芯片的應用，使接收機成本不斷下降，現在也已廣泛應用于航海、航空、科學研究、交通運輸、石油勘探、地形測量以及商業、旅游業等一切行業，甚至要滲透到個人生活的各個方面。它可以準確測定用戶的三維位置、三維速度，并給出精確的時間基準。由于GPS具有定位精度高、使用范圍廣、可全天候應用、用戶設備簡單等優點，GPS問世以來，已充分顯示了其在導航、定位、授時領域的霸主地位。在泄漏監測系統中使用到的是GPS的精確授時功能。GPS開始53管內壓力波的傳播速度決定于液體的彈性、液體的密度和管材的彈性，液體的體積彈性系數隨品種、溫度、壓力的不同而不同。式中：a—管內壓力波的傳播速度，m/s；K—液體的體積彈性系數，Pa；ρ—液體的密度，kg/m3；E—管材的彈性，Pa；D—管道直徑，m；e—管壁厚度，m；C1—與管道約束條件有關的修正系數。負壓波傳播速度公式如下：管內壓力波的傳播速度決定于液體的彈性、液體的密度和管材的彈性54在實際的泄漏監測系統中，總是采集壓力傳感器送來的數據，再分析采集到的數據序列，從中尋找泄漏信息。精確確定泄漏引發的負壓波傳播到上、下游傳感器的時間差，就必須先確定瞬態負壓波傳到管道首、末端的時刻，即需要準確地捕捉到泄漏負壓波傳到首、末端信號序列的對應特征點。在實際的泄漏監測系統中，總是采集壓力傳感器送來的數據，再分析55而由于不可避免的工業現場的電磁干擾、輸油泵的振動等因素的存在，采集到的壓力波形序列附加著大量的噪聲（如下圖所示）。圖原始壓力信號上圖為在中石化管道儲運公司滄州輸油公司滄州－臨邑線長60公里的滄州－東光輸油管線的30公里處做的一次泄漏放油實驗時在管道一端采集到的壓力信號序列，噪聲信號很強，由此信號根本無法確定負壓波的邊沿，因而也就不能對泄漏點定位。而由于不可避免的工業現場的電磁干擾、輸油泵的振動等因素的存在56如何在強噪聲干擾中提取信號的特征拐點是泄漏檢測與定位中必須解決的問題，下面提出采用離散小波變換確定負壓波信號的特征拐點，濾波器組計算小波變換的方法。此方法在管道實際運行中做到實時監測，取得了良好的效果。如何在強噪聲干擾中提取信號的特征拐點是泄漏檢測與定位中必須解57

離散小波變換及濾波器組1、多分辨分析1988年S.Mallat在構造正交小波基時，將計算機視覺領域內的多分辨率思想率先引入小波變換，提出了多分辨分析（Multi-ResolutionAnalysis）的概念，在空間的概念上形象地說明了小波變換的多分辨特性，并使用多分辨分析將此之前Meyer等提出的各種具體小波基的構造法統一起來。在BurtandAdelson圖像分解和重構的塔式算法的啟發下，基于多分辨率框架，提出了塔式多分辨率分解和重構算法，給出了正交小波的構造方法以及正交小波變換的快速算法－Mallat快速小波分解和重構算法。離散小波變換及濾波器組1、多分辨分析1988年S.Ma58對于多分辨分析的理解，可以用一個三層的分解進行說明，其小波分解樹如下圖所示。圖三層多分辨分析小波分解樹結構圖多分辨分析只是對低頻部分進行進一步分解，而高頻部分則不予考慮。分解關系式為：S=A3+D3＋D2＋D1。在圖中，只是以一個層分解進行說明，如果要進行進一步的分解，則可以把低頻部分A3分解成低頻部分A4和高頻部分D4，以下再分解依此類推。對于多分辨分析的理解，可以用一個三層的分解進行說明，其小波分59多分辨分析分解的最終目的是力求構造一個在頻率上高度逼近空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當于帶寬各異的帶通濾波器。從上圖的多分辨分析樹型結構可以看出，多分辨率分析只對低頻空間進行進一步的分解，使頻率的分辨率變得越來越高。多分辨分析分解的最終目的是力求構造一個在頻率上高度逼近60下面分析多分辨分析是如何構造正交小波基的。空間L2（R）中的多分辨分析是指中滿足如下條件的一個空間序列：①單調性：，對任意j∈Z；②逼近性：；③伸縮性：，伸縮性體現了尺度的變化、逼近正交小波函數的變化和空間的變化具有一致性；④平移不變性：對任意k∈Z，有下面分析多分辨分析是如何構造正交小波基的。空間L2（R）中的61⑤Riesz基存在性：可以稱φ(t)為尺度函數（ScalingFunction），并可以定義如下函數：該函數系是規范正交的。⑤Riesz基存在性：可以稱φ(t)為尺度函數（Scali62設以Vj表示小波分解樹結構圖中的低頻部分Aj，Wj表示分解中的高頻部分Dj，則多分辨分析的子空間V0是一個有限個子空間的逼近，即：上式中的空間列具有如下性質：①②③設法找出一個確定的函數，使得對每個，函數系構成空間Wj的規范正交基，其中，（1）設以Vj表示小波分解樹結構圖中的低頻部分Aj，Wj表示分解中63若令代表分辨率為2-j的函數的逼近（即函數f的低頻部分或“粗糙像”），而代表逼近的誤差（即函數f的高頻部分或“細節”部分），則下式意味著：注意到f=f0，所以上式可簡寫為：（2）（3）若令代表分辨率為2-j的函數的64上式（3）表明，任何函數都可以根據分辨率為2-N時f(t)的低頻部分（“粗糙像”）和分辨率2-j（1≤j≤N）下f(t)的高頻部分（“細節”部分）完全重構，這也從另一側面表示Mallat塔式重構算法。（3）上式（3）表明，任何函數都可65從包容關系，可很容易得到尺度函數ф(t)的一個極為有用的性質。注意到，所以可以用V-1子空間的基函數展開，令展開系數為hk，則這就是尺度函數的雙尺度方程。（4）從包容關系，可很容易得到尺度函數ф(t)的66另一方面，由于，故這就意味著小波基函數可以用V-1子空間的正交基展開，令展開系數為gk，即有這就是小波函數的雙尺度方程。（5）另一方面，由于，故這就意味著小波67由雙尺度方程式（4）和式（5）可知，尺度函數與小波基函數的構造歸結為系數的設計。小波基函數可由尺度函數的平移和伸縮的線性組合獲得。若令則把尺度函數和小波基函數的設計可以歸結為濾波器H(ω)，G(ω)的設計。（4）（5）尺度函數的雙尺度方程:小波函數的雙尺度方程:由雙尺度方程式（4）和式（5）可知，尺度函數與小波基函數的構68構造正交小波時，濾波器H(ω)，G(ω)必須滿足以下三個條件：（6）（7）（8）聯合求解式（6）、（7）、（8）可得（9）所以，要設計正交小波，只需要設計濾波器H(ω)。構造正交小波時，濾波器H(ω)，G(ω)必須滿足以下三個條件69綜上分析，為了使構成Vj子空間的正交基，應該具有下列基本性質：①尺度函數的容許條件，。②能量歸一化條件：。③尺度函數具有正交性，即⑤跨尺度的尺度函數和相關。④尺度函數與基小波函數正交，即⑥基小波函數和相關。綜上分析，為了使70將尺度函數的容許條件與小波的容許條件作比較可知，尺度函數的傅里葉變換具有低通濾波特性（相當于一個低通濾波器），而小波基函數的傅里葉變換則具有高通濾波特性（相當于一個帶通濾波器）。多分辨分析可以對信號進行有效的時頻分解，它不同于短時傅里葉變換對信號頻帶的等間隔劃分，它的尺度是按二進制劃分的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差，而在低頻頻段其時間分辨率較差，即對信號的頻帶進行指數等間隔劃分（具有等Q結構）。將尺度函數的容許條件與小波的容許條件作比較可知，尺度函數的傅712、一維Mallat算法S.Mallat在BurtandAdelson圖像分解和重構的塔式算法的啟發下，基于多分辨率框架，提出了一種具有完美數學描述的塔式多分辨率離散小波分解與重構算法，即Mallat算法。Mallat算法的本質是：不需要知道小波函數和尺度函數的具體結構，僅根據系數就可實現信號的分解和重構。而且這種算法可以使每次小波分解后信號長度減半，大大減少了小波變換的復雜度，因而它是一種快速算法。Mallat快速算法在小波變換中的地位，與快速傅里葉變換在傅里葉變換中的地位相當。2、一維Mallat算法S.Mallat在Burtand72設Φ(t)為尺度函數，Ψ(t)為基本小波，設信號f(t)∈L2(R)，將信號進行分解，用A表示低頻，D表示高頻，下標數字表示小波分解的尺度層數，已得到f(t)在2-j分辨率下的粗糙像Ajf∈Vj，｛Vj｝j∈Z構成L2（R）的多分辨分析，從而有：

式中，（10）設Φ(t)為尺度函數，Ψ(t)為基本小波，設信號f(t)∈73式（10）可寫成如下形式：由尺度函數的雙尺度方程可得：利用尺度函數的正交性，有：（12）（13）同理，由小波函數的雙尺度方程可得：（14）（11）式（10）可寫成如下形式：由尺度函數的雙尺度方程可得：利用尺74由式（11）～（14），可得：（15）（16）（17）由式（11）～（14），可得：（15）（16）（17）75引入無窮矩陣，其中，則式（15）、（16）、（17），可分別表示為更簡潔的形式：其中和分別是H和G對應的對偶算子，或分別理解為H和G的共扼轉置矩陣，滿足正交性條件，。H和G分別稱為低通濾波器和帶通濾波器。（18）（19）Mallat一維分解算法Mallat一維重構算法引入無窮矩陣76式（18）即為Mallat一維分解算法；式（19）即為Mallat一維重構算法，它們都是遞推的快速算法，可由下圖來表示：（b）重構算法圖Mallat小波分解和重構算法示意圖2：表示每個樣本點中入1個零值（a）分解算法2：表示2個樣本點中取1個式（18）即為Mallat一維分解算法；式（19）即為Mal77將實時采集獲得的管道壓力信號通過兩通道濾波器分為低頻概貌和高頻細節輸出，定位負壓波的位置實際就是確定高頻細節當中最小值的位置。在實際應用當中，基于虛擬儀器LabVIEW開發了原油管道泄漏實時監測系統，其中包括泄漏定位模塊，其檢測定位原理即基于離散小波變換和Mallat算法。如下圖所示。將實時采集獲得的管道壓力信號通過兩通道濾波器分為低頻概貌和高78圖泄漏點定位模塊泄漏點定位部分精確地定位出泄漏點的位置，同時將泄漏報警時間、泄漏點位置等參數寫入泄漏信息數據庫以供日后總結分析。定位部分包括自動定位和手動定位兩部分，手動定位需要操作人員根據經驗，通過移動光標捕捉兩端波形對應拐點。圖泄漏點定位模塊泄漏點定位部分精確地定位出泄漏點的位79補充：MATLAB中的小波工具包簡介MATLAB中常用小波函數介紹1、Haar小波Haar小波是小波分析發展過程中用的最早的小波，也是最簡單的小波。Haar小波本身是一個階躍函數如下圖所示。Haar小波Haar小波的支集長度為1，濾波器長度為2。補充：MATLAB中的小波工具包簡介MATLAB中常用小波802、Daubechies小波Daubechies小波是由著名小波學者IngridDaubechies所創造的。Daubechies系列的小波簡寫為dbN，其中N表示階數，db是小波名字的前綴，除db1（等同于Haar小波）外，其余的db系列小波函數都沒有解析的表達式。db系列小波函數db4db82、Daubechies小波Daubechies小波是由著名813、SymletsA（SymN）小波族sym小波的構造類似于db小波族，兩者的差別在于sym小波有更好的對稱性。sym系列小波函數sym4sym8同前面db小波族相比，sym小波族有更好的對稱性。其它的性質如連續性、支集長度、濾波器長度都同db小波族一致。3、SymletsA（SymN）小波族sym小波的構造類似于824、Biorthogonal（BiorNr.Nd）小波族這是一族雙正交小波（也叫半正交小波），與正交小波的區別在于：正交小波的伸縮和平移構成的基函數完全正交；雙正交小波對不同尺度伸縮下的小波函數之間也有正交性，而同尺度之間通過平移得到的小波函數系之間沒有正交性。雙正交小波用于分解和重構的小波不是同一個函數，相應的濾波器也不能由同一個小波生成。4、Biorthogonal（BiorNr.Nd）小波族這是83bior系列小波函數bior2.4bior4.4在雙正交小波的命名中，Nr和Nd分別是和重構和分解濾波器長度有關的參數。下圖為bior2.4和bior4.4小波函數。bior系列小波函數bior2.4bior4.4在雙正交小波845、Coiflet（coifN）小波族Coiflet小波族是Daubechies提出的另一個小波系，它有更長的支集長度和更大的消失矩，對稱性比較好。coif系列小波函數coif3coif5下圖為coif3和coif5小波函數。從圖中可以看出，它們在對稱性上的特點。5、Coiflet（coifN）小波族Coiflet小波族是856、Morlet小波Morlet小波是一個具有解析表達式的小波，但它不具備正交性。Morlet小波的小波函數如下圖所示。morlet小波函數6、Morlet小波Morlet小波是一個具有解析表達式的小867、MexicanHat小波類似于morlet小波，MexicanHat小波同樣是有解析的小波函數，但同樣不具有正交性。MexicanHat小波的小波函數如下圖所示。MexicanHat小波函數7、MexicanHat小波類似于morlet小波，Mex878、Meyer小波Meyer小波是在頻域定義的具有解析形式的正交小波。Meyer小波的尺度函數和小波函數如下圖所示。Meyer小波尺度函數小波函數8、Meyer小波Meyer小波是在頻域定義的具有解析形式的88一維離散小波變換一維離散小波變換實現的算法一般是mallat算法。即先對較大尺度的信號進行小波變換，再選取其中的低頻部分在原尺度的1/2尺度上再進行小波變換。對于一個長度為N的信號s，第一步從原始信號開始，產生兩組參數，一組是作用低通濾波器得到的近似信號，另一組是作用高通濾波器得到的細節信號。1、一維離散小波分解算法一維離散小波變換一維離散小波變換實現的算法一般是malla89在物理信號中，低頻部分是表征信號本身特征的，而高頻部分則是表征信號細微差別的。比如，聲音信號，如果只保留低頻信號，仍可以辨別出說話的內容，但是可能不太容易辨別出說話的人。但如果去除了低頻部分，就只能聽到一些噪聲。在物理信號中，低頻部分是表征信號本身特征的，而高頻部分則是表90在MATLAB小波工具箱中，實現多尺度分解的函數是：wavedec，該函數的調用格式為：[C,L]=wavedec(X,N,'wname')[C,L]=wavedec(X,N,Lo_D,Hi_D)式中，X：待分解的信號；N：分解層數；‘wname’：使用的小波函數；Lo_D：給定的低通濾波器；Hi_D：給定的高通濾波器。即：在第二種調用方式中，信號X在給定的低通濾波器和高通濾波器下進行多尺度分解。在MATLAB小波工具箱中，實現多尺度分解的函數是：wave91在MATLAB中，離散小波變換分解算法主要使用如下幾個常用指令：dwt;用于信號的單層分解wavedec;用于信號的多層分解wmaxlev;在多層分解前求最大的分解層數在MATLAB中，離散小波變換分解算法主要使用如下幾個常用指92例：對白噪聲信號noissin進行3層小波分解，所用小波函數為‘db4’。loadnoissin;讀入白噪聲信號s=noissin(1:1000);取信號的前1000個采樣點[c,l]=wavedec(s,3,’db4’);對信號做3層多尺度分解[cd1,cd2,cd3]=detcoef(c,l,[1,2,3]);得到三個尺度的細節系數ca3=appcoef(c,l,’db4’,3);得到尺度3的近似系數figure;subplot(511);plot(1:1000,s);title(‘s’);繪制原始信號subplot(512);plot(ca3);title(‘ca3’);繪制尺度3的近似系數subplot(513);plot(cd3);title(‘cd3’);繪制尺度3的細節系數例：對白噪聲信號noissin進行3層小波分解，所用小波函數93subplot(514);plot(cd2);title('cd2');繪制尺度2的細節系數subplot(515);plot(cd1);title('cd1');繪制尺度1的細節系數Noissin信號在db4小波下三層分解的近似系數和細節系數subplot(514);Noissin信號在db4小波下三942、一維離散小波重建算法重建運算是小波變換的逆變換，也就是把分解得到的近似系數和細節系數疊加得到原始信號。與小波分解過程類似，重構過程首先從尺度最低的近似系數cAj和細節系數cDj開始，通過作用低頻和高頻重構濾波器恢復出上一尺度的近似信號cAj-1，把這個過程繼續下去，直到得到原始信號s。單單做這個過程沒有什么意義，只是把分解的信號又重建一下。實際中，往往會在重建之前都要對分解系數做各種處理，以達到預期的目的。2、一維離散小波重建算法重建運算是小波變換的逆變換，也就是把95在MATLAB中，用于離散小波重建算法的命令主要有如下幾個：idwt;用于單層小波重建waverec;用于多層小波重建原始信號，要求輸入參數同小波分解得到結果的格式一致upcoef;用于重建小波系數至上一層次，要求輸入參數同小波分解得到結果的格式一致用于得到某一層次的小波系數的命令主要有如下幾個：detcoef;求得某一層次的細節系數appcoef;求得某一層次的近似系數upwlev;重建組織小波系數的排列形式在MATLAB中，用于離散小波重建算法的命令主要有如下幾個：96loadsumsin;讀入信號sumsin，該信號為不同頻率正弦波信號的疊加s=sumsin;[c,l]=wavedec(s,4,‘sym1’);把信號s用sym1小波分解到第四層，分解的系數存到數組c中，各層分解后的長度存到數組l中；[nc,nl]=upwlev(c,l,‘sym1’);通過第四層小波系數重建第三層小波近似系數，把三層的系數存放在數組nc中，三層分解的長度存放到數組nl中figure;subplot(311);plot(s);title(‘原始信號’);繪制原始信號例：利用upwlev對正弦波信號進行重構。loadsumsin;讀入信號sumsin，該信號為不同頻97subplot(312);plot(c);title('做4層wavedec得到的結果');subplot(313);plot(nc);title('做3層wavedec得到的結果');用upwlev重建小波系數示意圖subplot(312);用upwlev重建小波系數示意圖98信號的擴展在用計算機實現小波變換的過程中，一個實際的問題就是信號長度和濾波器長度的匹配問題。對有限支集長度的濾波器，在離散小波變換中，對每個點的變換都需要用到其它點的信息，所以如果點與邊界的距離不足濾波器的長度，就無法得到做變換所需要的完全信息，從而導致濾波器不可逆。信號的擴展在用計算機實現小波變換的過程中，一個實際的問題就99為了保證濾波器構成的矩陣是可逆的，就需要對濾波器做調整，而這種調整也等價于對信號的調整，調整的方法就是在每層的變換中都把信號邊界做擴展，使得最靠近邊界的點也能獲得小波變換所需要的完全信息。為了保證濾波器構成的矩陣是可逆的，就需要對濾波器做調整，而這100以求細節系數的高通濾波為例，過程如下圖所示。下圖中，高通濾波器假設支集長度為4，那么在求第一個細節系數d0的時侯，就需要用到信號的擴展s-1。在信號的另一側，如為了求第n個細節系數dn，同樣需要用到信號的擴展sn+1。圖小波變換做高通濾波時對信號的擴展以求細節系數的高通濾波為例，過程如下圖所示。圖小波變換做101MATLAB中，對信號的擴展方式主要有以下幾種。

零填充：是最簡單的一種方式。把邊界以外到濾波器支集以內所需要的信息都置為0。這種方式最大的問題是在邊界處不連續。

對稱擴展：令s-1=s1，s-2=s2，以此類推，在另一側的邊界做同樣處理，它是MATLAB小波工具箱中缺省的擴展方式，很好地解決了邊界點的不連續問題。但是它的一階導數仍然是不連續的。

一階光滑擴展：保證邊界以外的信息滿足一階導數的連續，那么所有邊界外的點應該落在通過s0，s1的直線上，另一側邊界也做同樣處理。

零階光滑擴展：保證邊界以外的信號與原信號連續，那么只需要令：si=s0(i<0)，sj=sn(j>n)。MATLAB中，對信號的擴展方式主要有以下幾種。零填充：是102在對信號的擴展中，還有一點需要注意，為了保持小波變換的可逆性，分解階段和重建階段必須指定相同的擴展方式。在MATLAB中，指定信號擴展方式的命令是dwtmode。其調用格式如下：ST=dwtmode('mode')ST=dwtmode主要的擴展方式如下：‘sym’：對稱擴展；‘zpd’：零填充；‘spd’或’sp1’：一階光滑擴展；‘sp0’：零階光滑擴展。在對信號的擴展中，還有一點需要注意，為了保持小波變換的可逆性103小波變換用于信號降噪前面介紹了如何利用小波工具箱把信號分解以及重建的方法，而小波分析之所以強大，就在于它能將信號中我們關心的成分盡可能詳細地展示出來，從這個意義上講，單單分解和重建是沒有意義的，小波分析最重要的過程就是對小波分解系數的處理。小波分析的一般過程就是先把信號分解為小波系數，然后對分解出來的系數根據問題的要求做一些處理，再用小波重建方法恢復信號。下面通過小波變換用于信號降噪來描述小波分析的主要方法。小波變換用于信號降噪前面介紹了如何利用小波工具箱把信號分解104光滑性：在大部分情況下，降噪后的信號應該至少和原信號具有同等的光滑性；相似性：降噪后的信號和原信號的方差估計應該是最壞情況下的方差最小。1、信號降噪的準則2、小波分析用于降噪的過程分解過程：選定一種小波，對信號進行N層小波分解；作用閾值過程：對分解得到的各層系數選擇一個閾值，并對細節系數作用軟閾值處理；重建過程：將處理后的系數通過小波重建恢復原始信號。光滑性：在大部分情況下，降噪后的信號應該至少和原信號具有同105攜帶信息的原始信號在頻域或小波域的能量相對集中，表現為能量密集區域的信號分解系數的絕對值比較大，而噪聲信號的能量譜相對分散，所以其系數的絕對值小。這樣，可以通過作用閾值的方法過濾掉絕對值小于一定閾值的小波系數，從而達到降噪的效果。攜帶信息的原始信號在頻域或小波域的能量相對集中，表現為能量密1063、從原始信號確定各級閾值在小波分析用于降噪的過程中，核心的步驟就是在系數上作用閾值。因為閾值的選取直接影響降噪的質量，所以人們提出了各種理論的和經驗的模型。但沒有一種模型是通用的，它們都有自己的適用范圍。小波變換中，對各層系數降噪所需的閾值一般是根據原信號的信噪比來選取的。從理論模型s(n)=f(n)+σe(n)中，用σ來表示這個量。從s(n)中提取σ的方法有很多種，在假定噪聲為白噪聲的情況下（噪聲的數學期望為0），一般是用原信號的小波分解的各層系數的標準差來衡量。MATLAB提供wnoisest來實現這個功能。3、從原始信號確定各級閾值在小波分析用于降噪的過程中，核心的107wnoisest的調用格式：STDC=wnoisest(C,L,S)根據傳入的小波分解系數［C,L］，對S中表示的小波層數求得其標準差，作為對噪聲強度的估計。在得到信號的噪聲強度后，就可以根據噪聲強度σ來確定各層的閾值。wnoisest的調用格式：STDC=wnoisest(108對噪聲強度為σ的白噪聲，閾值的確定主要有以下幾個數學模型：缺省的閾值確定模型，閾值由如下公式給出：其中，n為信號的長度。對噪聲強度為σ的白噪聲，閾值的確定主要有以下幾個數學模型：109Birge-Massart策略所確定的閾值，閾值通過如下的規則求得：（1）給定一個指定的分解層數j，對j+1以及更高層，所有系數保留；（2）對第i層（1≤i≤j），保留絕對值最大的ni個系數，ni由下式確定：式中，M和α為經驗系數，缺省情況下取M＝L(1)，即第一層分解后系數的長度。一般情況下，M滿足L(1)≤M≤2L(1)。α的取值因用途不同而異，在壓縮情況下一般取α＝1.5，降噪情況下取α＝3。Birge-Massart策略所確定的閾值，閾值通過如下的110小波包變換中的penalty閾值，閾值由下式給出：令t*為使得函數取得最小值的t。其中，ck為小波包分解系數排序后第k大的系數。n為系數的總數。那么，閾值式中，σ為信號的噪聲強度；α為經驗系數，α必須為大于1的實數。隨著α的增大，降噪后信號的小波系數會變稀疏，重建后的信號也會變得更加光滑。α的典型值為2。小波包變換中的penalty閾值，閾值由下式給出：令t*為111MATLAB小波工具箱中，從原始信號確定閾值的函數有：ddencmp：根據傳入的信號得到進行降噪或壓縮的各級閾值；wbmpen：根據傳入的小波分解系數用penalty策略確定各層閾值。wdcbm：根據傳入的小波分解系數用Birge-massart策略確定各層閾值。MATLAB小波工具箱中，從原始信號確定閾值的函數有：dd112例：通過對信號noisbump的降噪處理，來比較上述幾種閾值確定方法在降噪中的用法和區別。loadnoisbump;讀入信號noisbumpx=noisbump;wname=‘sym6’;lev=5;[c,l]=wavedec(x,lev,wname);用sym6小波對信號x做5層分解sigma=wnoisest(c,l,1);通過第1層的細節系數估算信號的噪聲強度σ；%使用penalty策略確定降噪的閾值alpha=2;選擇參數α＝2thr1=wbmpen(c,l,sigma,alpha);%使用Birge-Massart策略確定降噪的閾值[thr2,nkeep]=wdcbm(c,l,alpha);例：通過對信號noisbump的降噪處理，來比較上述幾種閾值113%使用缺省的閾值模型確定降噪的閾值[thr,sorh,keepapp]=ddencmp(‘den’,’wv’,x);%重建降噪信號xd1=wdencmp(‘gbl’,c,l,wname,lev,thr1,’s’,1);[xd2,cxd,lxd,perf0,perfl2]=wdencmp(‘lvd’,c,l,wname,lev,thr2,’h’);xd3=wdencmp(‘gbl’,c,l,wname,lev,thr,’s’,1);figure;subplot(411);plot(x);title(‘原始信號’);subplot(412);plot(xd1);title(‘使用penalty閾值降噪后信號’);subplot(413);plot(xd2);title(‘使用Birge-Massart閾值降噪后信號’);subplot(414);plot(xd3);title(‘使用缺省閾值降噪后信號’);%使用缺省的閾值模型確定降噪的閾值114Noisbump信號在幾種閾值選取方法下的降噪結果原始信號和三種閾值選取方法下的重建信號如下圖所示。Noisbump信號在幾種閾值選取方法下的降噪結果原始信號和115小波工具箱的GUI用法在前面的介紹中，都是用命令行的方式來利用小波工具箱解決問題。在MATLAB小波工具箱中，提供了兩種處理方式：命令行提供了靈活的處理方式，而且可以和MATLAB的強大接口功能連接，使用戶方便地導出各種小波工具。圖形界面方式（GUI）則具有操作簡便、界面友好的特點，非常適合初學者。如果用戶不需要了解小波分析的具體過程，GUI是最佳選擇。一種是命令行方式；一種是圖形界面（GUI）方式。小波工具箱的GUI用法在前面的介紹中，都是用命令行的方式來1161、小波工具箱圖形窗口的啟動在命令行方式下輸入wavemenu，就會彈出如下圖所示的菜單項。小波工具箱圖形界面的主菜單提供如下的功能：一維小波分析工具類，包括：一維小波變換、一維小波包變換等。二維小波分析工具類，包括：二維小波變換、二維小波包變換。小波顯示工具類小波設計特殊用途的一維工具類特殊用途的二維工具類擴展工具類1、小波工具箱圖形窗口的啟動在命令行方式下輸入wavemen1172、小波工具箱圖形窗口的實例分析下面通過分析幾個簡單的應用實例來介紹圖形界面（GUI）的使用方法。（1）間斷點的檢測通過小波變換來精確地檢測信號變化發生的時刻。（使用GUI中一維小波分析工具類中的一維小波變換）Wavelet1-D（一維小波變換窗口中）File-ExampleAnalysis-BasisSignals-withdb5atlevel5-frequencybreakdown2、小波工具箱圖形窗口的實例分析下面通過分析幾個簡單的應用實118本例中的不連續信號是由一個低頻的正弦波與一個高頻的正弦波連接而成的。通過使用GUI中一維小波工具使用小波函數db5對信號做5層小波分解。得到如下圖所示的分解結果。從圖中可以看出，第一層和第二層細節系數最為清楚地反映出不連續性。這是因為前兩層細節系數包含信號的高頻成分，由于在這個信號中，間斷的時間間隔非常短，所以包含了頻率很高的成分，因此在捕捉高頻成分的d1和d2系數中，在間斷的位置，系數有很大的幅值。在圖中，間斷點的定位也非常精確，從圖中可以看出，只有在時間點500附近一個很小的區域內，前兩層細節系數才有很大的幅值。本例中的不連續信號是由一個低頻的正弦波與一個高頻的正弦波連接119（2）導數間斷點的檢測上例中，討論了信號本身的間斷點問題。在實際應用中，還有一類重要的間斷問題，就是導數的間斷，這種信號本身可能是連續的，但信號的導數代表了信號的另一類重要的信息，如導數的不連續很可能意味著系統的突變或故障的發生。Wavelet1-D（一維小波變換窗口中）File-ExampleAnalysis-BasisSignals-withdb2atlevel2-twonearbydiscontinuities（2）導數間斷點的檢測上例中，討論了信號本身的間斷點問題。在120本例中使用GUI中一維小波工具對該信號進行分解，分解的過程使用小波函數db2對信號做2層小波分解。得到如下圖所示的分解結果。在分解得到的細節系數中，只有中部的系數比較大，其余部分基本為零。將視窗放大到系數中部t=500附近仔細觀察，可以發現，只有中間的系數幅值比較大，而其他部分可以忽略。這個特征就意味著該點附近存在高頻信息、突變或不連續。本例中使用GUI中一維小波工具對該信號進行分解，分解的過程使121（3）階躍信號階躍信號是信號處理中一類很常見的信號，尤其系統出現故障時，往往體現為某些信號的不連續。Wavelet1-D（一維小波變換窗口中）File-ExampleAnalysis-BasisSignals-withdb2atlevel5-stepsignal本例中使用GUI中一維小波工具對階躍信號進行分解，分解的過程使用小波函數db2對信號做5層小波分解。得到如下圖所示的分解結果。（3）階躍信號階躍信號是信號處理中一類很常見的信號，尤其系統122本例中，信號躍變發生的時刻為500，在所有層次的小波系數中都體現了這個變化。但是相對而言，高分辨率的系數對階躍時刻的定位有著更高的精度。從圖中可以看出，在第一層的系數中，階躍的范圍非常窄，可以很方便地定位出階躍發生的時刻。本例中，信號躍變發生的時刻為500，在所有層次的小波系數中都123第六章基于小波變換的故障診斷方法小波變換的基本原理奇異性的檢測基于小波變換的原油管道泄漏檢測第六章基于小波變換的故障診斷方法小波變換的基本原理124一、小波變換的基本原理小波變換是由法國理論物理學家Grossmann與法國數學家Morlet共同提出的。小波分析是近20多年來發展起來的新興學科，其基礎是平移和伸縮下的不變性，這使得能將一個信號分解成對空間和尺度的獨立貢獻，同時又不丟失原有信號的信息。小波的由來一、小波變換的基本原理小波變換是由法國理論物理學家Gross125小波變換是一種能夠在時間－頻率兩域對信號進行分析的方法，具有可以對信號在不同范圍、不同的時間區域內進行分析，對噪聲不敏感，能夠分析到信號的任意細節等優點，在信號處理領域獲得越來越廣泛的應用，被譽為“數學顯微鏡”。小波變換是一種能夠在時間－頻率兩域對信號進行分析的方法，具有126小波分析和Fourier分析傅立葉變換是一個十分重要的工具，無論是在一般的科學研究中，還是在工程技術的應用中，它都發揮著基本工具的作用。從歷史發展的角度來看，自從法國科學家J.Fourier在1807年為了得到熱傳導方程簡便解法而首次提出著名的傅立葉分析技術以來，傅立葉變換首先在電氣工程領域得到成功應用，之后，傅立葉變換迅速得到越來越廣泛的應用，而且理論上也得到了深入研究。小波分析和Fourier分析傅立葉變換是一個十分重要的工具127傅立葉變換最重要的意義是它引進了頻率的概念，他把一個函數展開成各種頻率的諧波的線性疊加，由此引出了一系列頻譜分析的理論。很多在時域中看不清的問題，在頻域中卻能一目了然。因此，長期以來，Fourier分析理論不論在數學中還是工程科學中一直占領著極其重要的地位。傅立葉變換最重要的意義是它引進了頻率的概念，他把一個函數展開128傅立葉分析的實質在于將一個任意的函數f(t)表示為具有不同頻率的諧波函數的線性疊加。即一族標準函數的加權求和，從而將對原來函數的研究轉化為對這個疊加的權系數的研究：其中，權函數：就是原來函數f(t)的傅里葉變換。傅立葉分析的實質在于將一個任意的函數f(t)表示為具有不同頻129經過以上的變換，就將對的研究，轉化為對權系數，即其傅氏變換的研究。從以上分析可知，經典的傅氏分析是一種純頻域分析。上式中，各符號的含義：表示頻域函數；表示對原函數f(t)的傅里葉變換；表示對頻域函數的傅里葉反變換。經過以上的變換，就將對的研究，轉化為對權系數，即其傅氏變換的130傅里葉變換是時域到頻域互相轉化的工具，從物理意義上講，傅里葉變換的實質是把f(t)這個波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和。從傅里葉變換中可以看出，這些標準基是由正弦波及其高次諧波組成的，因此它在頻域內是局部化的。傅里葉變換是時域到頻域互相轉化的工具，從物理意義上講，傅里葉131例：假設一信號的主要頻率成分是100Hz和400Hz，如下圖所示，通過傅里葉變換對其頻率成分進行頻域分析。上圖為原始信號，從圖中看不出100Hz和400Hz的任何頻域信息。但從下圖的信號頻譜分析中，可以明顯看出信號的頻率特性。例：假設一信號的主要頻率成分是100Hz和400Hz，如下圖132從上例中可知，雖然傅里葉變換能夠將信號的時域特征和頻域特征聯系起來，能分別從信號的時域和頻域進行觀察，但卻不能把兩者有機地結合起來。信號的時域波形中不包含任何頻域信息；而其傅里葉譜是信號的統計特性，從其表達式中也可以看出，它是整個時間域內的積分，沒有局部化分析信號的功能，完全不具備時域信息。也就是說，對于傅里葉譜中的某一頻率，不知道這個頻率是在什么時侯產生的。這樣，在信號分析中就面臨一對最基本的矛盾：時域和頻域的局部化矛盾。從上例中可知，雖然傅里葉變換能夠將信號的時域特征和頻域特征聯133在實際的信號處理過程中，尤其是對非平穩信號的處理中，信號在任一時刻附近的頻域特征都很重要。如在故障診斷中，故障點（機械故障、控制系統故障、電力系統故障等）一般都對應于測試信號的突變點。對于這些時變信號進行分析，通常需要提取某一時間段（或瞬間）的頻率信息或某一頻率段所對應的時間信息。因此，需要尋求一種具有一定的時間和頻率分辨率的基函數來分析時變信號。在實際的信號處理過程中，尤其是對非平穩信號的處理中，信號在任134為了研究信號的局部特征，科學家們提出了一些對傅里葉變換進行改進的算法，其中短時傅里葉變換（ShortTimeFourierTransform－STFT）就是比較有代表性的一種。短時傅里葉變換是一種折衷的信號時、頻信息分析方法，它是DennisGabor于1946年提出的。為了研究信號的局部特征，科學家們提出了一些對傅里葉變換進行改135短時傅里葉變換的基本思想是：通過給信號加一個小窗，將信號劃分為許多小的時間間隔，用傅里葉變換來對每一個時間間隔內的信號進行分析，以便確定該時間間隔內的頻率信息。它假定非平穩信號在分析窗函數g(t)的這個短時間間隔內是平穩的（偽平穩），并移動分析窗函數，使f(t)g(t-τ)在不同的有限時間寬度內是平穩信號，從而計算出各個不同時刻的功率譜。短時傅里葉變換的基本思想是：通過給信號加一個小窗，將信號劃分136短時傅里葉變換定義如下：其中，f(t)是待分析的信號；函數是的復共軛函數；g(t)是固定的緊支集函數，稱為窗口函數。隨著時間τ的變化，g(t)所確定的“時間窗”在t軸上移動，使f(t)“逐漸”進