學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號考場號座位號數學（A）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若復數為純虛數，則實數的值為（)A． B． C． D．2．已知集合，，若，則的可能取值組成的集合為（）A． B． C． D．3．為了評估某家快遞公司的服務質量，某評估小組進行了客戶滿意度調查，從該公司參與調查的客戶中隨機抽取名客戶的評分，評分均在區間上，分組為，,,，,其頻率分布直方圖如圖所示．規定評分在分以下表示對該公司的服務質量不滿意，則這名客戶中對該公司的服務質量不滿意的客戶的人數為(）A． B． C． D．4．已知定義在上的奇函數在上單調遞減，且，若，，，則,，的大小關系是（）A． B． C． D．5．已知四邊形中，，分別為，的中點,，，若，則（）A． B． C． D．6．已知在正方體中，,分別為，上的點，且滿足，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的漸近線分別為,，點是軸上與坐標原點不重合的一點，以為直徑的圓交直線于點，，交直線于點,，若,則該雙曲線的離心率是(）A．或 B． C．或 D．8．若函數恰有兩個不同的零點，則實數的取值范圍為()A． B． C． D．二、多項選擇題:本題共4小題，每小題5分,共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．已知的展開式中各項系數之和為，第二項的二項式系數為,則（）A． B．C．展開式中存在常數項 D．展開式中含項的系數為10．已知函數的圖象的一條對稱軸為直線,為函數的導函數，函數，則下列說法正確的是（）A．直線是圖象的一條對稱軸 B．的最小正周期為C．是圖象的一個對稱中心 D．的最大值為11．如圖，直接三棱柱，為等腰直角三角形,，且，，分別是,的中點，，分別是，上的兩個動點,則（)A．與一定是異面直線B．三棱錐的體積為定值C．直線與所成角為D．若為的中點,則四棱錐的外接球表面積為12．若存在兩個不相等的實數，,使,,均在函數的定義域內，且滿足,則稱函數具有性質，下列函數具有性質的是（）A． B．C． D．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題,每小題5分．13．《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是由商高發現,故又稱勾股定理為商高定理．我們把可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數稱為勾股數．現從，，,，這個正整數中隨機抽取個數，則恰好構成勾股數的概率為．14．已知，分別為橢圓的左、右焦點，且離心率，點是橢圓上位于第二象限內的一點，若是腰長為的等腰三角形，則的面積為．15．已知正實數，滿足，則的最小值為．16．已知數列的前項和為，且,，則;若恒成立，則實數的取值范圍為．(本題第一空2分，第二空3分)四、解答題：本大題共6個大題，共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在①，②,的周長為，③，的外接圓半徑為這三個條件中任選一個,補充到下面的問題中，并加以解答．在中，角，，的對邊分別是，，，，?，求．注：如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分．18．（12分）已知數列的前項和為，且，數列中,．（1）求的通項公式；（2）若，,求數列的前項和．19．(12分）在一場青年歌手比賽中,由名觀眾代表平均分成,兩個評分小組，給參賽選手評分,下面是兩個評分小組對同一名選手的評分情況:(1）分別計算這兩個小組評分的平均數和方差,并根據結果判斷哪個小組評分較集中;(2）在評分較集中的小組中，去掉一個最高分和一個最低分，從剩余的評分中任取名觀眾的評分，記為這個人評分之差的絕對值，求的分布列和數學期望．20．(12分）如圖,在多面體中，是邊長為的等邊三角形，,，,點為的中點,平面平面．(1)求證:平面;（2）線段上是否存在一點，使得二面角為直二面角？若存在，試指出點的位置;若不存在,請說明理由．21．（12分）如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓和橢圓，其中，,，的離心率分別為,，且滿足，，分別是橢圓的右、下頂點，直線與橢圓的另一個交點為,且．(1）求橢圓的方程；（2）與橢圓相切的直線交橢圓與點，,求的最大值．22．（12分）已知函數，其中．（1）若在定義域內是單調函數，求的取值范圍;(2）當時，求證:對任意,恒有成立．（新高考)2020-2021學年上學期高三期中備考金卷數學(A）答案第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【答案】D【解析】由為純虛數，可得，解得．2．【答案】A【解析】，，因為，所以．3．【答案】A【解析】由頻率分布直方圖可知，評分在區間上的頻率為，所以評分在區間上的客戶有(人）,即對該公司的服務質量不滿意的客戶有人．4．【答案】A【解析】因為定義在上的奇函數在上單調遞減且，所以，又,所以,而，所以，所以．5．【答案】A【解析】依題意，可知四邊形為直角梯形，，，且,，所以．6．【答案】A【解析】取線段上一點，使，連接，，如圖所示，因為，，所以，所以，，又，所以易知為異面直線與所成的角．設該正方體的棱長為，則,，所以在中，,所以．7．【答案】C【解析】由題意,不妨設，，設，則，設，由,得，由對稱性知，，且線段被平分．如圖，設與交于點，則，連接，由于為直徑,所以，則，，由，得，，因為，所以或，即或．又,所以或．當時，，則，離心率;當時，，則，離心率．8．【答案】C【解析】由題意知，,當時,，函數在上單調遞增，沒有兩個不同的零點；當時，，得，，，函數在上單調遞增；,，函數在上單調遞減，故在處取得最小值，所以,得，所以的取值范圍為．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．【答案】ABD【解析】令，得的展開式中各項系數之和為，所以，選項A正確；的展開式中第二項的二項式系數為，所以，，選項B正確；的展開式的通項公式為,令,則,所以展開式中不存在常數項，選項C錯誤；令，則，所以展開式中含項的系數為，選項D正確．10．【答案】BD【解析】因為的圖象的一條對稱軸為直線，所以，,所以,,又，所以，所以，所以,所以，，且，所以的最大值為，最小正周期為,故A、C錯誤，B、D正確．11．【答案】BCD【解析】A項，當，重合時，（即）與是相交直線，故該說法錯誤;B項,由已知可得，又平面平面，所以平面，在矩形中，的面積，又，所以三棱錐的體積，所以該說法正確；C項，由平面，得，又，所以平面，所以,所以該說法正確;D項，由題意可得四邊形為矩形，連接，則矩形外接圓的圓心為的中點，且，過作與點，連接，，則，，，故，所以就是四棱錐的外接球的球心，所以外接球半徑，故外接球的表面積，故該說法正確．12．【答案】BD【解析】對于A，因為函數的定義域為，，所以，由于,所以恒成立，故A不具有性質;對于B,函數的定義域為，取,，則,所以，所以成立,故B具有性質;對于C，函數的定義域為，當，時，，由于，所以，易知在上單調遞增,所以恒成立，故C不具有性質；對于D，函數的定義域為，易知為奇函數，取，則，所以,,所以成立，故D具有性質．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】【解析】從，，,，這個正整數中隨機抽取個數，可能的情況有，，，，，，，，,共種，其中恰好構成勾股數的情況有種，為,所以所求概率為．14．【答案】【解析】由題意知，則，又，∴,由橢圓的定義得，又是腰長為的等腰三角形,且點在第二象限，∴，，過作于點，則,，∴的面積為．15．【答案】【解析】由，得，故（當且僅當，時取等號），所以的最小值為．16．【答案】，【解析】由，,得，,所以數列是首項為,公比為的等比數列，所以,，．又，所以恒成立，即，恒成立．令，則，所以是遞減數列，所以，，即，實數的取值范圍為．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【答案】見解析．【解析】若選條件①，由正弦定理可化為,又，所以，，，,因為，,所以，，，則,又，所以，,．若選條件②,由正弦定理,可化為，又，所以，，，，因為，，所以，,,所以，因為的周長為，，所以，由余弦定理可得，所以．若選條件③，由正弦定理，可化為，又,所以，,,，因為,，所以，,，所以，又，所以，因為的外接圓半徑為,所以，所以．18．【答案】（1）；（2)139．【解析】（1）由①,可得②，①②，所以,又，,所以，所以，故是首項為，公比為的等比數列，故．（2）由題意得，，所以，則,,…,,，所以，所以，所以，所以，易得也適合上式，所以的前項和為．19．【答案】（1），；，;組的評分更集中一些;（2)分布列見解析；．【解析】（1）；．;．根據方差的概念及實際含義可知，組的評分的幾種程度更高一些．(2）從組評分中去掉一個最高分，去掉一個最低分,易知的所有可能取值為,，，,．從人的評分中任取人的評分,共有種等可能的結果，把組成績按照從大到小排成一列為，，，，，，，,則，，,,，所以的分布列是的數學期望．20．【答案】(1)證明見解析；（2）當為線段上靠近點的八等分點時，二面角為直二面角．【解析】(1）因為,是邊長為的等邊三角形，所以，所以是等腰直角三角形,．又點為的中點，所以，因為平面平面,平面平面，所以平面．因為，,所以,,所以,，又，所以平面,所以，因為平面，平面，所以平面．(2)存在滿足題意的，連接，以為原點,，，所在直線分別為,，軸,建立如圖所示的空間直角坐標系，設存在,使得二面角為直二面角，易知，設平面的法向量為,則由,，得，令,得，,故；設平面的法向量為,則由，，由，令，得，，故，由，得，故，所以當為線段上靠近點的八等分點時,二面角為直二面角．21．【答案】(1);（2)．【解析】（1）由題意知，，因為，所以，,將等號兩邊同時平方，得，即,所以，又,所以，，所以，,所以直線的方程為，與橢圓聯立并消去,得，整理得,,所以,因為，所以，得,所以，橢圓的方程為．(2）當直線的斜率不存在時，易得．當直線的斜率存在時，設直線，與橢圓聯立并消去，得，因為直線與橢圓相切，所以，整理得（*),將直線與橢圓方程聯立并消去，得,由（＊)式可得．設，，則，，所以，設,則，,，所以當，即時，最大，且最大值為