簡單多面體的外接球問題有關(guān)簡單多面體的外接球,內(nèi)切球問題衡東縣第二中學(xué)刈長征一.外接球憫題若一個簡單多面體的所有頂點都在一個球面上,則該球為此多面體的外接球.簡單方面體的外接球間即是立體幾何的重點相難點,此類同題實質(zhì)是解?更球的半袖長或輸量球心也置問題，其中理心位置的磷定是關(guān)蚓，下面介邰幾種常見的球心位置的確定方法.1.由球的定義確定球心的位置如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的矩商都相等1那么這個定點就是速間單衣而體向外接球的球心.由此，可‘n得鯽儲定的單苗面體外接耳的球心位置有如卜泮心結(jié)論1,正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點.伊；《加17年斷課標(biāo)全國n文數(shù);長方體的長、射.高分別為52、I,其頂點都興球44球而上，則球口的表面積為 ,解』長方體體對加線k為廬后于二而+可以長方體外接球?qū)W徑出一平，所以長方體外接球的相面根為S工4網(wǎng)月？尸14汗,結(jié)論2；正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點,B匚例：｛式II下陜西理數(shù))已知底面邊長為I.州掖長J5的正四校杵的各個項點均在同個B匚球的球而上.則慢球的體積為1)3,十必—氏4開 C.2zr3解:如留，正四棱柱ABCD-胃RGDj.底面為邊長為1.側(cè)棱長沏J5,設(shè)讓I分別為下.上底的中心.HI的中點為a下以。為外接球的球心,A所以外接球半使上航:包甲=1.所以外接球體積F=半#'=T.能其實此四校柱即任方悻，A。也城是長方陣體時俅戲艮的T?二結(jié)論3七直棱柱的外接球的球心是上、下底面旁邊形外心連線的中點*例工(現(xiàn)13年遼寧文教)巴妞直三極柱ABC?ABM的六個頂點都在球。的球面上，若4B=3.M=4.力8上力「，44,=12.則球門的半經(jīng)為()此M2K2加C.—D.3M2 2解：如圖,也趣意可行，校村上、下底面為立如三相形.所以上、下底麗外接圓的圓心分別為BC、BC的中點，分別設(shè)莖分別為I、兒設(shè)HI的中點為5則點0為三棱柱外接球的球心，在Rf^BHO中,BO-48H、0i『="?所以外接班的半程網(wǎng).2 2注土上述結(jié)論】，結(jié)論2都可以看作結(jié)論3的特殊情況.結(jié)論金正校轄外接球的球心在其高上，具體位置通過構(gòu)造直角三角形計算得到.例；〈2014年大綱全國）正四梭錐的頂點都在同一球面上,若該四核批的島為4,底面邊長為2,則該球的衣面枳為（）TOC\o"1-5"\h\za817r c> 〃 c r、 27萬A.- B. 16萬 C. 9% D. ,4 4解：如圖，設(shè)OI為底為正方形ABCD的中心,外接球球心為0,所以，PQ、1^\\ABCD.0在附上，設(shè)外接球0的外徑為R,則設(shè)A0=P0,在RfA/IOOi中,R=AO=QAO：+OO：=QAO：+(POi-R$=孑所以，外接球的表面積為5=4乃川=4結(jié)論5,若棱錐的頂點可構(gòu)其斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心。例*（2017年新課標(biāo)全國I文教改編）已知三棱錯好用父的所有頂點都在球（）的球面上，若平面SC41.平面SCB,SA=ACSB=BC,SA±ACtSBLSC,三棱錐S-ABC的體枳為9,則球的表面根為 .解；如圖，?.?5>I_L/CSBJ_6C，"0為SC的中點,由汽角三角形斜邊上的中線等于斜邊的?華，可得點0到AtB,C,S的距離相等，故點0為三棱卷外接耳的身心。?.?平面SC41平面SCB.SB二BC,.,.。5J,平面SAC.設(shè)球。的半徑為R,則匕…RR=;R=9,.?.A=27.4-3.所以外接球衣而枳為5-4":36旌2,構(gòu)造正方體、長方體、直棱柱等用上述結(jié)論確定外接球的球心（1）同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體，求其外接球問題可構(gòu)造正方體或長方體。如下圖:例：（2012年遼寧理數(shù)）已知正三棱錐P-A%點八A、氏C都在半徑為O球面上，若PA、PB、PC兩兩互相垂直,則球心到截面ABC的距離是解：如圖,構(gòu)造正方體.則球心為正方體的中心0.易求得正方體梭長為2,設(shè)點0到面ABC的距離為d.作川垂直MN交MN于H,由聯(lián)例?=%如，得：?所以d=且.3（2）框?qū)Φ墓ｉL相等的三棱錐，求其外接球問題可構(gòu)造正方體或長方體.

A加FSI：A例：《2003全國）一個四而體的所有梭長都為JI.四個頂點在同?球而上,則此球的表而積為（）A.3aB.44C.36兀D.6乃解；根據(jù)上述方法，構(gòu)造正方體，則正方體校氏為1,因此，該四面體外接球也就校長為1的正方體外接球,所以外接球華徑汽=3,所以外接瓜表面糧為5=4兀川=3%.2（3）已知棱錐中含線面垂百：關(guān)系.求箕外接球問題，M構(gòu)造直棱柱例，（2015年廣西三川四月聯(lián)號）一:核錐PM，CULPA1AB.PA±AC.ABAC20°.PA二AB=AC=2,則此三棱錐外接球的體積為 ^解：/PA1AB.PA±AC,PA±平而48U構(gòu)造宜三核柱PQTABC,設(shè)G為A.46C外心，0為三極徘外接球球心，所以O(shè)Q±平面XSC體結(jié)論3泡：。Q=:兒26ABC由余弦定睚可求得BC=20再由正弦電理可來得△/SC外接圓半徑r-2,所以，在A/A/OQ］中，AO=（4O；+OO；=區(qū)所以，三校推P-ABC外接球半徑R二6,外接球體積卜二型&.3二.內(nèi)切球問題方一個實而體的各個而都與一個球的球面相切,則稱這個蒙面體是這個球的外切?而體，這個球是這個夢面體的內(nèi)切球.因此，多面體內(nèi)切球球心列該名而體各個面的距離相等.并非所有多而體都有內(nèi)切球，卜而介紹幾種常見多面體內(nèi)切球問題:1.正多面體內(nèi)切球的球心與其外接球的球心重合，內(nèi)切球的半徑為球心到多面體任一面的距樂例：已知桂長為a的正四而體ABCD,證明其內(nèi)切球的半價為業(yè)。12證法一：如圖.設(shè).4，_L平而8CZ）.則H為△8CQ外心，由上述結(jié)論4可得，外接球球心在AH匕設(shè)外接球球心為0,

外接及半徑為K則二BOR,在ABC。中，由正弦定理得8〃二—^’二巫。.sin60°2 3在R"BH中.AH=\/AB2-BH2=-a, BO2=BH2+OH\3，BO:=B1I2X/〃一CM）2,，ri=（#〃）?+灣a-/?『，.?.R=生,因內(nèi)切球球心與外接球肅合,所以內(nèi)切球半徑，?=。〃=/〃一/。=立“一巫a=在”.3 4 12證法:；如圖，平面6CD,詵外接球球心為0,則點Q也是內(nèi)切球球心,DAD由T內(nèi)切球球心到各個面的即席相等，都為內(nèi)切球半徑,設(shè)為“.?匕=^O-ABC+匕JTW）十匕十^O-BTIY???1￡wrAH=1S.做7/7.?4?[廠='*//="a3皿3 4 12注：求校錐內(nèi)切球半徑，一般可用等體積法.即由內(nèi)切球球心叮核推各個頂點的連線將原棱錐分割成以原校各面底面，以內(nèi)切球球心為頂點的若干個小校崔，則各個小極錐的高部足內(nèi)切球的半徑，由分割前后的體積相等可列出關(guān)于內(nèi)切球半徑「的方程2.正棱錐的內(nèi)切球與外接球的球心都在其高線上，但不一定重合。M：正四棱錐S-ABCD,底面邊長為2,側(cè)棱長為，則內(nèi)切球華徑為解：如圖,設(shè)E為BC的中點,I為底面正方形AKD的中心.???S7?L平面SCO,則內(nèi)切球球心在SI1＞設(shè)為0,過0作O〃，S￡交SEf-lb任尺小5/。3易求出S/=x/7,即正四棱錐S