中考真題精編匯總中考真題精編匯總第頁碼58頁/總NUMPAGES總頁數58頁中考真題精編匯總【中考數學】一元二次方程：精選真題專項打破沖刺提分60題（含答案解析）一、解答題（共60小題）1．（2014?自貢）解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）2．（2014?重慶）為豐富居民專業生活，某居民區組建籌委會，該籌委會動員居民自愿集資建立一個書刊閱覽室．經預算，一共需求籌資30000元，其中一部分用于購買書桌、書架等設備，另一部分用于購買書刊．（1）籌委會計劃，購買書刊的資金不少于購買書桌、書架等設備資金的3倍，問最多用多少資金購買書桌、書架等設備？（2）經初步統計，有200戶居民自愿參與集資，那么平均每戶需集資150元．鎮政府了解情況后，贈送了一批閱覽室設備和書籍，這樣，只需參與戶共集資20000元．經籌委會進一步宣傳，自愿參與的戶數在200戶的基礎上添加了a%（其中a＞0）．則每戶平均集資的資金在150元的基礎上減少了a%，求a的值．3．（2014?揚州）已知關于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有兩個相等的實數根，求k的值．4．（2014?）如圖，要利用一面墻（墻長為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相反的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？5．（2014?無錫）（1）解方程：x2﹣5x﹣6=0；（2）解不等式組：．6．（2014?烏魯木齊）某工廠運用舊設備生產，每月生產支出是90萬元，每月另需領取設備維護費5萬元，從今年1月份起運用新設備，生產支出進步且無設備維護費，運用當月生產支出達100萬元，1至3月份生產支出以相反的百分率逐月增長，累計達364萬元，3月份后，每月生產支出波動在3月份的程度．（1）求運用新設備后，2月、3月生產支出的月增長率；（2）購進新設備需性領取640萬元，運用新設備幾個月后，該廠所得累計利潤不低于運用舊設備的累計利潤？（累計利潤是指累計生產支出減去就設備維護費或新設備購進費）7．（2014?遂寧）解方程：x2+2x﹣3=0．8．（2014?隨州）楚天汽車公司5月份某種型號汽車，當月該型號汽車的進價為30萬元/輛，若當月量超過5輛時，每多售出1輛，一切售出的汽車進價均降低0.1萬元/輛．根據市場調查，月量不會打破30臺．（1）設當月該型號汽車的量為x輛（x≤30，且x為正整數），實踐進價為y萬元/輛，求y與x的函數關系式；（2）已知該型號汽車的價為32萬元/輛，公司計劃當月利潤25萬元，那么該月需售出多少輛汽車？（注：利潤=價﹣進價）9．（2014?十堰）已知關于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1=0．（1）若方程有實數根，求實數m的取值范圍；（2）若方程兩實數根分別為x1，x2，且滿足（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，求實數m的值．10．（2014?齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸、y軸的正半軸上（OA＜OB），且OA、OB的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個根．線段AB的垂直平分線CD交AB于點C，交x軸于點D，點P是直線CD上一個動點，點Q是直線AB上一個動點．（1）求A、B兩點的坐標；（2）求直線CD的解析式；（3）在坐標平面內能否存在點M，使以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是正方形，且該正方形的邊長為AB長？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請闡明理由．11．（2014?南充）已知關于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有兩個不相等的實數根．（1）求實數m的整數值；（2）在（1）的條下，方程的實數根是x1，x2，求代數式x12+x22﹣x1x2的值．12．（2014?梅州）已知關于x的方程x2+ax+a﹣2=0（1）若該方程的一個根為1，求a的值及該方程的另一根；（2）求證：不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根．13．（2014?瀘州）已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的兩實數根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一邊長為7，若x1，x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．14．（2014?黃石）解方程：．15．（2014?懷化）設m是不小于﹣1的實數，使得關于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有兩個不相等的實數根x1，x2．（1）若+=1，求的值；（2）求+﹣m2的值．16．（2014?葫蘆島）有n個方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小靜同窗解個方程x2+2x﹣8=0的步驟為：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小靜的解法是從步驟開始出現錯誤的．（2）用配方法解第n個方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）（2014?衡陽）學校去年年底的綠化面積為5000平方米，估計到明年年底添加到7200平方米，求這兩年的年平均增長率．18．（2014?河北）嘉淇同窗用配方法推導一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式時，對于b2﹣4ac＞0的情況，她是這樣做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0變形為：x2+x=﹣，…步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法從第步開始出現錯誤；理想上，當b2﹣4ac＞0時，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是．用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．19．（2014?防城港）我市郊區去年年底電動車擁有量是10萬輛，為了緩解城區交通擁堵情況，今年年初，市交通部門要求我市到明年年底電動車擁有量不超過11.9萬輛，估計每年報廢的電動車數量是上一年年底電動車擁有量的10%，假定每年新增電動車數量相反，問：（1）從今年年初起每年新增電動車數量最多是多少萬輛？（2）在（1）的結論下，今年年底到明年年底電動車擁有量的年增長率是多少？（結果到0.1%）20．（2014?鄂州）一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．（1）若方程有兩實數根，求m的范圍．（2）設方程兩實根為x1，x2，且|x1﹣x2|=1，求m．21．（2014?北京）已知關于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求證：方程總有兩個實數根；（2）若方程的兩個實數根都是整數，求正整數m的值．（2013?自貢）用配方法解關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．23．（2013?淄博）關于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有實根．（1）求a的整數值；（2）當a取整數值時，①求出該方程的根；②求的值．24．（2013?漳州）解方程：x2﹣4x+1=0．25．（2013?義烏市）解方程（1）x2﹣2x﹣1=0（2）=．26．（2013?徐州）（1）解方程：x2﹣2x=1；（2）解不等式組：．27．（2013?孝感）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有兩個實數根x1，x2．（1）求實數k的取值范圍；（2）能否存在實數k使得x1?x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請闡明理由．28．（2013?無錫）（1）解方程：x2+3x﹣2=0；（2）解不等式組：．（2013?上海）解方程組：．（2013?山西）解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7．31．（2013?廈門）若x1，x2是關于x的方程x2+bx+c=0的兩個實數根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整數），則稱方程x2+bx+c=0為“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判斷方程x2+x﹣12=0能否是“偶系二次方程”，并闡明理由；（2）對于任意一個整數b，能否存在實數c，使得關于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并闡明理由．32．（2013?日照）（1）計算：．（2）已知，關于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的兩個實數根x1、x2滿足|x1|=x2，求實數m的值．33．（2013?南充）關于x的一元二次方程為（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m為何整數時，此方程的兩個根都為正整數？34．（2013?樂山）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數根．第三邊BC的長為5，當△ABC是等腰三角形時，求k的值．35．（2013?蘭州）（1）計算：（﹣1）2013﹣2﹣1+sin30°+（π﹣3.14）0（2）解方程：x2﹣3x﹣1=0．36．（2013?荊州）已知：關于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0（1）求證：無論k為任何實數，方程總有實數根；（2）若此方程有兩個實數根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值．（2013?黃石）解方程組：．（2013?杭州）當x滿足條件時，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．（2013?廣州）解方程：x2﹣10x+9=0．（2013?防城港）已知關于x的方程x2+x+n=0有兩個實數根﹣2，m．求m，n的值．41．（2013?達州）選取二次三項式ax2+bx+c（a≠0）中的兩項，配成完全平方式的過程叫配方．例如①選取二次項和項配方：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2；②選取二次項和常數項配方：，或③選取項和常數項配方：根據上述材料，處理上面成績：（1）寫出x2﹣8x+4的兩種不同方式的配方；（2）已知x2+y2+xy﹣3y+3=0，求xy的值．42．（2013?北京）已知關于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有兩個不相等的實數根．（1）求k的取值范圍；（2）若k為正整數，且該方程的根都是整數，求k的值．（2012?淄博）一元二次方程的某個根，也是一元二次方程的根，求k的值．（2012?永州）解方程：（x﹣3）2﹣9=0．45．（2012?無錫）（1）解方程：x2﹣4x+2=0（2）解不等式組：．46．（2012?溫州）（1）計算：；（2）解方程：x2﹣2x=5．（2012?遂寧）解方程：x2+4x﹣2=0．48．（2012?綿陽）已知關于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數根；（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長．49．（2012?樂山）已知關于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x=4m﹣3有實數根．（1）求m的取值范圍；（2）設方程的兩實根分別為x1與x2，求代數式x1?x2﹣x12﹣x22的值．50．（2012?黃石）解方程組：．51．（2012?菏澤）（1）先化簡，再求代數式的值．，其中a=（﹣1）2012+tan60°．（2）解方程：（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8．（2012?巴中）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．（2012?安徽）解方程：x2﹣2x=2x+1．54．（2011?武漢）解方程：x2+3x+1=0．55．（2011?無錫）（1）解方程：x2+4x﹣2=0；（2）解不等式組．56．（2011?遂寧）解方程：x（2x+1）=8x﹣3．57．（2011?上海）解方程組：．58．（2011?清遠）解方程：x2﹣4x﹣1=0．59．（2011?聊城）解方程：x（x﹣2）+x﹣2=0．60．（2011?黃石）解方程：．

真題精析：一元二次方程參考答案與試題解析一、解答題（共60小題）1．（2014?自貢）解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）考點：解一元二次方程-因式分解法．專題：因式分解．分析：先移項，然后提取公因式（x﹣2），對等式的左邊進行因式分解．解答：解：由原方程，得（3x+2）（x﹣2）=0，所以3x+2=0或x﹣2=0，解得x1=﹣，x2=2．點評：本題考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．2．（2014?重慶）為豐富居民專業生活，某居民區組建籌委會，該籌委會動員居民自愿集資建立一個書刊閱覽室．經預算，一共需求籌資30000元，其中一部分用于購買書桌、書架等設備，另一部分用于購買書刊．（1）籌委會計劃，購買書刊的資金不少于購買書桌、書架等設備資金的3倍，問最多用多少資金購買書桌、書架等設備？（2）經初步統計，有200戶居民自愿參與集資，那么平均每戶需集資150元．鎮政府了解情況后，贈送了一批閱覽室設備和書籍，這樣，只需參與戶共集資20000元．經籌委會進一步宣傳，自愿參與的戶數在200戶的基礎上添加了a%（其中a＞0）．則每戶平均集資的資金在150元的基礎上減少了a%，求a的值．考點：一元二次方程的運用；一元不等式的運用．專題：運用題．分析：（1）設用于購買書桌、書架等設備的為x元，則購買書籍的有（30000﹣x）元，利用“購買書刊的資金不少于購買書桌、書架等設備資金的3倍”，列出不等式求解即可；（2）根據“自愿參與的戶數在200戶的基礎上添加了a%（其中a＞0）．則每戶平均集資的資金在150元的基礎上減少了a%，且總集資額為20000元”列出方程求解即可．解答：解：（1）設用于購買書桌、書架等設備的為x元，則購買書籍的有（30000﹣x）元，根據題意得：30000﹣x≥3x，解得：x≤7500．答：最多用7500元購買書桌、書架等設備；（2）根據題意得：200（1+a%）×150（1﹣a%）=20000整理得：a2+10a﹣3000=0，解得：a=50或a=﹣60（舍去），所以a的值是50．點評：本題考查了一元二次方程的運用及一元不等式的運用，解題的關鍵是從標題中整理出等量關系和不等關系，難度不大．3．（2014?揚州）已知關于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有兩個相等的實數根，求k的值．考點：根的判別式；一元二次方程的定義．分析：根據根的判別式令△=0，建立關于k的方程，解方程即可．解答：解：∵關于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有兩個相等的實數根，∴△=0，∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）×=0，整理得，k2﹣3k+2=0，即（k﹣1）（k﹣2）=0，解得：k=1（不符合一元二次方程定義，舍去）或k=2．∴k=2．點評：本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．4．（2014?）如圖，要利用一面墻（墻長為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相反的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？考點：一元二次方程的運用．專題：運用題．分析：設AB的長度為x，則BC的長度為（100﹣4x）米；然后根據矩形的面積公式列出方程．解答：解：設AB的長度為x，則BC的長度為（100﹣4x）米．根據題意得（100﹣4x）x=400，解得x1=20，x2=5．則100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20．答：羊圈的邊長AB，BC分別是20米、20米．點評：本題考查了一元二次方程的運用．解題關鍵是要讀懂標題的意思，根據標題給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．5．（2014?無錫）（1）解方程：x2﹣5x﹣6=0；（2）解不等式組：．考點：解一元二次方程-因式分解法；解一元不等式組．專題：計算題．分析：（1）方程左邊分解因式后，利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元方程來求解；（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分即可．解答：解：（1）方程變形得：（x﹣6）（x+1）=0，解得：x1=6，x2=﹣1；（2），由①得：x≥3；由②得：x＞5，則不等式組的解集為：x＞5．點評：此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及一元不等式組，純熟掌握運算法則是解本題的關鍵．6．（2014?烏魯木齊）某工廠運用舊設備生產，每月生產支出是90萬元，每月另需領取設備維護費5萬元，從今年1月份起運用新設備，生產支出進步且無設備維護費，運用當月生產支出達100萬元，1至3月份生產支出以相反的百分率逐月增長，累計達364萬元，3月份后，每月生產支出波動在3月份的程度．（1）求運用新設備后，2月、3月生產支出的月增長率；（2）購進新設備需性領取640萬元，運用新設備幾個月后，該廠所得累計利潤不低于運用舊設備的累計利潤？（累計利潤是指累計生產支出減去就設備維護費或新設備購進費）考點：一元二次方程的運用；一元不等式的運用．專題：增長率成績．分析：（1）設每月的增長率為x，那么2月份的生產支出為100（1+x），三月份的生產支出為100（1+x）2，根據1至3月份的生產支出累計可達364萬元，可列方程求解．（2）設運用新設備y個月后，該廠所得累計利潤不低于運用舊設備的累計利潤，根據不等關系可列不等式求解．解答：解：（1）設每月的增長率為x，由題意得：100+100（1+x）+100（1+x）2=364，解得x=0.2，或x=﹣3.2（不合題意舍去）答：每月的增長率是20%．（2）設運用新設備y個月后，該廠所得累計利潤不低于運用舊設備的累計利潤，依題意有364+100（1+20%）2（y﹣3）﹣640≥（90﹣5）y，解得y≥12．故運用新設備12個月后，該廠所得累計利潤不低于運用舊設備的累計利潤．點評：本題考查理一元二次方程的運用和解題能力，關鍵是找到1至3月份的生產支出累計可達100萬元和不等量關系可列方程和不等式求解．7．（2014?遂寧）解方程：x2+2x﹣3=0．考點：解一元二次方程-因式分解法．專題：計算題．分析：觀察方程x2+2x﹣3=0，可因式分解法求得方程的解．解答：解：x2+2x﹣3=0∴（x+3）（x﹣1）=0∴x1=1，x2=﹣3．點評：解方程有多種方法，要根據實踐情況進行選擇．8．（2014?隨州）楚天汽車公司5月份某種型號汽車，當月該型號汽車的進價為30萬元/輛，若當月量超過5輛時，每多售出1輛，一切售出的汽車進價均降低0.1萬元/輛．根據市場調查，月量不會打破30臺．（1）設當月該型號汽車的量為x輛（x≤30，且x為正整數），實踐進價為y萬元/輛，求y與x的函數關系式；（2）已知該型號汽車的價為32萬元/輛，公司計劃當月利潤25萬元，那么該月需售出多少輛汽車？（注：利潤=價﹣進價）考點：一元二次方程的運用；分段函數．專題：成績．分析：（1）根據分段函數可以表示出當0＜x≤5，5＜x≤30時由數量與進價的關系就可以得出結論；（2）由利潤=價﹣進價，由（1）的解析式建立方程就可以求出結論．解答：解：（1）由題意，得當0＜x≤5時y=30．當5＜x≤30時，y=30﹣0.1（x﹣5）=﹣0.1x+30.5．∴y=；（2）當0＜x≤5時，（32﹣30）×5=10＜25，不符合題意，當5＜x≤30時，[32﹣（﹣0.1x+30.5）]x=25，解得：x1=﹣25（舍去），x2=10．答：該月需售出10輛汽車．點評：本題考查了分段函數的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時求出分段函數的解析式是關鍵．9．（2014?十堰）已知關于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1=0．（1）若方程有實數根，求實數m的取值范圍；（2）若方程兩實數根分別為x1，x2，且滿足（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，求實數m的值．考點：根的判別式；根與系數的關系．專題：判別式法．分析：（1）若一元二次方程有兩實數根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍；（2）由x1+x2=﹣2（m+1），x1x2=m2﹣1；代入（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，建立關于m的方程，據此即可求得m的值．解答：解：（1）由題意有△=[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）≥0，整理得8m+8≥0，解得m≥﹣1，∴實數m的取值范圍是m≥﹣1；（2）由兩根關系，得x1+x2=﹣（2m+1），x1?x2=m2﹣1，（x1﹣x2）2=16﹣x1x2（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16=0，∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16=0，∴m2+8m﹣9=0，解得m=﹣9或m=1∵m≥﹣1∴m=1．點評：本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數關系，利用兩根關系得出的結果必須滿足△≥0的條件．10．（2014?齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸、y軸的正半軸上（OA＜OB），且OA、OB的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個根．線段AB的垂直平分線CD交AB于點C，交x軸于點D，點P是直線CD上一個動點，點Q是直線AB上一個動點．（1）求A、B兩點的坐標；（2）求直線CD的解析式；（3）在坐標平面內能否存在點M，使以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是正方形，且該正方形的邊長為AB長？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請闡明理由．考點：一元二次方程的解；函數綜合題；正方形的性質；類似三角形的判定．專題：綜合題．分析：（1）利用因式分解法解方程x2﹣14x+48=0，求出x的值，即可得到A、B兩點的坐標；（2）先在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB==10，根據線段垂直平分線的性質得到AC=AB=5．再由兩角對應相等的兩三角形類似證明△ACD∽△AOB，由類似三角形對應邊成比例得出=，求出AD=，得到D點坐標（﹣，0），根據中點坐標公式得出C（3，4），然后利用待定系數法即可求出直線CD的解析式；（3）分兩種情況進行討論：①當點Q與點B重合時，先求出BM的解析式為y=x+8，設M（x，x+8），再根據BM=5列出方程（x+8﹣8）2+x2=52，解方程即可求出M的坐標；②當點Q與點A重合時，先求出AM的解析式為y=x﹣，設M（x，x﹣），再根據AM=5列出方程（x﹣）2+（x﹣6）2=52，解方程即可求出M的坐標．解答：解：（1）解方程x2﹣14x+48=0，得x1=6，x2=8，∵OA＜OB，∴A（6，0），B（0，8）；（2）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB==10，∵線段AB的垂直平分線CD交AB于點C，∴AC=AB=5．在△ACD與△AOB中，，∴△ACD∽△AOB，∴=，即=，解得AD=，∵A（6，0），點D在x軸上，∴D（﹣，0）．設直線CD的解析式為y=kx+b，由題意知C為AB中點，∴C（3，4），∵D（﹣，0），∴，解得，∴直線CD的解析式為y=x+；（3）在坐標平面內存在點M，使以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是正方形，且該正方形的邊長為AB長．∵AC=BC=AB=5，∴以點C、P、Q、M為頂點的正方形的邊長為5，且點Q與點B或點A重合．分兩種情況：①當點Q與點B重合時，易求BM的解析式為y=x+8，設M（x，x+8），∵B（0，8），BM=5，∴（x+8﹣8）2+x2=52，化簡整理，得x2=16，解得x=±4，∴M1（4，11），M2（﹣4，5）；②當點Q與點A重合時，易求AM的解析式為y=x﹣，設M（x，x﹣），∵A（6，0），AM=5，∴（x﹣）2+（x﹣6）2=52，化簡整理，得x2﹣12x+20=0，解得x1=2，x2=10，∴M3（2，﹣3），M4（10，3）；綜上所述，所求點M的坐標為M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（10，3）．點評：本題是函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求函數的解析式，一元二次方程的解法，類似三角形的判定與性質，正方形的性質，綜合性較強，難度適中．運用數形、分類討論及方程思想是解題的關鍵．11．（2014?南充）已知關于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有兩個不相等的實數根．（1）求實數m的整數值；（2）在（1）的條下，方程的實數根是x1，x2，求代數式x12+x22﹣x1x2的值．考點：根與系數的關系；根的判別式．專題：代數綜合題．分析：（1）若一元二次方程有兩不等實數根，則根的判別式△=b2﹣4ac＞0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍，進而得出m的整數值；（2）根據（1）可知：m=1，繼而可得一元二次方程為x2﹣2x+1=0，根據根與系數的關系，可得x1+x2=2，x1x2=1，再將x12+x22﹣x1x2變形為（x1+x2）2﹣3x1x2，則可求得答案．解答：解：∵一元二次方程x2﹣2x+m=0有兩個不相等的實數根，∴△=8﹣4m＞0，解得m＜2，故整數m的值為1；（2）∵m=1，∴此一元二次方程為：x2﹣2x+1=0，∴x1+x2=2，x1x2=1，∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．點評：此題考查了一元二次方程根與系數的關系與根的判別式．此題難度不大，解題的關鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．掌握根與系數的關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=．12．（2014?梅州）已知關于x的方程x2+ax+a﹣2=0（1）若該方程的一個根為1，求a的值及該方程的另一根；（2）求證：不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根．考點：根的判別式；一元二次方程的解；根與系數的關系．專題：判別式法．分析：（1）將x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根據根與系數的關系求出另一根；（2）寫出根的判別式，配方后得到完全平方式，進行解答．解答：解：（1）將x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；方程為x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，設另一根為x1，則1?x1=﹣，x1=﹣．（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，∴不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根．點評：本題考查了根的判別式和根與系數的關系，要記牢公式，靈活運用．13．（2014?瀘州）已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的兩實數根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一邊長為7，若x1，x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．考點：根與系數的關系；三角形三邊關系；等腰三角形的性質．專題：代數幾何綜合題．分析：（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1?x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；（2）分7為底邊和7為腰兩種情況分類討論即可確定等腰三角形的周長．解答：解：（1）∵x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的兩實數根，∴x1+x2=2（m+1），x1?x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1?x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；當m=﹣4時原方程無解，∴m=6；（2）①當7為底邊時，此時方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有兩個相等的實數根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程變為x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能構成三角形；②當7為腰時，設x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，當m=10時方程變為x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能組成三角形；當m=4時方程變為x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此時三角形的周長為7+7+3=17．點評：本題考查了根與系數的關系及三角形的三邊關系，解題的關鍵是熟知兩根之和和兩根之積分別與系數的關系．14．（2014?黃石）解方程：．考點：高次方程．專題：計算題．分析：先把方程組的第二個方程進行變形，再代入方程組中的個方程，即可求出x，把x的值代入方程組的第二個方程，即可求出y．解答：解：，由方程x﹣2y=2得：4y2=15x2﹣60x+60（3），將（3）代入方程5x2﹣4y2=20，化簡得：x2﹣6x+8=0，解此方程得：x=2或x=4，代入x﹣2y=2得：y=0或，即原方程組的解為或．點評：本題考查了解高次方程的運用，解此題的關鍵是能得出關于x定的一元二次方程，標題比較好，難度適中．15．（2014?懷化）設m是不小于﹣1的實數，使得關于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有兩個不相等的實數根x1，x2．（1）若+=1，求的值；（2）求+﹣m2的值．考點：根與系數的關系；根的判別式；二次函數的最值．專題：代數綜合題．分析：（1）首先根據根的判別式求出m的取值范圍，利用根與系數的關系，求出符合條件的m的值；（2）把利用根與系數的關系得到的關系式代入代數式，細心化簡，m的取值范圍求出代數式的值．解答：解：∵方程有兩個不相等的實數根，∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，∴m＜1，題意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，∴+===1解得：m1=，m2=（不合題意，舍去）∴=﹣2．（2）+﹣m2=﹣m2=﹣2（m﹣1）﹣m2=﹣（m+1）2+3．當m=﹣1時，值為3．點評：此題考查根與系數的關系，一元二次方程的根的判別式△=b2﹣4ac來求出m的取值范圍；解答此題的關鍵是熟知一元二次方程根與系數的關系：x1+x2=﹣，x1x2=．16．（2014?葫蘆島）有n個方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小靜同窗解個方程x2+2x﹣8=0的步驟為：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小靜的解法是從步驟⑤開始出現錯誤的．（2）用配方法解第n個方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）考點：解一元二次方程-配方法．專題：閱讀型．分析：（1）移項要變號；（2）移項后配方，開方，即可得出兩個方程，求出方程的解即可．解答：解：（1）小靜的解法是從步驟⑤開始出現錯誤的，故答案為：⑤；（2）x2+2nx﹣8n2=0，x2+2nx=8n2，x2+2nx+n2=8n2+n2，（x+n）2=9n2，x+n=±3n，x1=2nx2=﹣4n．點評：本題考查了解一元二次方程的運用，解此題的關鍵是能正確配方，標題比較好，難度適中．17．（2014?衡陽）學校去年年底的綠化面積為5000平方米，估計到明年年底添加到7200平方米，求這兩年的年平均增長率．考點：一元二次方程的運用．專題：增長率成績．分析：設這兩年的年平均增長率為x，根據題意列出方程，求出方程的解即可得到結果．解答：解：設這兩年的年平均增長率為x，根據題意得：5000（1+x）2=7200，即（1+x）2=1.44，開方得：1+x=1.2或x+1=﹣1.2，解得：x=0.2=20%，或x=﹣2.2（舍去）．答：這兩年的年平均增長率為20%．點評：考查了一元二次方程的運用，本題為增長率成績，普通方式為a（1+x）2=b，a為起始工夫的有關數量，b為終止工夫的有關數量．18．（2014?河北）嘉淇同窗用配方法推導一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式時，對于b2﹣4ac＞0的情況，她是這樣做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0變形為：x2+x=﹣，…步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法從第四步開始出現錯誤；理想上，當b2﹣4ac＞0時，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是x=．用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．考點：解一元二次方程-配方法．專題：閱讀型．分析：第四步，開方時出錯；把常數項24移項后，應該在左右兩邊同時加上項系數﹣2的一半的平方．解答：解：在第四步中，開方應該是x+=±．所以求根公式為：x=．故答案是：四；x=；用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0解：移項，得x2﹣2x=24，配方，得x2﹣2x+1=24+1，即（x﹣1）2=25，開方得x﹣1=±5，∴x1=6，x2=﹣4．點評：本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步驟：（1）形如x2+px+q=0型：步移項，把常數項移到左邊；第二步配方，左右兩邊加上項系數一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程兩邊同時除以二次項系數，即化成x2+px+q=0，然后配方．19．（2014?防城港）我市郊區去年年底電動車擁有量是10萬輛，為了緩解城區交通擁堵情況，今年年初，市交通部門要求我市到明年年底電動車擁有量不超過11.9萬輛，估計每年報廢的電動車數量是上一年年底電動車擁有量的10%，假定每年新增電動車數量相反，問：（1）從今年年初起每年新增電動車數量最多是多少萬輛？（2）在（1）的結論下，今年年底到明年年底電動車擁有量的年增長率是多少？（結果到0.1%）考點：一元二次方程的運用；一元不等式的運用．專題：增長率成績．分析：（1）根據題意分別求出今年將報廢電動車的數量，進而得出明年報廢的電動車數量，進而得出不等式求出即可；（2）分別求出今年年底電動車數量，進而求出今年年底到明年年底電動車擁有量的年增長率．解答：解：（1）設從今年年初起每年新增電動車數量是x萬輛，由題意可得出：今年將報廢電動車：10×10%=1（萬輛），∴[（10﹣1）+x]（1﹣10%）+x≤11.9，解得：x≤2．答：從今年年初起每年新增電動車數量最多是2萬輛；（2）∵今年年底電動車擁有量為：（10﹣1）+x=11（萬輛），明年年底電動車擁有量為：11.9萬輛，∴設今年年底到明年年底電動車擁有量的年增長率是y，則11（1+y）=11.9，解得：y≈0.082=8.2%．答：今年年底到明年年底電動車擁有量的年增長率是8.2%．點評：此題次要考查了一元不等式的運用以及一元方程的運用，分別表示出今年與明年電動車數量是解題關鍵．20．（2014?鄂州）一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．（1）若方程有兩實數根，求m的范圍．（2）設方程兩實根為x1，x2，且|x1﹣x2|=1，求m．考點：根的判別式；根與系數的關系．專題：判別式法．分析：（1）根據關于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有兩個實數根，得出m≠0且（﹣2m）2﹣4?m?（m﹣2）≥0，求出m的取值范圍即可；（2）根據方程兩實根為x1，x2，求出x1+x2和x1?x2的值，再根據|x1﹣x2|=1，得出（x1+x2）2﹣4x1x2=1，再把x1+x2和x1?x2的值代入計算即可．解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有兩個實數根，∴m≠0且△≥0，即（﹣2m）2﹣4?m?（m﹣2）≥0，解得m≥0，∴m的取值范圍為m＞0．（2）∵方程兩實根為x1，x2，∴x1+x2=2，x1?x2=，∵|x1﹣x2|=1，∴（x1﹣x2）2=1，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1，∴22﹣4×=1，解得：m=8；經檢驗m=8是原方程的解．點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．21．（2014?北京）已知關于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求證：方程總有兩個實數根；（2）若方程的兩個實數根都是整數，求正整數m的值．考點：根的判別式．專題：計算題．分析：（1）先計算判別式的值得到△=（m+2）2﹣4m×2=（m﹣2）2，再根據非負數的值得到△≥0，然后根據判別式的意義得到方程總有兩個實數根；（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整數的整除性確定正整數m的值．解答：（1）證明：∵m≠0，△=（m+2）2﹣4m×2=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程總有兩個實數根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，x﹣1=0或mx﹣2=0，∴x1=1，x2=，當m為正整數1或2時，x2為整數，即方程的兩個實數根都是整數，∴正整數m的值為1或2．點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．22．（2013?自貢）用配方法解關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．考點：解一元二次方程-配方法．分析：此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要留意解題步驟的精確運用，把左邊配成完全平方式，左邊化為常數．解答：解：∵關于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，∴a≠0．∴由原方程，得x2+x=﹣，等式的兩邊都加上，得x2+x+=﹣+，配方，得（x+）2=﹣，當b2﹣4ac＞0時，開方，得：x+=±，解得x1=，x2=，當b2﹣4ac=0時，解得：x1=x2=﹣；當b2﹣4ac＜0時，原方程無實數根．點評：本題考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步驟：（1）形如x2+px+q=0型：步移項，把常數項移到左邊；第二步配方，左右兩邊加上項系數一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程兩邊同時除以二次項系數，即化成x2+px+q=0，然后配方．23．（2013?淄博）關于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有實根．（1）求a的整數值；（2）當a取整數值時，①求出該方程的根；②求的值．考點：根的判別式；解一元二次方程-公式法．分析：（1）根據一元二次方程的定義和根的判別式得到△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，解得a≤且a≠6，然后在次范圍內找出的整數；（2）①把a的值代入方程得到x2﹣8x+9=0，然后利用求根公式法求解；②由于x2﹣8x+9=0則x2﹣8x=﹣9，然后把x2﹣8x=﹣9全體代入所求的代數式中得到原式=2x2﹣=2x2﹣16x+，再變形得到2（x2﹣8x）+，再利用全體思想計算即可．解答：解：（1）根據題意△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，解得a≤且a≠6，所以a的整數值為7；（2）①當a=7時，原方程變形為x2﹣8x+9=0，△=64﹣4×9=28，∴x=，∴x1=4+，x2=4﹣；②∵x2﹣8x+9=0，∴x2﹣8x=﹣9，所以原式=2x2﹣，=2x2﹣16x+，=2（x2﹣8x）+，=2×（﹣9）+，=﹣．點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的定義和解法以及全體思想．24．（2013?漳州）解方程：x2﹣4x+1=0．考點：解一元二次方程-配方法．專題：計算題；配方法．分析：移項后配方得到x2﹣4x+4=﹣1+4，推出（x﹣2）2=3，開方得出方程x﹣2=±，求出方程的解即可．解答：解：移項得：x2﹣4x=﹣1，配方得：x2﹣4x+4=﹣1+4，即（x﹣2）2=3，開方得：x﹣2=±，∴原方程的解是：x1=2+，x2=2﹣．點評：本題考查了用配方法解一元二次方程、解一元方程的運用，關鍵是配方得出（x﹣2）2=3，標題比較好，難度適中．25．（2013?義烏市）解方程（1）x2﹣2x﹣1=0（2）=．考點：解一元二次方程-配方法；解分式方程．專題：計算題．分析：（1）方程常數項移到左邊，兩邊加上1，左邊化為完全平方式，左邊合并，開方轉化為兩個一元方程來求解；（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．解答：解：（1）移項得：x2﹣2x=1，配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，開方得：x﹣1=±，則x1=1+，x2=1﹣；（2）去分母得：4x﹣2=3x，解得：x=2，經檢驗x=2是分式方程的解．點評：此題考查了解一元二次方程﹣配方法，以及解分式方程，利用配方法解方程時，首先將二次項系數化為1，常數項移到左邊，然后兩邊加上項系數以一半的平方，左邊化為完全平方式，左邊合并，開方轉化為兩個一元方程來求解．26．（2013?徐州）（1）解方程：x2﹣2x=1；（2）解不等式組：．考點：解一元二次方程-配方法；解一元不等式組．專題：計算題．分析：（1）方程兩邊都加上1，配成完全平方的方式，然后求解即可；（2）先求出兩個不等式的解集，再求其公共解．解答：解：（1）x2﹣2x+1=2，（x﹣1）2=2，所以，x1=1+，x2=1﹣；（2），解不等式①得，x≥﹣2，解不等式②得，x＜，所以，不等式組的解集是﹣2≤x＜．點評：（1）考查了配方法解一元二次方程，配方法的普通步驟：（1）把常數項移到等號的左邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上項系數一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，使方程的二次項的系數為1，項的系數是2的倍數．（2）次要考查了一元不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大兩頭找，大大小小找不到（無解）．27．（2013?孝感）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有兩個實數根x1，x2．（1）求實數k的取值范圍；（2）能否存在實數k使得x1?x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請闡明理由．考點：根與系數的關系；根的判別式．專題：壓軸題．分析：（1）根據已知一元二次方程的根的情況，得到根的判別式△≥0，據此列出關于k的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，經過解該不等式即可求得k的取值范圍；（2）假設存在實數k使得≥0成立．利用根與系數的關系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式轉化為含有兩根之和、兩根之積的方式≥0，經過解不等式可以求得k的值．解答：解：（1）∵原方程有兩個實數根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0∴1﹣4k≥0，∴k≤．∴當k≤時，原方程有兩個實數根．（2）假設存在實數k使得≥0成立．∵x1，x2是原方程的兩根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k﹣1）2≥0，∴只要當k=1時，上式才能成立．又∵由（1）知k≤，∴不存在實數k使得≥0成立．點評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數的關系，在解不等式時一定要留意數值的正負與不等號的變化關系．28．（2013?無錫）（1）解方程：x2+3x﹣2=0；（2）解不等式組：．考點：解一元二次方程-公式法；解一元不等式組．分析：（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；（2）先求出兩個不等式的解集，再根據找不等式組解集的規律找出即可．解答：解：（1）x2+3x﹣2=0，∵b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣2）=17，∴x=，x1=，x2=﹣；（2）∵解不等式①得：x≥4，解不等式②得：x＞5，∴不等式組的解集為：x＞5．點評：本題考查了解一元二次方程和解不等式組的運用，次要考查先生的計算能力．29．（2013?上海）解方程組：．考點：高次方程．分析：先由②得x+y=0或x﹣2y=0，再把原方程組可變形為：或，然后解這兩個方程組即可．解答：解：，由②得：（x+y）（x﹣2y）=0，x+y=0或x﹣2y=0，原方程組可變形為：或，解得：，．點評：此題考查了高次方程，關鍵是經過把原方程分解，由高次方程轉化成兩個二元方程，用到的知識點是消元法解方程組．30．（2013?山西）解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7．考點：解一元二次方程-配方法．分析：根據配方法的步驟先把方程轉化成標準方式，再進行配方即可求出答案．解答：解：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7，4x2﹣4x+1=3x2+2x﹣7，x2﹣6x=﹣8，（x﹣3）2=1，x﹣3=±1，x1=2，x2=4．點評：此題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的普通步驟：（1）把常數項移到等號的左邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上項系數一半的平方是解題的關鍵，是一道基礎題．31．（2013?廈門）若x1，x2是關于x的方程x2+bx+c=0的兩個實數根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整數），則稱方程x2+bx+c=0為“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判斷方程x2+x﹣12=0能否是“偶系二次方程”，并闡明理由；（2）對于任意一個整數b，能否存在實數c，使得關于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并闡明理由．考點：根與系數的關系；解一元二次方程-因式分解法；根的判別式．專題：壓軸題；閱讀型；新定義．分析：（1）求出原方程的根，再代入|x1|+|x2|看結果能否為2的整數倍就可以得出結論；（2）由條件x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程建模，設c=mb2+n，就可以表示出c，然后根據公式法就可以求出其根，再代入|x1|+|x2|就可以得出結論．解答：解：（1）不是，解方程x2+x﹣12=0得，x1=3，x2=﹣4．|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整數，∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程；（2）存在．理由如下：∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，∴假設c=mb2+n，當b=﹣6，c=﹣27時，﹣27=36m+n．∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0時，m=﹣，∴c=﹣b2．∵是偶系二次方程，當b=3時，c=﹣×32．∴可設c=﹣b2．對于任意一個整數b，c=﹣b2時，△=b2﹣4ac，=4b2．x=，∴x1=﹣b，x2=b．∴|x1|+|x2|=2|b|，∵b是整數，∴對于任何一個整數b，c=﹣b2時，關于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．點評：本題考查了一元二次方程的解法的運用，根的判別式的運用根與系數的關系的運用及數學建模思想的運用，解答本題時根據條件特征建立模型是關鍵．32．（2013?日照）（1）計算：．（2）已知，關于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的兩個實數根x1、x2滿足|x1|=x2，求實數m的值．考點：根的判別式；實數的運算；零指數冪；負整數指數冪；根與系數的關系；角的三角函數值．專題：計算題．分析：（1）原式第二項利用負指數冪法則計算，第三項利用角的三角函數值化簡，一項利用零指數冪法則計算，即可得到結果；（2）將方程整理為普通方式，根據方程有解得到根的判別式的值大于等于0，列出關于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范圍，根據兩根滿足的關系式，利用值的代數意義化簡，即可求出滿足題意m的值．解答：解：（1）原式=+（﹣2）﹣2×+1=﹣1；（2）原方程可變形為：x2﹣2（m+1）x+m2=0，∵x1、x2是方程的兩個根，∴△≥0，即4（m+1）2﹣4m2≥0，∴8m+4≥0，解得：m≥﹣，又x1、x2滿足|x1|=x2，∴x1=x2或x1=﹣x2，即△=0或x1+x2=0，由△=0，即8m+4=0，得m=﹣，由x1+x2=0，即：2（m+1）=0，得m=﹣1，（不合題意，舍去），則當|x1|=x2時，m的值為﹣．點評：此題考查了根的判別式，以及實數的運算，弄清題意是解本題的關鍵．33．（2013?南充）關于x的一元二次方程為（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m為何整數時，此方程的兩個根都為正整數？考點：解一元二次方程-公式法；一元二次方程的解．分析：（1）利用求根公式x=解方程；（2）利用（1）中x的值來確定m的值．解答：解：（1）根據題意，得m≠1．∵a=m﹣1，b=﹣2m，c=m+1，∴△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）=4，則x1==，x2=1；（2）由（1）知，x1==1+，∵方程的兩個根都為正整數，∴是正整數，∴m﹣1=1或m﹣1=2，解得m=2或3．即m為2或3時，此方程的兩個根都為正整數．點評：本題考查了公式法解一元二次方程．要會純熟運用公式法求得一元二次方程的解．34．（2013?樂山）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數根．第三邊BC的長為5，當△ABC是等腰三角形時，求k的值．考點：根的判別式；解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系；等腰三角形的性質．專題：計算題；壓軸題．分析：（1）先計算出△=1，然后根據判別式的意義即可得到結論；（2）先利用公式法求出方程的解為x1=k，x2=k+1，然后分類討論：AB=k，AC=k+1，當AB=BC或AC=BC時△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．解答：（1）證明：∵△=（2k+1）2﹣4（k2+k）=1＞0，∴方程有兩個不相等的實數根；（2）解：一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0的解為x=，即x1=k，x2=k+1，∵k＜k+1，∴AB≠AC．當AB=k，AC=k+1，且AB=BC時，△ABC是等腰三角形，則k=5；當AB=k，AC=k+1，且AC=BC時，△ABC是等腰三角形，則k+1=5，解得k=4，所以k的值為5或4．點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了三角形三邊的關系以及等腰三角形的性質．35．（2013?蘭州）（1）計算：（﹣1）2013﹣2﹣1+sin30°+（π﹣3.14）0（2）解方程：x2﹣3x﹣1=0．考點：解一元二次方程-公式法；實數的運算；零指數冪；負整數指數冪；角的三角函數值．分析：（1）先計算負整數指數冪、零指數冪以及角的三角函數值，然后計算加減法；（2）利于求根公式x=來解方程．解答：解：（1）原式=﹣1﹣++1=0；（2）關于x的方程x2﹣3x﹣1=0的二次項系數a=1，項系數b=﹣3，常數項c=﹣1，則x═=，解得，x1=，x2=．點評：本題考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．利于公式x=來解方程時，需求弄清楚公式中的字母a、b、c所表示的含義．36．（2013?荊州）已知：關于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0（1）求證：無論k為任何實數，方程總有實數根；（2）若此方程有兩個實數根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值．考點：根的判別式；根與系數的關系．分析：（1）確定判別式的范圍即可得出結論；（2）根據根與系數的關系表示出x1+x2，x1x2，繼而根據題意得出方程，解出即可．解答：（1）證明：①當k=0時，方程是一元方程，有實數根；②當k≠0時，方程是一元二次方程，∵△=（3k﹣1）2﹣4k×2（k﹣1）=（k+1）2≥0，∴無論k為任何實數，方程總有實數根．（2）解：∵此方程有兩個實數根x1，x2，∴x1+x2=，x1x2=，∵|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，即﹣4×=4，解得：=±2，即k=1或k=﹣．點評：本題考查了根的判別式及根與系數的關系，屬于基礎題，這些用到的知識點是需求我們純熟記憶的內容．37．（2013?黃石）解方程組：．考點：高次方程．分析：先由第二個方程得：x=③，再把③代入①得：2×（）2﹣y2=，求出y1、y2，再代入③即可．解答：解：，由②得：x=③，把③代入①得：2×（）2﹣y2=﹣，化簡得：9y2+y+5=0，即：（3y+）2=0解得：y1=y2=，代入③得：x1=x2=，∴原方程組的解為．點評：此題考查了高次方程，關鍵是利用代入法把高次方程轉化成低次方程，留意結果有兩種情況．38．（2013?杭州）當x滿足條件時，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．考點：解一元二次方程-公式法；解一元不等式組．分析：經過解一元方程組求得2＜x＜4．然后利用求根公式x=求得方程x2﹣2x﹣4=0的根，由x的取值范圍來取舍該方程的根．解答：解：由求得，則2＜x＜4．解方程x2﹣2x﹣4=0可得x1=1+，x2=1﹣，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，符合題意∴x=1+．點評：本題考查了解一元二次方程﹣﹣公式法，解一元不等式組．要會純熟運用公式法求得一元二次方程的解．39．（2013?廣州）解方程：x2﹣10x+9=0．考點：解一元二次方程-因式分解法．分析：分解因式后得出兩個一元方程，求出方程的解即可．解答：解：x2﹣10x+9=0，（x﹣1）（x﹣9）=0，x﹣1=0，x﹣9=0，x1=1，x2=9．點評：本題啊扣除了解一元方程和解一元二次方程的運用，關鍵是能把解一元二次方程轉化成解一元方程．40．（2013?防城港）已知關于x的方程x2+x+n=0有兩個實數根﹣2，m．求m，n的值．考點：根與系數的關系．分析：利用根與系數的關系知﹣2+m=﹣1，﹣2m=n，據此易求m、n的值．解答：解：∵關于x的方程x2+x+n=0有兩個實數根﹣2，m，∴，解得，，即m，n的值分別是1、﹣2．點評：本題考查了根與系數的關系，屬于基礎題．解題過程中，需求熟記公式x1+x2=﹣，x1?x2=．41．（2013?達州）選取二次三項式ax2+bx+c（a≠0）中的兩項，配成完全平方式的過程叫配方．例如①選取二次項和項配方：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2；②選取二次項和常數項配方：，或③選取項和常數項配方：根據上述材料，處理上面成績：（1）寫出x2﹣8x+4的兩種不同方式的配方；（2）已知x2+y2+xy﹣3y+3=0，求xy的值．考點：配方法的運用．分析：（1）根據配方法的步驟根據二次項系數為1，常數項是項系數的一半的平方進行配方和二次項和常數項在一同進行配方即可．（2）根據配方法的步驟把x2+y2+xy﹣3y+3=0變形為（x+y）2+（y﹣2）2=0，再根據x+y=0，y﹣2=0，求出x，y的值，即可得出答案．解答：解：（1）x2﹣8x+4=x2﹣8x+16﹣16+4=（x﹣4）2﹣12；x2﹣8x+4=（x﹣2）2+4x﹣8x=（x﹣2）2﹣4x；（2）x2+y2+xy﹣3y+3=0，（x+y）2+（y﹣2）2=0，x+y=0，y﹣2=0，x=﹣1，y=2，則xy=（﹣1）2=1；點評：本題考查了配方法的運用，根據配方法的步驟和完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2進行配方是解題的關鍵，是一道基礎題．42．（2013?北京）已知關于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有兩個不相等的實數根．（1）求k的取值范圍；（2）若k為正整數，且該方程的根都是整數，求k的值．考點：根的判別式；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法．專題：計算題．分析：（1）根據方程有兩個不相等的實數根，得到根的判別式的值大于0列出關于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍；（2）找出k范圍中的整數解確定出k的值，經檢驗即可得到滿足題意k的值．解答：解：（1）根據題意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，解得：k＜；（2）由k為正整數，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解為x=﹣1±，∵方程的解為整數，∴5﹣2k為完全平方數，則k的值為2．點評：此題考查了根的判別式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清題意是解本題的關鍵．43．（2012?淄博）一元二次方程的某個根，也是一元二次方程的根，求k的值．考點：一元二次方程的解．專題：計算題．分析：利用配方法求出方程x2﹣2x﹣=0的解，將求出的解代入x2﹣（k+2）x+=0中，得到關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．解答：解：x2﹣2x﹣=0，移項得：x2﹣2x=，配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，開方得：x﹣1=±，解得：x1=，x2=﹣，△=（k+2）2﹣9≥0，即k≥1或k≤﹣5，①根據題意把x=代入x2﹣（k+2）x+=0得：（）2﹣（k+2）+=0，解得：k=；②把x=﹣代入x2﹣（k+2）x+=0得：（﹣）2+（k+2）+=0，解得：k=﹣7，綜上所述，k的值為﹣7或．點評：此題考查了一元二次方程的解法，以及一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．44．（2012?永州）解方程：（x﹣3）2﹣9=0．考點：解一元二次方程-直接開平方法．分析：這個式子先移項，變成（x﹣3）2=9，從而把成績轉化為求9的平方根．解答：解：移項得：（x﹣3）2=9，開平方得：x﹣3=±3，則x﹣3=3或x﹣3=﹣3，解得：x1=6，x2=0．點評：本題考查了直接開平方法解一元二次方程，運用全體思想，會把被開方數看成全體．45．（2012?無錫）（1）解方程：x2﹣4x+2=0（2）解不等式組：．考點：解一元二次方程-公式法；解一元不等式組．分析：（1）首先找出方程中得a、b、c，再根據公式法求出b2﹣4ac的值，計算x=，即可得到答案；（2）先求出其中各不等式的解集，再根據解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大兩頭找；大大小小找不到，求出這些解集的公共部分．解答：解：（1）△=42﹣4×1×2=8，∴，∴，；（2），由①得x≤2，由②得x＞﹣2，∴原不等式組的解集是﹣2＜x≤2．點評：此題次要考查了解一元二次方程，以及解一元不等式組，關鍵是純熟掌握計算公式與計算方法．46．（2012?溫州）（1）計算：；（2）解方程：x2﹣2x=5．考點：解一元二次方程-配方法；實數的運算．分析：（1）首先計算乘方，進行開方運算，然后合并同類二次根式即可求解；（2）方程兩邊同時加上1，左邊即可化成完全平方式的方式，然后進行開方運算，轉化成兩個一元方程，即可求解．解答：解：（1）（﹣3）2+（﹣3）×2﹣=9﹣6﹣2=3﹣2；（2）配方得（x﹣1）2=6∴x﹣1=±∴x1=1+，x2=1﹣．點評：本題考查了實數的混合運算以及利用配方法解一元二次方程，正確進行配方是關鍵．47．（2012?遂寧）解方程：x2+4x﹣2=0．考點：解一元二次方程-配方法．專題：壓軸題．分析：先移項，得x2+4x=2，再在兩邊同時加上22，再利用平方法即可解出原方程．解答：解：移項，得x2+4x=2，兩邊同加上22，得x2+4x+22=2+22，即（x+2）2=6，利用開平方法，得或，∴原方程的根是，．點評：本題次要考查了配方法解一元二次方程，解題時要留意解題步驟的精確運用，難度適中．48．（2012?綿陽）已知關于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數根；（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長．考點：根的判別式；一元二次方程的解；勾股定理．分析：（1）根據關于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0的根的判別式的符號來證明結論；（2）根據一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數的關系求得方程的另一根．分類討論：①當該直角三角形的兩直角邊是2、3時，由勾股定理得斜邊的長度為：；②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是2、3時，由勾股定理得該直角三角形的另不斷角邊為；再根據三角形的周長公式進行計算．解答：（1）證明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∴在實數范圍內，m無論取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴關于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有兩個不相等的實數根；（2）解：根據題意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，解得，m=2，則方程的另一根為：m+2﹣1=2+1=3；①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為：；該直角三角形的周長為1+3+=4+；②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另不斷角邊為2；則該直角三角形的周長為1+3+2=4+2．點評：本題綜合考查了勾股定理、根的判別式、一元二次方程解的定義．解答（2）時，采用了“分類討論”的數學思想．49．（2012?樂山）已知關于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x=4m﹣3有實數根．（1）求m的取值范圍；（2）設方程的兩實根分別為x1與x2，求代數式x1?x2﹣x12﹣x22的值．考點：根的判別式；根與系數的關系；二次函數的最值．專題：計算題；壓軸題．分析：（1）將原方程轉化為關于x的一元二次方程，由于方程有實數根，故根的判別式大于等于0，據此列不等式解答即可；（2）將x1?x2﹣x12﹣x22化為兩根之積與兩根之和的方式，將含m的代數式代入求值即可．解答：解：（1）由（x﹣m）2+6x=4m﹣3，得x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3=0．∴△=b2﹣4ac=（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4m+3）=﹣8m+24．∵方程有實數根，∴﹣8m+24≥0．解得m≤3．∴m的取值范圍是m≤3．（2）∵方程的兩實根分別為x1與x2，由根與系數的關系，得∴x1+x2=2m﹣6，，∴=3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2=﹣m2+12m﹣27=﹣（m﹣6）2+9∵m≤3，且當m＜6時，﹣（m﹣6）2+9的值隨m的增大而增大，∴當m=3時，的值，值為﹣（3﹣6）2+9=0．∴的值是0．點評：本題考查了根的判別式、根與系數的關系、二次函數求最值，綜合性較強，考查了先生的綜合運用能力及推理能力．50．