第二章為積分學(xué).微分學(xué)與積分學(xué)統(tǒng)稱為微積分學(xué).“16第一節(jié)數(shù)概15世紀(jì)初文藝復(fù)興時期起，歐洲的工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易得到大規(guī)模的發(fā)展，形成了一個新的經(jīng)濟(jì)時代.而十六世紀(jì)的歐洲，正處在萌芽時期，生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展.生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展對自然科學(xué)提出了新的課題，迫切要求力學(xué)、天文學(xué)等基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展，而這些學(xué)科都是深刻依賴于數(shù)學(xué)的，因而也推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展.在各類學(xué)科對數(shù)學(xué)種種要求中，所謂函數(shù)的變化率問題.牛頓從第一個問題出發(fā)，萊布尼茨從第二個問題出發(fā)，分別給出了導(dǎo)數(shù)的分布圖

★引 ★變速直線運(yùn)動的瞬時速★平面曲線的切 ★導(dǎo)數(shù)的定（12）★例 ★例 ★例 ★例★★★★★★★★★★★★內(nèi)容要★習(xí)題2-一、引例1:2:f

)limy

f(x0x)f(x0 x0

理等方面的特殊意義，純粹從數(shù)量方面來刻畫函數(shù)變化率的本質(zhì):yyx

xy

yx

yf(xx)f

y

f(xx)f(x)

y

y

x01yf(xx0yf(xx0處的左、右導(dǎo)數(shù)均存定理 如果函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則它在x0處連續(xù).1872學(xué)家魏爾斯特拉構(gòu)造出一個處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的例子，這與人們基于直觀的普遍認(rèn)識大相徑庭，從而了數(shù)學(xué)和思想界.這促使人們在積分研究中從依賴于觀轉(zhuǎn)向理性思，大.例題選1E01)yx3x1f(1解x1變到1x f(1)limy

x

x

x0 2E02)

f(2x)f

f

f(0)解

xf(2x)fx

2

f(2x)f(2a)1(2x2a)2

(2)f(0)0

22

f(2x)f(2a)2f(2a);2x2alimf(x)limf(x)f(0)

f

x3E04)f(xC(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù) f(x)limf(xh)f(x)limCC

即(C)

4E05)f(xsin

求(sinx)及(sinx)|x4解(sinx)limsinxhsinxlimcos(xh

sin2

cosx即(sinx)cos 2(sin cos 22

2 5(E06)yxn(n為正整數(shù))的導(dǎo)數(shù)解

n)

(xh)nh

n1

n(n

h

]

即(xn)nxn1.更一般地(x)x1(例如(x)x.x(1)x11.11例如(x)x.x(1)x11.x x x6E07)f(xax(a0a1的導(dǎo)數(shù)x anh

ah

x

x 解

)

a

aln

即

)

lna,

)e例 求函數(shù)ylogax(a0,a1)的導(dǎo)數(shù)log(xh)log

log(1h

h ylim a

)h

logae即

x)1log

x(lnx)1

x 例 求函數(shù)f(x)sin

xx

x0處的導(dǎo)數(shù)解當(dāng)x0時 yf(0x)f(0)sinx0sin

y

sinxx0 當(dāng)x0時 yf(0x)f(0)x0

y

x1f(0f(01,

f(0)

yx0

x0

x09f(xf(0存在.f(0)證f(xf(xff(0)

f(0h)fh

f(h)fh

f(h)f

f(h)f(0)f

f(0f(0f(0f(0)f(0f(0)f(0)10y1在點(diǎn)1,2處的切線的斜率,2 2 程解 1

k

1 xx xx xxy24x1

即4xy4y21x1

2即2x8y15 4 211E08)y解

x在點(diǎn)(4,2處的切線方程y

x) 1

yx4

112122y21(x24

即x4y412E09)f(x|x|x0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性解如圖2-1-3f(xxx0處是連續(xù)的.f(xxx處的可導(dǎo)性f(0hf(0)

hh

f(0h)f

h h0

f(0h)f(0)

h1f(0f(0f(xx0點(diǎn)不可導(dǎo) 證畢

h0注：yf(x)x0處出現(xiàn)尖點(diǎn)，則它在該點(diǎn)不可導(dǎo).因此，如果函數(shù) 13(E10)f(xxsinx

xx0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性x sin1是有界函數(shù),limxsin1

f(0limf(x0f(xx0處的連續(xù)不存在

x0y

(0x)

0

1當(dāng)x0時

y在1和1f(xx0處不可導(dǎo)14f(x

x

f(x為可導(dǎo)函數(shù)x2

0x 只須討論在x0處f(x)為可導(dǎo)時a的取值情況.在x0處，因

y

f(0x)f(0)

(x)21

x0

y

f(0x)f(0)

a1x0

x0x

a10a1x0f(x為可導(dǎo)函數(shù)課堂練f(xx0f(x0f(x有什么區(qū)別與聯(lián)系設(shè)(xxa處連續(xù)

f(xx2a2)(x),f(ay2xx3x軸平行的切線方程（Friedrich 稱號聞名于世。萊布尼茲對微積分的研究始于31歲，那時他在巴黎任官，有幸結(jié)識數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯等人。在名師指導(dǎo)下系統(tǒng)研究了數(shù)學(xué)著作，1673年他在倫敦結(jié)識了巴羅和牛頓等名，（無窮小的“0）作是無窮小的和，并引入積分符號，它是把拉丁文“SummaS拉長。他的這個符號，”a/ba:b富于想象，勇于推廣，結(jié)果造成創(chuàng)作年代上牛頓先于萊布尼茲10年，而在的時間上，萊布尼狐死歸首丘，故鄉(xiāng)忘牛頓（NewtonNewtan數(shù)學(xué)和科學(xué)中的巨大進(jìn)展,幾乎總是建立在作出一點(diǎn)一點(diǎn)滴貢獻(xiàn)的許多人的工作之上.需要一個人來走那最高和最后的一步,這個人要能夠從紛亂的猜測和說明中清理出前人的有價值牛頓(164-1727生于英格蘭烏爾斯帕的一個小村里,父親是在他出生前兩個月的,母親管理著丈夫留下的農(nóng)莊,母親改嫁后,是由外祖母把他撫養(yǎng)大.并供他上學(xué).他從小在低標(biāo)準(zhǔn)的地方學(xué)校接受教育,除對機(jī)械設(shè)計(jì)有外,是個沒有什么特殊的青年人,161年他進(jìn)入大學(xué)的三一學(xué)院學(xué)習(xí),大學(xué)期間除了巴羅(arrow)外,他從他的老師那里只得到了很少的一點(diǎn)鼓舞,他自己做實(shí)驗(yàn),如ecresaeo,Kpr敦地區(qū)流行關(guān)閉回到家過了1665和1666年并那里開了他在機(jī)械、數(shù)學(xué)和光學(xué)上偉大的工作，這時他了引力的平方反比定律（曾早已有人提出過，這是打開那所不包力學(xué)科的他獲得解微積分問的一般法，并通過光實(shí)驗(yàn)，作出了劃時代的發(fā)現(xiàn)，即象光那樣的白光，實(shí)際上是從紫到紅的各種顏色混合而成的“所有這些”牛后來說是在165和166兩中做的，為在這日子里我正處發(fā)現(xiàn)力最旺盛的時期，而且對于數(shù)學(xué)和（自然）有，667他回到獲得，并被為三一院的研員。169年他的（Lca）26歲的牛頓這事成了學(xué)史上一段佳牛并不一個成功教員創(chuàng)性的料也沒有受到同們的注起初頓并沒他發(fā)人們說有一種的害批評的理在1672年和1675年光方面的篇到暴般的批評，他決死后才開它的果，雖然，后來是《自然學(xué)的數(shù)原理光》和《普的算術(shù)等有限一些成。牛頓是他時代的界著名物理學(xué)數(shù)家和文學(xué)家牛頓工的最大點(diǎn)是辛勞動和獨(dú)立考他時不分夜地工常好幾星期一直渡過總是不中自己的成就，是個非常謙虛的人。他說“我不知道，在別人看來，我是什么樣的人。但在自己看來，我不過就是一個海濱玩的小為不發(fā)現(xiàn)尋常更為滑的一卵石或?qū)こ８利惖囊黄悮ざ凑醋韵玻鴮τ谡宫F(xiàn)在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒有發(fā)現(xiàn)。牛頓對于科學(xué)的比對于學(xué)的大的多在當(dāng)了5的教授后他決定棄研并于16