1與它們對(duì)應(yīng)的是本節(jié)和基本積分法復(fù)合函數(shù)微分法和乘積的微分.在積分運(yùn)算中,(兩種).微分運(yùn)算中有兩個(gè)重要法則:

下節(jié)的換元積分法和分部積分法第4章定積分與不定積分24.4

換元積分法第一換元積分法第二換元積分法小結(jié)思考題integrationbysubstitution第4章定積分與不定積分問(wèn)題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過(guò)程令一、第一類換元法在一般情況下：設(shè)則如果（可微）由此可得換元法定理第一類換元公式（湊微分法）說(shuō)明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同.定理4.6例求解（一）解（二）解（三）

同一個(gè)積分用不同的方法計(jì)算,可能得到表面上不一致的結(jié)果,但是實(shí)際上都表示同一族函數(shù).例求解一般地練習(xí)

對(duì)第一換元積分法熟練后,可以不再寫(xiě)出中間變量.注9例

解解練習(xí)例

解原式=11例

例

小結(jié)常見(jiàn)的湊微分類型有小結(jié)òxxfarcsind)(arcsin=￠òxxfxfd)()(=ò)()(dxfxf例求解例求解16例

解

且有很大的靈活性,加一項(xiàng)減一項(xiàng)、可通過(guò)三角恒等變換、一個(gè)因子等方法，第一換元積分法是不定積分的基礎(chǔ)，代數(shù)運(yùn)算、上，下同除以使積分變得易求.例求解例

解原式=例求解法二例求解例求原式例求解例求解說(shuō)明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開(kāi)奇次項(xiàng)去湊微分.例求解湊微分;用倍角公式降冪,再積分.

注xxd)2cos1(21ò-=例求解例求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）解（二）類似地可推出例求解31由微積分基本公式知,對(duì)定積分的計(jì)算,第一換元積分法(湊微分法)也同樣適用.例

解微積分基本公式:原式例計(jì)算解例計(jì)算解原式求解

思考題原式=xxfxfxfxfd)()()()(22￠￠￠-￠.￠ò)()(xfxf作業(yè)習(xí)題4-4(116頁(yè))1.(4)(6)(11)(14)(16)(18)(20)(26)(29)(31)2.(3)(5)問(wèn)題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過(guò)程令（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）二、第二類換元法證設(shè)為的原函數(shù),令則則有換元公式定理4.7第二類積分換元公式39例求解令輔助三角形

回代三角代換例求解令例求解令綜上,43利用相應(yīng)的三角變換,還可得到重要公式說(shuō)明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令說(shuō)明(2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.也可以化掉根式例中,令

積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來(lái)定.說(shuō)明(3)例求（三角代換很繁瑣）令解例求解令48例求解令法一原式=

回代49法二原式=回代說(shuō)明(4)當(dāng)分母的階較高時(shí),可采用倒代換例求令解法二回代還有別的方法嗎？法三53法四例求解令（分母的階較高）說(shuō)明(5)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí)，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例求解令基本積分表60解令例

由輔助三角形微積分基本公式:得回代61例

此題如果直接對(duì)定積分進(jìn)行換元,化為新變量故積出來(lái)的原函數(shù)不必回代,下的定積分,用此法此法較為簡(jiǎn)潔!方法二則不妨與上面的運(yùn)算做個(gè)比較:此法對(duì)一般的定積分計(jì)算是否成立?定理4.8定積分換元公式證故有則由于N--L公式N--L公式則所以存在原函數(shù)原函數(shù),應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）（2）例計(jì)算解令原式證由定積分的幾何意義(面積的代數(shù)和)也可得.奇函數(shù)例計(jì)算解原式偶函數(shù)單位圓的面積利用這一結(jié)果計(jì)算:òò--+=注:aaaxxfxfxxf0d)]()([d)(70練習(xí)奇奇偶證（1）設(shè)（2）設(shè)74周期函數(shù)的定積分公式這個(gè)公式就是說(shuō):周期函數(shù)在任何長(zhǎng)為一周期的區(qū)間上的定積分都相等.如果T是連續(xù)函數(shù)f(x)的周期,則(a為任何常數(shù)),證結(jié)論成立.(1)75周期函數(shù)的定積分公式如果T是連續(xù)函數(shù)f(x)的周期,則(2)證(a為任何常數(shù))(1)n個(gè)定積分的積分區(qū)間可加性由公式(1)76計(jì)算解例77例解考研數(shù)學(xué)(三,四)填空題4分奇函數(shù)78解已知f(x)連續(xù),故不能直接應(yīng)用對(duì)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式,先作換元變換,則被積函數(shù)中除積分變量t外還含有變量x,分析例應(yīng)79練習(xí)已知f(x)連續(xù),證明I與t無(wú)關(guān),并指出(不必證明)I是否與s無(wú)關(guān),

I是否與x無(wú)關(guān).證所以,I與t無(wú)關(guān).

I與s有關(guān),

I與x無(wú)關(guān).80練習(xí)選擇題設(shè)函數(shù)連續(xù),則下列函數(shù)中,必為偶函數(shù)的是分析?考研數(shù)學(xué)(二)選擇3分81證明

并計(jì)算

解則

為利用上面結(jié)果,

82證明

并計(jì)算

所以

83兩類換元積分法湊微分三角代換、倒代換、根式代換熟記基本積分表(2)三、小結(jié)第一換元積分法:第二換元積分法:定積分換元積分法奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)周期函數(shù)的定積分公式三角函數(shù)的定積分公式思考題1求積分思考題解答86解令對(duì)此類題,一般可用下列各種解法法一思考題287法二令則它是函數(shù)此方法中應(yīng)注意的涵義,88思考題3

試檢查下面運(yùn)算是否正確?

解答注意必定大于零.上述運(yùn)算的問(wèn)題在于引進(jìn)的變換不滿