本資料來源概率與分布授課老師：禤宇明本章主要內容概率古典和統計定義、概率的性質、加法和乘法定理二項分布離散形分別的代表適用條件正態分布性質、查表、應用標準正態分布、標準分數1.概率probability

1.1幾個概念

確定性現象：一定條件下必然發生某種結果必然現象 沸騰乙肝，乙肝表面抗原一定為陽性不可能現象 隨機現象randomevent：一定條件下結果不定如：擲硬幣后哪面朝上？某患者服用某降壓新藥后：降？不變？生偶然性和必然性隨機試驗和隨機事件隨機試驗對隨機現象的一次觀察隨機事件簡稱事件，指隨機現象中出現的各種可能的結果必然事件：包含所有可能結果不可能事件：不包含任何結果試驗

試驗結果（事件）拋擲一枚硬幣 正面，反面對某一零件進行檢驗 合格，不合格投擲一顆骰子 1，2，3，4，5，6進行一場足球比賽 獲勝，失利，平局頻率和概率頻率frequencyN次重復試驗中A事件發生的次數為n，那么事件A發生的頻率概率probability當N趨向于無窮大時，事件A發生的頻率趨向于一個固定值，這就是事件發生的概率P(A)實驗者 N nH nH/N德·摩根 2048 1061 0.5181蒲豐 4040 2048 0.5069K·皮爾遜 12000 6019 0.5016K·皮爾遜 24000 12012 0.5005N為投擲硬幣的次數，nH為正面朝上的次數1.2概率的定義

1.2.1概率的統計定義(P74)當試驗次數N無限增大時，事件A發生的頻率n/N穩定在一個確定的常數附近，這就是事件A發生的概率注：試驗滿足條件每次試驗中某一事件發生的可能性不變試驗能大量重復，且每次試驗相互獨立1.2.2概率的古典定義如果某一隨機試驗的結果有限（注：任何一個可能的結果就是一個基本事件），且各個結果出現的可能性相等，則某一事件A發生的概率為注：概率的統計定義是后驗概率，而古典定義為先驗概率思考題：判斷以下哪些試驗符合概率的古典定義的要求？試驗

試驗結果（事件）拋擲一枚硬幣 正面，反面對某一零件進行檢驗 合格，不合格不符合概率的古典定義投擲一顆骰子 1，2，3，4，5，6進行一場足球比賽 獲勝，失利，平局不符合概率的古典定義求擲一顆骰子子其點數小于于5的概率是多少少解：投擲骰子子試驗中,可能的點數{1,2,3,4,5,6}，試驗結果有有限，6個試驗結果以以均等的可能能發生事事件A={1,2,3,4}，P(A)=4/6=2/31.3概率的性質對任意事件A，0≤P(A)≤1必然事件的概概率為1，即P(W)＝1不可能事件的的概率為0，P()＝0逆事件的概率P(ā讀“非A”)=1－P(A)什么是逆事件件？1.4概率的加法定定理和乘法定定理加法定理若A、B是兩個相互獨立的事件，則A和B至少有一個發生的概率是是P(A+B)=P(A)+P(B)推廣到n個獨立事件P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)例求擲一顆骰子子其點數小于于5的概率某一考生完全全憑猜測答兩兩道是非題，，求其答對一一題的概率乘法定理若A、B是兩個相互獨立的事件，則A和B同時發生的概率是是P(A·B)=P(A)·P(B)推廣到n個獨立事件P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)例求擲兩顆骰子子其點數為12的概率和為11的概率求擲兩顆骰子子其點數不等等的概率憑猜測完全答答對10題4選1選擇題的概率率二戰中飛行員員在每次轟炸炸任務中被擊擊中的機會是是2%，那么執行50次任務“在數數學上”就一一定被擊中嗎嗎？因為50×2%=100%N個人人當當中中至至少少有有兩兩個個人人的的生生日日是是同同一一天天的的概概率率是是多多少少？？2.二項項分分布布2.1排列列permutation從n個不不同同的的元元素素中中，，任任取取m（m≤≤n）個個不不同同的的元元素素，，按按一一定定順順序序排排成成一一列列P78例3-6用四四個個數數字字1，2，3，4可以以組組成成多多少少個個沒沒有有重重復復數數字字的的二二位位數數？？多多少少個個沒沒有有重重復復數數字字的的四四位位數數？？12/24思考考題題：如如果果數數字字可可以以重重復復，，上上題題的的答答案案又又是是多多少少？？2的四四次次方方=16/4的四四次次方方=2562.2組合合combination從n個不不同同的的元元素素中中，，任任取取m（m≤≤n）個個不不同同的的元元素素，，不不管管順順序序并并成成一一組組組合的性質（P79例3-6）從100個元素中每次次取97個不同元素的的組合數是多多少？2.3隨機變量的期期望和方差隨機變量的方方差方差的性質2.4二項分布binominaldistribution離散型分布的的一種每次隨機試驗驗只有兩種可可能的結果：：A及ā，P(A)=p，P(ā)＝1－p＝q(0<p<1)。n次獨立試驗下下，事件A發生的次數為為x的概率醫學中常見結結果為兩種互互斥的情況之之一的例子陰性、陽性治愈、未愈傳染、未傳染染致死、存活P82例3-9全憑猜測答10道是非題，問問分別答對5、6、7、8、9、10題的概率各為為多少？至少少答對5題的概率又是是多少？P83例3-10全憑猜測答10道4選1選擇題，問分分別答對8、9、10題的概率各為為多少？至少少答對1題的概率又是是多少？至少少答對9題的概率是多多少？馬丁服裝店問問題商店經理估計計進入該服裝裝店的任一顧顧客購買服裝裝的概率是0.30,那么三個顧客客中有兩個購購買的概率是是多少?分析：試驗包含了三三個相同的試試驗，進入商商店的三個顧顧客中的任一一個即為一次次試驗每次試驗都有有兩個結果：：顧客購買或或不購買顧客購買的概概率(0.30)或不購買的概概率(0.70)被假設為對所所有顧客都相相等某個顧客的購購買決定獨立立于其他顧客客的購買決定定某保險公司有有2500個同一年齡同同一階層的人人參加了壽命命保險。已知知1年內這批人的的死亡水平為為0.002，每個參加保保險的人需在在年初支付保保險費12元，如果發生生死亡，保險險公司賠付2000元。保險公司虧本本的概率是多多少？保險公司獲利利不少于10000元的概率是多多少？解：設X為死亡人數，，如果12×2500<2000X，即X>15時，保險公司司要賠本。p=0.002獲利10000元，即12×2500－2000X≥10000,即X≤101.當n趨向于無窮大大時，二項分分布趨向于正正態分布（重重點）2.二項分布的均均值、方差和和標準差（（重點）2.5其他離散型概概率分布2.5.1負二項分布某隨機試驗結結果只有兩種種可能，出現現某結果的概概率為p，則不出現該該結果的概率率為q=1－p。現在一直進進行試驗，直直至這一結果果出現r次為止，以X表示試驗共需需要進行的次次數，則有一個市場調查查員需要完成成500份調查表的訪訪問任務，隨隨機碰到的行行人大約3/10的人樂意回答答他的問題，，每找到一個個人需花6分鐘的時間。。問該調查員員完成500份問卷約需多多長時間？2.5.2多項分布現有一批產品品，已知合格格品占11/18，次品占2/9，廢品占1/6，從中隨機抽抽取6件，問抽到3件合格品、2件次品和1件廢品的概率率有多大？2.5.3幾何分布在一個伯努利利試驗中，某某個時間出現現的概率為p，現在一個一一個地進行試試驗，直至出出現該事件為為止，如果X表示試驗所需需進行的次數數，則X服從幾何分布布，其概率分分布函數f(x)=qk-1p,k=1,2,…E(X)=1/p,Var(X)=q/p22.5.4超幾何分布在50個零件中，已已知有5個不合格，如如果隨機從中中抽4個，問4個樣品中恰好好有1個不合格的概概率是多少？？不超過2個不合格零件件的概率是多多少？超幾何分布的的推廣一家商業零售售集團開設了了100家分支商店，，其經營業績績如下：經經營業績優優 良 中差差

分店數數24 3828 10從100家分店中隨機機抽取20個，問其中有有8個優、7個良、3個中、2個差的概率是是多少？2.5.5泊松分布泊松分布的醫醫學應用舉例例單位時間內某某事件發生次次數的分布，，如細菌、血血細胞等單位位面積（容積積）內計數結結果的分布人群中某些發發病率很低的的傳染病，如如某惡性腫瘤瘤的患病數或或死亡數的分分析放射醫學中同同位素計數的的數據處理某些疾病的地地區或家族集集積性，某種種基因突變而而引起的遺傳傳性疾病的分分布世界杯中的統統計學作者：陳峰2002年韓日世界杯杯64場比賽中，各各隊進球數有有多有少。大大部分是0，1，2個進球，個別別隊是5個以上進球，，最多的是8個進球。宏觀觀上來說，各各隊進球數服服從Poisson分布！下面是各隊進進球數(不包括點球)，平均進球數數1.2578，擬合Poisson分布結果如下下：每場各隊進球球數 場數數 理論數數0 37 36.391 47 45.772 27 28.783 13 12.074 23.795 10.95≥6 10.25合計128128.00如果包括點球球數，同樣服服從Poisson分布。3.正態分布3.1連續型隨機變變量不可能一一列列舉可能的取取值取任一指定實實數值的概率率為0我們對落入某某個區間內的的概率更感興興趣3.2正態分布3.2.1正態分布的概概率密度函數數設連續型隨機機變量x具有概率密度度稱稱x服從參數為,的正態分布normaldistribution或高斯分布Gaussiandistribution，記為x～N(,2)其中，為隨機變量x的均值為隨機變量x的標準差為圓周率3.14159…e為自然對數的的底2.71828…3.2.2正態（概率密密度）曲線的的特點概率密度曲線線和x軸之間的面積積等于1概率P{x1＜x≤x2}什么是收尾概概率，收尾面面積？關于x＝對稱對任意h>0，有P{-h<x<}=P{<x<+h}當x＝時有最大值x離越遠，f(x)的值越小并逐逐漸趨向0這表明對于同同樣長度的區區間，當區間間離越遠，X落入區間上的的概率越小如果固定改變的值，則圖形形沿x軸平移，而不不改變形狀如果固定改變，由于最大值值

可知當當越小時圖形就就變得越尖，，因而x落在附近的概率就就越大如何理解概率率密度曲線假設有一根無無限長的棍子子，總的質量量為1。棍子的中心心部分密度比比較大，而兩兩端較輕如果把棍子切切成同樣長度度的一段一段段，那么中間間部分的一段段比邊上的重重3.2.3標準正態分布布＝0，＝1時，有3.2.3.1標準分數數（P94）又稱為Z分數，以以標準差差為單位位，反映映了一個個原始分分數在團團體中所所處的位位置Z分數的性性質Z分數的平平均數為為0Z分數的標標準差為為1標準分數數的應用用比較分屬屬性質不不同的觀觀測值在在各自數數據分布布中相對對位置的的高低.如：某人Z身高1.70=0.5,Z體重65=1.2,則該人在在某團體體中身高高稍偏高高，而體體重更偏偏重些當已知各各不同質質的觀測測值的次次數分布布為正態態時,可用Z分數求不不同的觀觀測值的的總和或或平均值值，以表表明在總總體中的的位置.3.2.3.2正態分布布的標準準化3.2.3.3標準正態態分布表表(P.466)僅給出Z為正值時時的P和對應的的Y當Z為負值時時利用對對稱性求求相應的的P和Y對于X～N(,2)先化為標標準正態態分布再再查表p(0<z<Z)=PZ表示臨界界值例：X~N(0,1)，求以下概概率1)P(0<x<1) 2)P(x<1)3)P(x<-1)4)P(1<x<2) 5)P(|x|1) 6)P(x>-1)寫出以下下區間如果X～N(,2)X～N(0,1)平均數左左右1個標準差差平均數左左右z個標準差需要記住住的一些些Z值0.475的P所對應的的為Z；0.495的P所對應的的Z值1.962.58P96例3-17在某年高高考的平平均分數數為500，標準差差為100的正態總總體中，，某考生生得到650分。設當當年高考考錄取率率為10％，問該該生成績績能否入入圍？解：該生的的標準分分數為Z＝(650-500)/100=1.5查正態分分布表,當Z=1.5時，p=0.433從低分到到高分的的順序中中他處于于93.3%的位置從從高分分到低分分的順序序中他處處于6.7%的位置某市參加加數學奧奧林匹克克業余學學校入學學考試的的人數為為2800人，只錄錄取學生生150人，該次次考試的的平均分分為75分，標準準差為8，問錄取取分數應應定為多多少？解：考試成成績服從從正態分分布，即即X～N(75,82)，轉換成成標準正正態分布布Z~N(0,1)。

根據據題意招招生人數數的概率率為P(Z≥≥Z0)=150/2800=0.05357

P(0<Z<Z0)=0.5－0.05357=0.44643查正態分分布表，，得Z0=1.6112X0=75+1.6112×8=87.8894≈88假設成人人智商服服從均數數為100，標準差差為15的正態分分布。如如果智商商大于160的都是天天才，那那么請問問100萬人里有有幾個天天才？3準則當X~N(,2)時,有P(|x－|)＝0.6826P(|x－|2)＝0.9545P(|x－|3