機械波天津理工大學理學院物理系康志泰印1一機械波產生的條件縱波與橫波在彈性體內部，任一質點離開平衡位置時將產生使它回到平衡位置的力與一彈簧振子類似質點就會在平衡位置附近振動起來與此同時這質點將給相鄰部分以作用力，因而使相鄰部分的質點也離開平衡位置振動起來。依靠彈性力的作用振動從一處逐漸傳播出去這種機械振動的傳播過程就形成了機械波這樣的彈性體我們稱其為彈性媒質2例如電話聽筒內膜片在空氣中的振動機械波產生的條件：首先要有作機械振動的物體作為波源其次要有能夠傳播這種機械振動的彈性媒質電話聽筒內膜片就是波源，而空氣就是傳播聲波的彈性媒質。聲波、超聲波、水面波以及地震波等都是機械波。3

波動只是振動狀態的傳播。振動傳播時，每個質點都在一定的平衡位置附近振動，并沒有沿著傳播方向的流動，而且質點的振動方向和波的傳播方向也不一定相同。振動方向和傳播方向相同的波稱為縱波，在空氣中或液體中傳播的聲或超聲就是縱波；特點：質點的振動方向與波傳播方向一致4如果振動方向和傳播方向垂直，這種波就是橫波。用手抖動繩子一端時，繩子上產生的波就是橫波。特點：波傳播方向上各點的振動方向與波傳播方向垂直5振動在一周期中傳播的距離為波長，通常用表示。因為相隔一周期后振動狀態復原，所以相隔一波長兩點之間的振動狀態是相同的，即振動位相相同。因此波長也就是兩個相鄰近的振動位相相同的點之間的距離。二波長、頻率、波速之間的關系縱波波長兩相鄰密集或相鄰稀疏中心間的距離橫波波長兩相鄰波峰或波谷間的距離沿波的傳播方向每隔一個波長的距離就出現振動位相相同的點，即波長描述了波在空間上的周期性。6單位時間內振動所傳播的距離以一周期內振動的次數，即以頻率代替T，則有此為波長、頻率和波速u之間的最基本的關系式。知道其中任意兩個量就可以求出另外一個量。波長表示了波在空間上的周期性，而頻率表示了波在時間上的周期性。波在空間上及時間上的周期性就以上面的關系聯系了起來。請記住波速實際上就是一定的振動狀態即振動位相的傳播速度（相速度）。由于波長是波一周期內一定位相傳播的距離，所以波速波速7最簡單、最基本的波。由于一切復雜的振動都可以看成是由若干個簡諧振動合成起來的，因此一切復雜的波也可看成是由簡諧波合成起來的。

用數學的形式去描述簡諧波，寫出以速度u沿x方向傳播的簡諧波的表達式。如圖，用0x表示波傳播的方向，縱坐標y表示直線0x上各點的位移。若能知道每一時刻直線上每一點的位移y，就掌握了波的全部過程，也就達到了描述波的目的。因此可求任一時刻t距離0點為x的任一點P的位移。四簡諧波簡諧振動的傳播所構成的波8設在x=0處任一點0的振動方程為并設在傳播過程中各點振動的振幅不變。當振動傳到P點時，P點將重復0點的振動，振幅相同、頻率相同。9因此任一點P在任一時刻t的位移為簡諧波的表達式一定的位相由0點傳到P點所需的時間所以在同一時刻t，P點的位相比0點落后在t時刻P點的位相應等于0點在時刻t－x/u的位相0點的位相10根據及上式還可可以寫成成請記住11波線上各各點的簡簡諧運動動圖12如固定在在某一點點看，即即當x一定時，，由右式式可知該該點在作作圓頻率率為的簡諧諧振動，，因此離0點不同同距離的的各點具具有不同同的振動動位相。。和0點點相距分分別為x1和x2的兩點位位相差為為振動的初初位相為為13如果則這時上述述結果說說明相距為波波長整數數倍的兩兩點振動動具有相相同的位位相。在任一時時刻t，，兩點的的位移y和速度度u都是是相同的的，我們們就說這這兩點的的振動位位相相同同。14如果則由此可見見，相距為半半波長奇奇數倍的的兩點振振動時具具有相反反的位相相。在任一時時刻t，兩點的的位移y和速度u都具有相相同的數數值，但但符號卻卻相反。。我們說說這兩點點的振動動位相相相反。15對于給定定的時間間t來說，位位移y是x的函數，，即各點點對平衡衡位置的的位移是是不相同同的。yxtt+tvt0在下一時時刻t+t，各點位位移發生生變化，，y和x的關系由由于中藍線所示。圖中紅線表示位移移y隨x而變的關關系可看到波波形向前前傳播，，傳播的的速度等等于波的的相速度度。16在導出簡諧諧波的表達達式時，我我們假定波波沿x軸的正向傳傳播。如果果波是沿x軸的負向傳傳播，則圖圖中P點的的振動比0點早開始始一段時間間，即當0點振動t秒時，P點點已振動（（t+x/u）秒。所以以P點的振振動方程為為在導出簡諧諧波的表達達式時，我我們還假定定振幅A在在傳播過程程中不變，，以后我們們會看到，，這只有在在平面波的的情形下才才是正確的的。17波動方程波沿x軸負向傳播播波長、頻率和波速u之間的關關系式18如果兩點振動位位相相同振動位相相相反上述結果說說明相距為波長長整數倍的的兩點振動動具有相同同的位相，相距為半波波長奇數倍倍的兩點振振動時具有有相反的位位相。19波動方程20----振動在一周周期中傳播播的距離為為波長因為相隔一一周期后振振動狀態復復原，所以以相隔一波長長兩點之間間的振動狀狀態是相同同的，即振振動位相相相同。因此波長長也就是兩兩個相鄰近近的振動位位相相同的的點之間的的距離。縱波波長兩相鄰密集集或相鄰稀稀疏中心間間的距離橫波波長兩相鄰波峰峰或波谷間間的距離單位時間內內振動所傳傳播的距離離波速21一選擇題：：[]B1.已知一一平面簡諧諧波的波動動表達式為為則（A）其波波速為3m/s（（B））其波速為為1/3m/s（C）其頻頻率為Hz（（D））其頻率為為1.5Hz。22二.填空空題1.已知一一簡諧波的的波動方程程為y=5cos(t+4x+/2)(SI)，可知該該簡諧波的的傳播方向向為________，其振振幅為________，周周期為________，波波長為________，波波速為________。沿x負方向向傳播232.已知一一簡諧波在在介質A中中的傳播速速度為u，，若該簡諧諧波進入介介質B時，，波長變為為在介質A中的波長長的兩倍，，則該簡諧諧波在介質質B中的傳傳播速度為為________。2u243.一簡諧諧波的波形形曲線如圖圖所示，若若已知該時時刻質點A向上運動動，則該簡簡諧波的傳傳播方向為為________，B、C、D質點點在該時刻刻的運動方方向為B________，，C________，D________。。D0ByxCAD0ByxCAuD0ByxCAuB點向上、、C點向下下、D點向向上運動向右（x軸軸正方向））傳播252.一平面面簡諧波的的波形曲線線如圖所示示，則（A）其周周期為8s（（B）其波長長為10m（C）x=6m的質質點向右運運動（（D））x=6m的質點向向下運動。。[]D周期未知x(m)y(m)010-2262x=6m時時質點向下下運動26x(m)y(m)010-22623.如果上上題中的波波速為u=10m/s，則其其頻率為(A)1.25Hz(B)1Hz(C)0.8Hz(D)條件不不夠，無法法求解。已知[]A274.有一平平面簡諧波波沿0x軸軸的正方向向傳播，已已知其周期期為0.5s，振幅幅為1m，，波長為2m，且在在t=0時時坐標原點點處的質點點位于負的的最大位移移處，則該該簡諧波的的振動方程程為0x=A[]C285.一沿0x軸負方方向傳播的的平面簡諧諧波在t=T/4時時的波形曲曲線如圖所所示，則原原點0處質質點振動的的初相為(A)0(B)/2(C)(D)3/2[]Cyx00x=A或將曲線向向傳播方向向移動1/4周期。。296.圖為一一平面簡諧諧波在t=T/4時時的波形圖圖，則P點點處的振動動方程應為為[]A0x(m)y(m)4u=20m/s-2py0/2308.一平面面簡諧波沿沿x軸負方方向傳播，，其波長為為，則位于于x1=的質點點的振動與與位于x2=-/2的質點點的振動相相位差為[]B316.已知一一平面簡諧諧波的波動動方程為y=7cos(3t-5x)(SI)，則在x1=-3m處處的質點的的振動方程程為________________，它與與在x2=4m處的的質點的振振動相位差差為__________。。325.一平面面簡諧波在在t=t0時的波形曲曲線如圖所所示，其波波速為u，，周期為T，則原點點處質點的的振動方程程為____________________；該簡簡諧波的波波動方程為為____________________。u0t=t0yxA0y原點處質點點的振動方方程波動方程33波是能量的的傳播過程程，在研究究波對物質質的作用時時，經常要要考慮波傳傳播過程中中能量的傳傳播。這是由于它它與周圍相相鄰部分有有相互作用用，進行著著能量交換換。六波的的能量能能流密度度彈性媒質中中各質元在在平衡位置置附近振動動由于彈性媒媒質發生形形變具有一定的的動能具有彈性勢勢能對一部分媒媒質來說，，能量是不不守恒的xxs34AByx動能最大時時勢能也最最大研究某一時時刻各點的的位移橫坐標x表示質點離離波源0的距離離；縱坐標標y表示質點離離開平衡位位置的位移移，則在某某一時刻各各點的位移移x和y的關系為一一余弦曲線線。可看出，當當質元A離離開平衡位位置的位移移最大時（（A點），，速度為零零，動能為為零。35AByx與孤立質點點的情形不不同，這時時勢能不是是決定于它它離開平衡衡位置的位位移，而是是決定于它它的相對形形變dy/dx。雖然此時時質點離開開平衡位置置的位移最最大，但鄰鄰近各點也也沿同一方方向發生了了位移，結結果相對形形變卻為零零，即A處處質元沒有有發生形變變。其實dy/dx就代表了曲曲線上任一一點的斜率率，A點的斜斜率為零則則勢能為零零，所以動動能為零時時勢能也為為零。從圖圖中還可以以看出，在在同一時刻刻質點B通通過平衡位位置，速度度最大因而而動能最大大。雖然B點位移為為零，但在在左方的點點發生了正正方向的位位移，右方方的點發生生了負方向向的位移，，結果相對對形變卻為為最大（此此點斜率最最大，因此此dy/dx最大），可可見動能最最大時勢能能也最大。。36例5一一平平面面簡簡諧諧波波在在彈彈性性媒媒質質中中傳傳播播，，在在某某一一瞬瞬時時，，媒媒質質中中某某質質元元正正處處于于平平衡衡位位置置，，此此時時它它的的能能量量是是（A））動動能能為為零零，，勢勢能能最最大大。。（（B））動動能能為為零零，，勢勢能能為為零零。。（（C））動動能能最最大大，，勢勢能能最最大大。。（（D））動動能能最最大大，，勢勢能能為為零零。。xy0ABx表表示示質質元元離離開開波波源源的的距距離離，，y表表示示質質元元離離開開平平衡衡位位置置的的位位移移，，對對A點點來來說說位位移移最最大大，，速速度度為為零零，，動動能能為為零零，，雖雖位位移移最最大大，，但但相相鄰鄰各各點點發發生生同同方方向向的的位位移移，，結結果果相相對對形形變變為為零零，，而而勢勢能能決決定定于于相相對對形形變變，，故故A處處勢勢能能為為零零。。對B點點來來說說，，速速度度最最大大，，動動能能最最大大；；B點點位位移移為為零零，，但但左左方方的的點點發發生生正正方方向向的的位位移移，，右右方方的的點點發發生生了了負負方方向向的的位位移移，，相相對對形形變變最最大大，，或或斜斜率率最最大大，，（（dy/dx最最大大）），，因因此此勢勢能能也也最最大大。。[]C3710.一一平平面面簡簡諧諧波波在在彈彈性性媒媒質質中中傳傳播播，，研研究究其其中中一一個個質質點點，，下下列列說說法法正正確確的的是是(A)若若該該質質點點位位于于負負的的最最大大位位移移處處，，其其動動能能為為零零，，勢勢能能最最大大(B)該該質質點點的的機機械械能能總總是是守守恒恒的的(C)該該質質點點在在最最大大位位移移處處的的勢勢能能最最大大，，在在平平衡衡位位置置的的勢勢能能最最小小(D)該該質質點點的的動動能能和和勢勢能能總總是是相相等等。。[]D在任任一一時時刻刻，，動動能能和和勢勢能能都都相相等等，，同同時時達達到到最最大大值值或或最最小小值值。。若該該質質點點位位于于負負的的最最大大位位移移處處，，其其動動能能為為零零，，勢勢能能亦亦為為零零。。機械械能能總總是是不不守守恒恒在最最大大位位移移處處的的勢勢能能為為零零，，在在平平衡衡位位置置的的勢勢能能最最大大。。38大量量事事實實說說明明，，從從幾幾個個波波源源產產生生的的波波在在同同一一介介質質中中傳傳播播時時，，無無論論相相遇遇與與否否都都保保持持自自己己原原有有的的特特性性，，如如頻頻率率、、波波長長、、振振動動方方向向等等，，按按照照自自己己原原來來的的傳傳播播方方向向繼繼續續前前進進，，不不受受其其它它波波的的影影響響。。因因此此在在相相遇遇處處各各點點的的位位移移是是各各波波單單獨獨存存在在時時在在該該點點所所引引起起的的位位移移的的矢矢量量和和。。此此即即波的的疊疊加加原原理理。八波波的的疊疊加加與與干干涉涉駐駐波波39波的的疊疊加加原原理理可可從從許許多多現現象象中中觀觀察察到到。。如如水水中中以以兩兩石石塊塊落落下下處處為為中中心心而而發發出出的的圓圓形形波波，，彼彼此此穿穿過過而而又又離離開開后后仍仍是是正正圓圓形形的的，，并并仍仍以以石石塊塊落落下下處處為為圓圓心心；；樂樂隊隊演演奏奏樂樂曲曲時時，，各各種種樂樂器器的的聲聲音音保保持持各各自自原原有有的的特特色色，，因因而而能能夠夠從從中中分分辨辨出出來來。。可看看到到，，幾幾列列波波在在介介質質中中同同時時傳傳播播時時，，各各波波在在重重疊疊處處都都按按原原來來的的方方式式引引起起相相應應的的振振動動，，而而質質點點的的振振動動就就是是這這些些振振動動的的合合振振動動。。如如果果各各波波的的振振動動頻頻率率不不同同，，振振動動方方向向不不同同，，則則在在重重疊疊處處引引起起的的振振動動是是很很復復雜雜的的。。40實際上上最重重要的的是兩兩波源源的頻率相相同、、振動動方向向相同同、位位相相相同或或有固固定位位相差差的特殊殊情形形。這這時在在重疊疊處，，兩列列簡諧諧波所所引起起的簡簡諧振振動具具有相相同的的振動動方向向、相相同的的頻率率，且且彼此此之間間有固固定的的位相相差，，因此此合成成后仍仍為一一簡諧諧振動動，振振幅則則視位位相差差而定定。位位相相相同的的地方方振幅幅最大大，位位相相相反的的地方方振幅幅最小小。這這種在在兩波波重疊疊處有有些地地方振振動加加強，，而在在另一一些地地方振振動減減弱或或完全全抵消消的現現象，，稱為為干涉現現象。能產產生干干涉現現象的的兩列列波稱稱為相干波波，波源源則稱稱為相干波波源。41具體分分析一一下干干涉現現象。。設有有兩個個相干干波源源S1和S2，其振振動方方程分分別為為s2s1pr1r2據相干干波源源的條條件，，可知知兩列列波的的位相相差2–1恒定。。從這這兩波波源發發出的的波在在空間間相遇遇時，，P處處質點點的振振動可可按疊疊加原原理計計算。。設P點離離開S1和S2的距離離分別別為r1和r2，兩列列波波波長為為，那那么P點的的兩個個分振振動為為4243而合振振動為為其中兩相干干波在在空間間任一一點所所引起起的兩兩個振振動的的位相相差這是一一個恒恒量，，可知知任一一點的的振幅幅A也也是一一個恒恒量。。s2s1pr1r244s2s1pr1r2若符合合下述述條件件則空間各各點合合振幅幅為最最大。。此時空間各各點合合振幅幅最小小。對于同同位相相相干干波源源，應應有1=2，則上上述條條件簡簡化為為45或是從從波源源發出出的兩兩列相相干波波到達達P點點時所所經過過的路路程之之差。。所以以上兩兩式說說明，，兩相相干波波源為為同位位相時時，在在兩列列波的的疊加加區域域內，，在波波程差差等于于零或或波長長的整整數倍倍的各各點振振幅最最大；；在波波程差差等于于半波波長的的奇數數倍的的各點點振幅幅最小小。請記住住加強減弱46演示實實驗：：弦線線上的的駐波波駐波是是干涉涉的特特例。。當頻頻率與與繩長長調整整適當當，繩繩上分分段振振動，，某些些點振振幅很很大，，某些些點幾幾乎不不動，，稱為為駐波。駐波的的特點點不是是振動動的傳傳播而而是媒媒質中中各質質點都都作穩穩定的的振動動。駐波所謂駐駐波，，是由由振幅相相同、、頻率率相同同、振振動方方向相相同而而相向向傳播播的兩列列波相相疊加加而成成的。。4748設沿X軸正正方向向和負負方向向傳播播的兩兩列相相干波波的表表達式式為在兩波波重疊疊出各各點的的位移移為兩兩波引引起的的位移移的合合成，，即此式由由三角角函數數的和和差與與積之之間的的關系系而來來由上式式可見見，坐坐標為為X的的點在在作振振幅為為頻率為為的簡諧諧振動動。因因此各各點都都在作作同樣樣頻率率的簡簡諧振振動，，但具具有不不同的的振幅幅。49滿足cos(2πx/λ)=0的點點，振振幅為為零，，這些些點始始終靜靜止不不動，，稱為為波節；兩列波波在這這些點點上引引起的的振動動具有有相同同的位位相，，因而而疊加加后振振幅最最大，，等于于2A。兩列波波在這這些點點上引引起的的振動動具有有相反反的位位相，，因而而疊加加后振振幅為為零；；波節波腹滿足|cos(2ππx/λ)|=1的點點，振振幅最最大，，等于于2A,這這些點點的振振動最最強，，稱為為波腹。50求波腹和波波節的坐標標波腹得出決定波波腹位置的的條件為波節得出決定波波節位置的的條件為四分之一波波長的偶數數倍四分之一波波長的奇數數倍51波腹波節由測得波節與與波節或波波腹與波腹腹之間的距距離就可確確定兩列波波的波長兩相鄰波節節或兩相鄰鄰波腹之間間的距離都都是半波長長波節與兩相相鄰波腹之之間的距離離為四分之之一波長52測定波長演示實驗：弦弦線上的駐波波53駐波的相位因子cos2x/在波波節的兩旁具具有相反的符符號，在波節節之間具有相相同的符號。。若cos2x/為正正，則在兩波波節之間的各各點都具有相相同的振動位位相2t，而波節兩兩旁的點則具具有相反的振振動位相。由由見兩波節之之間的各點同同時沿同方向向達到最大值值，又同時沿沿同一方向通通過平衡位置置。使cos(2πx/λ)為正的的點，相位為為2πνt;使cos(2πx/λ)為負的的點，相位為為2πνt+π。如圖，波在每每一瞬間都有有一定的波形形，但這波形形是固定不動動的，只是各各點的位移變變化大小而已已，因此才稱稱之為駐波。54駐波的能量由于波腹處質質元的速度最最大，動能最最大，而在波波節處，各質質元的速度為為零，動能為為零因此動能集中在波波腹附近。當各質元的位位移都同時達達到最大值時時，各質元動動能都為零（（速度為零）），全部能量量都是勢能（（位移最大））。由于波節附近近相對形變最最大，勢能最最大，而在波波腹處相對形形變為零，勢勢能為零，因因此勢能集中在波波節附近。當各質元都同同時通過平衡衡位置時，各各質元的相對對形變都為零零，即勢能為為零，全部能能量都是動能能。55駐波的能量因此駐波無所謂傳傳播方向，不不傳播任何能能量，實質上這是是介質的一種種特殊的振動動形態，而不不是作為能量量傳播過程的的波。為了區區別一般的波波與駐波，往往往將前者稱稱為行波。勢能集中在波波節附近；動能集中在波波腹附近。可見在介質振振動的過程中中動能和勢能能不斷轉換。。在轉換過程程中能量不斷斷地從波節附附近集中在波波腹附近，再再由波腹附近近集中到波節節附近。由于疊加成駐駐波的兩列波波能流密度的的數值相等，，方向相反，，因而在振動動過程中沒有有能量沿某一一方向傳播，，能流密度為為零。56駐波的形成通通常是在前進進波與反射波波相干涉的情情況下發生的的，例如繩的的一端固定，，音叉振動時時在固定點產產生反射波，，入射波與反反射波相干涉涉后就使細繩繩上產生駐波波，波的反射射處是一波節節。一般情況下反反射處是波腹腹還是波節與與兩種介質的的密度有關，，密度大的介介質稱為波密介質；密度小的介介質稱為波疏介質。如波從較密密的介質反射射而回到較疏疏的介質時反反射處形成波波節，反之形形成波腹。57波密介質較大波疏介質較小波疏介質波波密密介質58波疏介質-------波密介質59例如聲波