選擇-消費者均衡分析一.良好性狀偏好消費者選擇的幾何分析.NABEC3121.56x1x2....1.消費者的選擇為E點.2.E點為均衡點.如何理解經濟學的均衡概念.3.E點的存在性與唯一性對偏好提出了要求.4.E點在邊界上達到.5.在E點,預算性與無差異曲線相切.MRS12=MU1/MU2=p1/p21)相切條件.2)邊際意愿替代率與市場替代率相等.3)對正單調轉換的不變性.6.MU1/p1=MU2/p2=λ*1)等邊際效用法則.2)貨幣的影子價格.3)對正單調轉換的可變性.4)解釋需求曲線向下傾斜.7.效用函數為u(x1,x2)=x1x2預算線為8x1+2x2=24MU1/MU2=x2/x1=p1/p2=8/2=4解得:x1*=1.5x2*=6u*=u(x1*,x2*)=9λ*=0.75/2/二.特殊偏好的均衡分析1.完全替代m/p1m/p2u(x1,x2)=x1+x2p1<p2m/p1>m/p2在E點,相交而非相切x1*=m/p1x2*=0u*=x1*=m/p1EABx2x1...Ep1>p2x1*=0x2*=m/p2u*=x2*=m/p2經濟解釋p1=p2預算線與一條無差異曲線重合,其上所有點都是均衡點p1x1*+p2x2*=mu*=m/(p1)x2x2x1x12.完全互補ABECx2=x1m/p1m/p2u(x1,x2)=min{x1,x2}無差異曲線在E點不可導,在E點不是相切,是相交,交點是唯一的.x1*=x2*=m/(p1+p2).u*=u(x1*,x2*)=m/(p1+p2).x2x13.厭惡品E角點解,相交非相切.x1*=m/p1x2*=0.全部購買嗜好品.x2x14.中性商品Ex2x15.離散商品.........E.........Ex2x2x1x1......三.均衡的存在性與唯一性1.威恩斯特拉斯(weierstrass)定理設f:S→R是一個連續實值映射,其中S是Rn的一個非空的緊子集,那么存在一個向量xMax∈S與一個向量xMin∈S,使得f(xMin)≤f(x)≤f(xMax)對于x∈S.閉區間上連續函數取最大值和最小值的一般化.2.Maxu(x)s.tpx≤m預算集B是Rn的緊子集.偏好關系是完備的.可傳遞的.連續的.嚴格單調的→→u(x)存在.是實值連連續函數.根據威恩斯斯特拉斯(weierstrass)定理→均衡存在在.根據嚴格單單調性→x*在B的邊界界達到,px*=m.根據偏好關關系嚴格凸凸性→u(x)嚴嚴格擬凹→x*是唯一的.證明:如果果x*不是唯一的的,存在x1和x2是最優點.u(x)嚴嚴格擬凹,存在xt,u(xt)>u(x1),矛盾.四.均衡的的代數分析析多元函數偏偏導數就是是將其余變變量看作常常數對該變量的的導數.1.等式約約束極值的的拉格朗爾爾乘子法Max(Min)y=f(x1,x2,…,xn)s.tg(x1,x2,…,xn)=0拉格朗爾函函數L(x1,x2,…,xn,λ)=f(x1,x2,…,xn)-λg(x1,x2,…,xn)必要條件:Li=0(i=1,2,…,n)Lλ=0fi=λgig(x1,x2,…,xn)=02.Maxu(x1,x2)=x1x2s.t8x1+2x2=244x1+x2=12L(x1,x2,λ)=x1x2-λ(8x1+2x2-24)L1=x2-λ8=0L2=x1-λ2=08x1+2x2-24=0解得x1*=1.5x2*=6u*=u(x1*,x2*)=93.u(x1,x2)=x1cx2dMaxlnu(x1,x2)=clnx1+dlnx2s.tp1x1+p2x2=mL(x1,x2,λ)=clnx1+dlnx2-λ(p1x1+p2x2-m)L1=c/x1-λp1=0→c=λp1x1L2=d/x2-λp2=0→d=λp2x2Lλ=-p1x1-p2x2+m=0→c+d=λ(p1x1+p2x2)λ=(c+d)/mx1*=c/(λλp1)=[c/(c+d)](m/p1)x2*=d/(λλp2)=[d/(c+d)](m/p2)x1*=x1*(p1,p2,m),x2*=x2*(p1,p2,m)馬歇爾需求求函數.u*=u(x1*,x2*)=u*(p1,p2,m)間接接效用函數數.4.Maxu(x1,x2,…,xn)s.tp1x1+p2x2+…+pnxn=mL(x1,x2,…,xn,λ)=u(x1,x2,…,xn)-λ(p1x1+p2x2+…+pnxn-m)Li=ui-λpi=0Lλ=-p1x1-p2x2-…-pnxn+m=01)xi*=xi*(p1,p2,…,pn,m)馬歇爾需求求函數.u*=u*(p1,p2,…,pn,m)間接效用函函數.2)ui/uj=pi/pj需求—比較較靜態分析析一.收入變變動的比較較靜態分析析1.其他條條件不變偏好不變.無差異曲曲線不變.價格不變.預算線斜斜率不變.收入變動.預算線平平行移動.2.收入提提供曲線與與恩格爾曲曲線收入提供曲曲線是收入入變動均衡衡點變動曲曲線.恩格爾曲線線是某種商商品需求與與收入變動動的關系曲曲線....x1*x2*x3*E1E2E3x1*x2*x3*m1m2m3x1mx1x2收入入提提供供曲曲線線恩格格爾爾曲曲線線3.完完全全替替代代E1E2E3x1*=m/p1p1<p2x1=m/p1mx1x2x1收入入提提供供曲曲線線恩格格爾爾曲曲線線4.完完全全互互補補x1*=x2*=m/(p1+p2)x2=x1收入入提提供供曲曲線線x1=m/(p1+p2)恩格格爾爾曲曲線線E1E2E3x2x1x1m5.柯柯布布－－道道格格拉拉斯斯x1*=[c/(c+d)](m/p1)=αα(m/p1)6.相相似似偏偏好好x≧y對對于于t>0tx≧ty←←→→相相似似偏偏好好.需求求束束與與收收入入按按相相同同比比例例增增減減,恩恩格格爾爾曲曲線線是是過原原點點的的直直線線.x*是收收入入m時時的的需需求求束束,px*=m,x*≧y.py≤≤m.ptx*=tm,相相似似偏偏好好→→tx*≧ty.pty≤≤tm.tx*是收收入入tm時時的的需需求求束束.完全全替替代代.完完全全互互補補.柯柯布布－－道道格格拉拉斯斯偏偏好好是是相相似偏偏好好.7.擬擬線線性性偏偏好好x1*=m/p1412345收入入提提供供曲曲線線u=(x1)0.5+x2p1=1p2=4x1*=(p2/(2p1))2=444x1=mx2x1x1m8.基基于于需需求求與與收收入入變變化化關關系系的的商商品品分分類類收入入增增加加,需需求求增增加加,中中高高檔檔商商品品;收收入入增增加加,需求求下下降降,低低檔檔商商品品.x1是低低檔檔商商品品,x2是中中高檔檔商商品品.低低檔檔商商品品不不是是厭厭惡惡品品...mx1x1x2E1E2二.價價格格變變動動的的比比較較靜靜態態分分析析1.其其他他條條件件不不變變偏好好不不變變.無無差差異異曲曲線線不不變變.收入入和和另另一一種種商商品品價價格格不不變變.預預算算線線在在另另一一種種商品品軸軸截截距距不不變變.某種種商商品品價價格格變變動動.預預算算線線饒饒不不動動點點轉轉動動.2.價價格格提提供供曲曲線線與與需需求求曲曲線線價格格提提供供曲曲線線是是價價格格變變動動均均衡衡點點變變動動曲曲線線.需求求曲曲線線是是某某種種商商品品需需求求與與其其價價格格的的關關系系曲曲線.又又稱稱作作普普通通需需求求曲曲線線...p1x1m/p1m/p1’p1p1’x1*x1*’價格提供供曲線需求曲線線基數效用用理論→→邊際效效用遞減減規律→需求曲曲線向下下傾斜規規律x2x13.完全全替代p1>p2p1=p2p1<p2價格提供供曲線p1x1.p2p1>p2,x1=0;p1=p2,x1=0~m/p2;p1<p2,x1=m/p1.x2x14.完全全互補m/p2p1x1價格提供供曲線與收入入提供曲線重重合x1=m/(p1+p2)x2x15.基基于需求求與價格格變動關關系的商商品分類類某商品需需求量隨隨自身價價格下降降而增加加,正常商品品.某商品需需求量隨隨自身價價格下降降而下降降,吉芬商品品.某商品需需求量隨隨另一種種商品價價格上升升而增加,互互為替代代品.某商品需需求量隨隨另一種種商品價價格上升升而下降,互互補品.某商品需需求量隨隨另一種種商品價價格上升升保持不變,無關商商品.三.稅收收效應分分析1.所得得稅等價價于收入入減少變變動,從從量稅和和從價稅等價于于價格上上升變動動.2.從量量稅與等等量所得得稅效應應比較E2E1E3m/p1m/(p1+t)x2x11)從量量稅預算算線(p1+t)x1+p2x2=m在E2點,(p1+t)x1*+p2x2*=m,稅稅收收入入為tx1*.2)等量量所得稅稅預算線線p1x1+p2x2=m-tx1*.(x1*,x2*)滿足該該式,該該線過E2點.3)-(p1+t)/p2<-p1/p2.兩線相交交于E2點,等量量所得稅稅預算線線平緩,一定存在更優優選擇E3.4)等量量所得稅稅優于從從量稅.比較靜態態分析與與導數四.幾個個概念1.馬歇歇爾需求求函數和間接效效用函數數.1)maxu(x)s.tpx≤≤yx=x(p,y)馬歇歇爾需求求函數v(p,y)=u(x(p,y))間接效效用函數數2)≧完備的,可傳遞遞的,連連續的,嚴格單單調的,嚴格凸凸的→馬馬歇爾需需求函數數x=x(p,y):(1)關關于p和y是是零次齊齊次的.(2)滿滿足預預算平衡衡性px(p,y)=y.(3)x*>>0,p*>>0,y0>0u在R+n上二階連連續可微微,ζu(x*)/ζxi>0.u的加邊邊海塞矩矩陣H在x*處有一個個非零的的行列式式→馬歇爾爾需求函函數x=x(p,y)在(p0,y0)處可微微.0u1u2…unu1u11u12…u1nH=u2u21u22…u2n………………………unun1un2…unn3)u在R+n上是連續續的且嚴嚴格遞增增的,間接效用用函數v(p,y):(1)在在R++n×R+上連續.(2)關關于(p,y)是零次次齊次的的.(3)關關于y是是嚴格遞遞增的.(4)關關于p遞遞減.(5)關關于(p,y)是擬凸凸的.(6)羅羅伊等式式:如果果v(p,y)在(p0,y0)處可微微.ζv(p0,y0)/ζy≠0,xi(p0,y0)=-ζv(p0,y0)/ζpi/ζv(p0,y0)/ζy2.希克克斯需求求函數和和支出函函數.1)minpxs.tu(x)≥≥ux=x(p,u)希希克斯需需求函數數e(p,u)=px(p,u)支支出函數數2)u在R+n上是連續續的且嚴嚴格遞增增的,支支出函數數e(p,u):(1)當當u取U中的最最低效用用水平時時,它為為零.(2)在在R++n×R+上連續.(3)對對p>>0,關關于u是是嚴格遞遞增且無上界界.(4)關關于p遞遞增.(5)關關于p是是一次齊齊次的.(6)關關于p是是凹的.(7)如如果u是是嚴格擬擬凹的,謝潑德引引理:(p0,u0)處,p0>>0,如果e(p,u)可微.ζe(p0,u0)/ζpi=xih(p0,u0)3.關系系對偶性性v(p,y)與與e(p,u)u在R+n上是連續續的且嚴嚴格遞增增,p>>0,y≥0.(1)e(p,v(p,y))=y.(2)v(p,e(p,u))=u.2)x(p,y)與與x(p,u)≧完備的,可傳遞遞的,連連續的,嚴格單單調的,嚴格凸凸的,p>>0,y≥≥0.u∈∈U(1)xi(p,y)=xih(p,v(p,y)).(2)xih(p,u))=xi(p,e(p,u))/3/顯示偏好好消費者偏偏好(不不可觀察察)→需需求理論論→市場需求求的可觀觀察性質質→消費費者行為為消費者可可觀察的的行為→→消費者者可觀察察選擇的假設中中→不可可觀察偏偏好→消消費者理理論保羅-薩薩繆爾森森,經濟濟分析基基礎,1947.一.顯示示偏好假設基本本偏好是是嚴格凸凸的.1.直接接顯示偏偏好1)定義義:x0.x1∈X,x0≠x1,p0x0≥p0x1或在x1可選的情情況下,消費者者在p0時選擇x0,稱x0被直接顯顯示偏好好于x1.2)p0=(p1,p2)=(1,2),x0=(1,2);x1=(2,1).p0x0=5,p0x1=4,p0x0>p0x1;x2=(4,1).p0x2=6,p0x0<p0x2.x0被直接顯示偏偏好于x1.x0不被直接顯示示偏好于x2...xy-p1/p2p1x1+p2x2≥p1y1+p2y2x被直接顯示示偏好于y3)x2x1.z4)直接顯示示偏好概念不不同于偏好概概念.2.顯示偏好好原理:x0被直接顯示偏偏好于x1,假設消費者總總是在他能夠夠選擇的消費費束中選擇他最偏好好的消費束或或消費者選擇擇時追求效用最大化化,那么x0﹥x1.3.間接顯示示偏好1)定義:x0被直接顯示偏偏好于x1,x1被直接顯示偏偏好于x2,則x0被間接顯示偏偏好于x2.2)p0=(1,2),x0=(1,2);p1=(2,3),x1=(2,1);x2=(1,1.5).p0x0≥p0x1,p1x1≥p1x2...........x0x1x24.恢復偏好好...xyzx2x2x1x1-1/2-2/35.顯示偏好好弱公理(WARP)1)x0.x1∈X,x0≠x1,消費者追求求效用最大化,如果x0被直接顯示偏偏好于x1,那么x1不能被直接顯顯示偏好于x0.2)證明利用用顯示偏好原原理采用反證證法.........x0x13)p0=(3,4),p1=(4,3).x0=(1,9/4),x1=(9/4,1).p0x0=12,p0x1=10.75.p1x1=12,p1x0=10.75.p0x0>p0x1,p1x1>p1x0.違反WARP.x2x1..x1=(3/4,3)x0=(3,3/4)p0x1=p1x0=14.25,不違反WARP.x2x1..4)x1x2x3p1=(1,2),x1=(1,2)p1546p2=(2,1),x2=(2,1)p2456p3=(1,1),x3=(2,2)p3334p1x1>p1x2,x1被直接顯示偏偏好于x2;p2x2>p2x1,x2被直接顯示偏偏好于x1;違反顯示偏好好弱公理.6.顯示偏好好強公理(SARP)1)x0.x1∈X,x0≠x1,消費者追求求效用最大化,如果x0被直接或間接接顯示偏好于于x1,那么x1不被直接或間間接顯示偏好好于x0.2)證明利用用顯示偏好原原理采用反證證法.3)x1x2x3p1201022p2212015p3121514p1x1>p1x2,x1被直接顯示偏偏好于x2;p2x2>p2x3,x2被直接顯示偏偏好于x3;x1被間接顯示偏偏好于x3.p3x3>p3x1,x3被直接接顯示示偏好好于x1.違反顯顯示偏偏好強強公理理.二.指指數1.數數量指指數Iq=(w1x1t+w2x2t)/(w1x1b+w2x2b)拉氏指指數Lq=(p1bx1t+p2bx2t)/(p1bx1b+p2bx2b)Lq<1,xb直接顯顯示偏偏好于于xt.帕氏指指數Pq=(p1tx1t+p2tx2t)/(p1tx1b+p2tx2b)Pq>1,xt直接顯顯示偏偏好于于xb.2.價價格指指數Ip=(w1p1t+w2p2t)/(w1p1b+w2p2b)Lp=(x1bp1t+x2bp2t)/(x1bp1b+x2bp2b)Pp=(x1tp1t+x2tp2t)/(