學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE17-學必求其心得，業必貴于專精模塊復習課（教師獨具）一、解三角形1．正弦定理及其推論：設△ABC的外接圓半徑為R，則(1）eq\f(a，sinA）＝eq\f(b，sinB)＝eq\f（c,sinC）＝2R。(2）a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B,c＝2Rsin_C．（3)sinA＝eq\f(a，2R），sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f（c,2R）。（4)在△ABC中，A〉B?a>b?sin_A>sin_B．2．余弦定理及其推論：（1）a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B,c2＝a2＋b2－2abcos_C．(2）cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc）；cosB＝eq\f（a2＋c2－b2，2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).（3）在△ABC中，c2＝a2＋b2?∠C為直角；c2>a2＋b2?∠C為鈍角；c2<a2＋b2?∠C為銳角．3．正弦定理、余弦定理解三角形的問題:（1)兩類正弦定理解三角形的問題：①已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角．②已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊角．（2）兩類余弦定理解三角形的問題:①已知三邊求三角．②已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角．4．三角形面積公式：（1)S＝eq\f（1，2)aha＝eq\f(1，2）bhb＝eq\f（1,2）chc．(2)S＝eq\f（1，2)absinC＝eq\f(1，2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB．二、數列1．由遞推關系求數列通項公式時的常用方法有：（1）已知a1,且an－an－1＝f(n)，可用“累加法"求an；（2）已知a1，且eq\f（an,an－1）＝f（n）,可用“累乘法”求an;(3）已知a1,且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝qeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(an＋k)），(其中k可由待定系數法確定），可轉化為數列｛an＋k}成等比數列求an;（4)形如an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)（A,B，C為常數)的數列，可通過兩邊同時取“倒數”構造新數列求解．注意求出n＝1時,公式是否成立．2．an與Sn關系的應用問題：(1）由an與前n項和Sn關系求an時:an＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2)），當n＝1時，若a1適合an＝Sn－Sn－1（n≥2）,則n＝1時的情況可并入n≥2時的通項an；否則用分段函數的形式表示．(2)由an與前n項和Sn關系求Sn，通常利用an＝Sn－Sn－1(n≥2）將已知關系式轉化為Sn與Sn－1的關系式，然后求解．3．判定一個數列是等差數列的方法：(1）用定義法(當n≥2時,an－an－1為同一常數）;（2）等差中項法(n≥2,2an＝an－1＋an＋1）；（3)an＝an＋b(a，b為常數)；（4）Sn＝an2＋bn（a，b為常數)．4．解決等差數列問題時，基本量法是常用方法，即把條件用公差d與首項a1來表示，列出方程進行求解．5．求等差數列前n項和的最值的常用方法:(1）運用配方法轉化為二次函數，借助二次函數的性質求最值；（2）用通項公式求最值：求使an≥0(an≤0)成立時的最大值即可．6．判定一個數列是等比數列的方法：(1)定義法（n≥2，eq\f(an,an－1)為同一常數）；（2）等比中項法（n≥2,aeq\o\al（2,n）＝an－1·an＋1)(an≠0)．7．解決等比數列問題時，基本量法是常用方法,即把條件用公比q與首項a1來表示，列出方程進行求解．8．數列求和常用方法有：（1）公式法：直接利用等差、等比數列的前n項和公式求和(等比數列求和需考慮q＝1與q≠1)；(2）倒序相加法：若一個數列{an｝的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項和相等或等于同一個常數，這樣的求和問題可用倒序相加法；（3）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和；(4)錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的求和問題可用錯位相減法；（5)分組求和法：若一個數列是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成,則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．三、不等式1．（1）比較兩個實數大小的依據是：a－b〉0?a〉b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b．(2)作差比較兩個代數式的大小過程中，變形的方法常有因式分解和配方法．2．不等式的性質（1)性質1如果a〉b,那么b<a；如果b〈a,那么a〉b．(對稱性)(2）性質2如果a〉b，且b〉c，則a〉c．（傳遞性）（3）性質3如果a>b，則a＋c>b＋c．推論1不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后,從不等式的一邊移到另一邊．(移項法則）推論2如果a〉b，c〉d，則a＋c>b＋d．(4）性質4如果a>b，c>0，則ac>bc;如果a>b，c<0，則ac〈bc．推論1如果a>b>0，c>d〉0,則ac〉bd．推論2如果a〉b>0，則an>bn（n∈N＋，n>1）．推論3若果a〉b〉0,則eq\r（n，a)>eq\r(n，b）(n∈N＋，n〉1）．3．均值不等式的變形式：(1）a，b∈R?a2＋b2≥2ab（當且僅當a＝b時取“＝”號)；（2）a，b∈R＋時，eq\f（2ab，a＋b)≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b，2)≤eq\r(\f（a2＋b2,2)）(當且僅當a＝b時取“＝”號）．4．利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法則是：（1)如果x〉0，y〉0，xy＝p(定值)，當x＝y時，x＋y有最小值2eq\r(p)(簡記為：積定,和有最小值)；（2）如果x〉0，y>0,x＋y＝s(定值），當x＝y時，xy有最大值eq\f（1，4）s2(簡記為：和定，積有最大值)．5．利用基本不等式求最值滿足條件:一正、二定、三相等．注意：（1)若多次利用基本不等式求解一個式子的最值時，需驗證每次等號成立的條件必須相同；(2)若等號成立不在給定的區間內，通常利用函數的單調性求最值。6．一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2＋bx＋c〉0(a≠0），再求相應一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）的根,最后根據相應二次函數圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集．7．簡單分式不等式的解法（1)eq\f（fx,gx）>0（<0)?f（x)·g（x)〉0(<0);（2）eq\f(fx，gx）≥0（≤0)?f（x）·g(x）≥0（≤0)且g(x）≠0.8．線性規劃中常見目標函數的轉化公式：（1)截距型:z＝ax＋by?y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b），與直線的截距相關聯，若b>0,則eq\f（z，b）的最值情況和z的一致；若b<0，則eq\f（z，b)的最值情況和z的相反;（2)斜率型：z＝eq\f(y－b，x－a）?(a，b)與(x，y）的斜率;(3）點點距離型：z＝x2＋y2＋ax＋by＋c?z＝（x－m)2＋（y－n）2表示（x,y）到（m,n)兩點距離的平方；（4)點線距離型：z＝｜ax＋by＋c|?z＝eq\f(|ax＋by＋c｜，\r（a2＋b2）)×eq\r(a2＋b2）表示（x,y）到直線ax＋by＋c＝0的距離的eq\r(a2＋b2)倍．(教師獨具)1．在三角形中，大邊對大角，小邊對小角．（√)2．任意給定三邊和三角中的三個元素，都可以用正弦、余弦定理解三角形．（×）提示：已知三角無法解得三角形三邊．3．已知三角形兩邊及一邊的對角時，解可能有兩個．（√)4．已知三角形兩邊及一邊的對角時，解一定有兩個．（×)提示：可能無解，也可能一解，也可能兩解．5．在△ABC中，若a2〈b2＋c2,則△ABC一定為銳角三角形．（×)提示:若a2<b2＋c2,則∠A為銳角，而銳角三角形是三個角均為銳角．6．若數列｛an}滿足an－an－1＝d(其中d為常數，則{an}為等差數列．(×)提示：n≥2.7．任意兩個實數都有等差中項．（√)8．任意兩個非零實數都有等比中項．(×)提示：只有同號的兩數才有等比中項．9．若數列{an｝滿足an＝qan－1(其中q為非零常數），則{an}為等比數列．（×)提示:n≥2.10．x，G，y成等比數列，則G＝eq\r(xy）。（×）提示：G＝±eq\r（xy）.11．若數列｛an｝的前n項和Sn＝an2＋bn＋c（a，b，c∈R),則數列{an｝為等差數列的充要條件是c＝0。(√)12．等差數列｛an｝的前n項和為Sn，則Sm,S2m－Sm，S3m－S2m(m∈13．兩個等差數列{an｝與｛bn}的和差的數列｛an＋bn｝、｛an－bn｝仍為等差數列．（√)14．兩個等比數列{an｝與｛bn｝的積、商、倒數組成的數列仍為等比數列．(√）15．若數列{an}的前n項和為Sn，則an＝Sn－Sn－1.(×）提示：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1,n≥2。））16．等比數列的首項為a1,公比為q，那么其前n項和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)。（×）提示：Sn＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，，\f(a11－qn，1－q),q≠1.)）17．若數列{an｝的前n項和Sn＝k·qn－k（k為常數且k≠0，q≠0，1），則{an｝是等比數列．（√)18．若ac>bc，則a>b．(×)提示:c<0時，a〈b．19．兩個不等式相乘時,同向同負時也能相乘符號不變．(×）提示：a<b〈0,c〈d<0則ac〉bd．20．利用均值不等式求最值時，如果沒要求就可以不用寫出等號成立的條件．(×）提示：一正、二定，三相等,必需要點明，要注意等號成立的條件是否在給定范圍內．21．(x＋y）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,x)＋\f(4，y)）)≥2eq\r（xy)·2eq\r（\f(4，xy)）＝8.（×)提示：兩個均值不等式等號成立條件不同．22．若xy>0，則（x＋y）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，x)＋\f（4，y））)＝5＋eq\f(y，x）＋eq\f（4x，y)≥5＋2eq\r(\f（y,x）·\f（4x，y)）＝9。(√）23．不等式ax2＋bx＋c〉0恒成立等價于a〉0且b2－4ac提示：a＝0時，也可能恒成立．24．含參數的一元二次不等式必須要根據Δ>0，Δ＝0,Δ〈0進行分類討論．（×)提示：還可能討論二次項系數，也可能討論根的大?。?5．含參數的一元二次不等式可能不用分類討論．(√)26．eq\f（fx，gx)≥0?f(x）g（x)≥0。（×）提示：g（x）≠0。27．線性規劃問題中線性目標函數一定有最大值．（×)提示：當可行域為開放型區域時,不一定有最大值．28．線性規劃問題中最優解一定在頂點處取得,所以只需要把頂點坐標代入目標函數，然后比較函數值的大小即可得到最大值或最小值．（×)提示：有時最優解不一定在頂點處取得．29．線性規劃問題中取得最大值的最優解要么沒有，要么一個．（×）提示：也可能無數個，也可能有幾個，如整點．30．比較兩數或兩式大小時,作差法和作商法均可以．(×）提示：作商法要求分母不為零，且要注意分子、分母的符號．1．（2018·全國卷Ⅱ）在△ABC中，coseq\f（C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，則AB＝(）A．4eq\r(2) B．eq\r(30)C．eq\r（29) D．2eq\r(5)A[因為coseq\f(C,2）＝eq\f(\r(5)，5),所以cosC＝2cos2eq\f（C,2）－1＝2×eq\f(\r（5）,5)2－1＝－eq\f（3,5）.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×－eq\f（3,5)＝32，所以AB＝4eq\r(2).故選A．］2．（2018·全國卷Ⅰ）記Sn為等差數列｛an}的前n項和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝（）A．－12 B．－10C．10 D．12B[法一：設等差數列｛an}的公差為d，∵3S3＝S2＋S4，∴3eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×2,2)d））＝2a1＋d＋4a1＋eq\f（4×3，2)d，解得d＝－eq\f(3,2）a1,∵a1＝2,∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3）＝－10。故選B．法二：設等差數列{an}的公差為d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋eq\f(3×2，2）d＝D．∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×（－3）＝－10。故選B．］3．（2018·全國卷Ⅲ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為eq\f(a2＋b2－c2,4），則∠C＝()A．eq\f(π，2) B．eq\f（π，3）C．eq\f(π,4） D．eq\f（π,6）C[因為S△ABC＝eq\f(1,2）absinC，所以eq\f(a2＋b2－c2，4)＝eq\f(1,2)absinC．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC,所以在△ABC中，∠C＝eq\f（π，4）.故選C．］4．（2018·全國卷Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，C．已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________．eq\f(2\r（3),3）[由bsinC＋csinB＝4asinBsinC得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，因為sinBsinC≠0，所以sinA＝eq\f（1，2）.因為b2＋c2－a2＝8，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc),所以bc＝eq\f（8\r(3)，3），所以S△ABC＝eq\f(1,2）bcsinA＝eq\f(1,2）×eq\f（8\r（3）,3）×eq\f(1,2）＝eq\f(2\r（3）,3）。]5．（2018·全國卷Ⅰ）記Sn為數列｛an｝的前n項和．若Sn＝2an＋1,則S6＝________.－63[法一:因為Sn＝2an＋1,所以當n＝1時，a1＝2a1＋1,解得a1＝－1；當n＝2時，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；當n＝3時，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4;當n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；當n＝5時，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1,解得a5＝－16；當n＝6時，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32.所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.法二：因為Sn＝2an＋1，所以當n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1），所以an＝2an－1,所以數列｛an}是以－1為首項，2為公比的等比數列,所以an＝－2n－1，所以S6＝eq\f（－1×1－26,1－2）＝－63.]6．(2018·全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x－2y－2≤0，,x－y＋1≥0，,y≤0，））則z＝3x＋2y的最大值為________．6［作出可行域為如圖所示的△ABC所表示的陰影區域，作出直線3x＋2y＝0，并平移該直線，當直線過點A(2,0)時，目標函數z＝3x＋2y取得最大值,且zmax＝3×2＋2×0＝6.]7．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋eq\f(1,8b）的最小值為________．eq\f（1，4）［因為a－3b＋6＝0，所以a－3b＝－6，2a＋eq\f（1，8b）＝2a＋eq\f(1,23b）＝2a＋2－3b≥2eq\r(2a·2－3b）＝2eq\r（2a－3b)＝2eq\r（2－6)＝eq\f(1,4)（當且僅當2a＝eq\f(1,8b），即a＝－3,b＝1時取等號)，所以2a＋eq\f（1,8b）的最小值為eq\f（1,4）.］8．(2018·全國卷Ⅰ）在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5。（1）求cos∠ADB;(2)若DC＝2eq\r（2），求BC．［解]（1)在△ABD中，由正弦定理得eq\f（BD，sin∠A)＝eq\f（AB,s