1、基本概 微分方程的階微分方程中出現的未知函數的最微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等通解如果微分方程的解中含有任意常數，并且任意常數的個數與微分方程的階數相同，這樣的解叫做微分方程的通解．特解確定了通解中的任意常數以后得到的解，初始條件用來確定任意常數的條件初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，2、一階微分方程的解分離變量分離變量形如gy)dy

f(解法

g(y)dy

f(齊次方

dy

f(yx解 作變量代

uxdyf

ax

byc a1xb1y當c

時

齊次方程．否則為非齊次方程解

yY

化為齊次方程（其中h和k是待定的常數形如dy

P(x)

Q(x)當Qx)當Qx)

上方程稱為齊次的上方程稱為非齊次的解法齊次方程的通解

yCeP(x)dx（使用分離變量法非齊次微分方程的通解y

Q(x)eP(x)dx

C]eP(x（常數變易法(Bernoulli)方dy

P(x)

Q(x)

(n

當n當n

解法需經過變量代換化為線性微令z

e(1n)P(x)dx(Q(x)(1

e(1n)P(x)dxdx

3、可降階的高階微分方程的解

y(n

fx)解法接連積分n(2)

y

f(

y)特點不顯含未知函數解

y

P(

y

代入原方程

Pf(3)

y

f(

y)特 不顯含自變量x.解

y

P(

y

Pdp代入原方程

Pdp

f(y,P４、線性微分方程解的結

P(x)yQ(x)y

1果函數y1x)與y2x)是方程(1)的兩解,那末

C1

C2y2也是(1)的解.（C1C2是2：如果y1x)y2x)是方程(1)的兩個線無關的特解,那么

C1

C2y2就是方程(1)的

P(x)yQ(x)y

f(x)

定理3設y*是(2)的一個特解,Y是與(2)對應的齊次方程(1yY非齊次線性微分方程(2

y*是二階定理 設非齊次方程(2)的右

fx)是幾個函數之和,如

P(x)y

Q(x)y

f1(x)

f2(x)12y*y*分別是方程,12yy

P(x)yP(x)y

Q(x)yQ(x)y

f1(x)2f2(x)2y1的特解,那么y1

y*就是原方程的特解.５、二階常系數齊次線性方程解y(n)

y(

Pny

f(x)yy

pyqypyqy

0f(x)

解法由常系數齊次線性方程的特征方程的根確ypyqy特征方程

r2

prq實根r1實根r1復根r1,2yC1er1xC2er2y(C1C2x)er2yex(C1cosxC2sinx)推廣：n階常系數齊次線性方程解y(

y(

Pn1y

Pny特征方程

rn

Prn1

Pn1rPn11特征方程的通解中的對應若是k重根k (C0C1xCk1 復根jk[(C0C1xCk1 )cosx(DDx xk1)sinx]ex k６、二階常系數非齊次線性微分方程解y

二階常系數非齊次線解 待定系數法

f(x)

ex

x

mm1 不是mm1y

xkex

(x)

k

是單根是重

f(x)

ex[P(x)cosx

Px)sinxlnyln

xkex[R(1)(x)cosx

R(2)(mmR(1)xR2)x)是m次多項mm

m1k1

i不是特征方程的根時i是特征方程的單根時二、典型例例 求特ysinx

y

y,y()e.2解原方程可化 yln sin兩邊積x dxx2 yln sin2lnln

ylnln

ln(csc

x)

ln

csc

cotx,所求特解

yecscxcotx例2求通

(

4

原式可化

dy

兩邊積 x24ln

y

4

x|ln|x4|)1

|xx4

上式可寫

y4

方程通解為

4)

x例 求通解y xy2 原方程可化dx

x

y2

用常數變易法解xey(

y2eydy

ey(y2e

2ye

2

故方程的通解

x

2y

2cey例4y

2y

yxex

ex

y(1)

解特征方

r2

1特征

r1

對應的齊次方程的通

Y

Cx)ex設原方程的特解

y*

x2

b)ex則y*

b)x2

2bx]ex2(y*2

b)x2

4b)x

2b]exy*

(y*

(y*

代入原方程比較系數a16

b12

x3 x2原方程的一個特解

y*

ex6

ex2x3 x2故原方程的通解

y

ex

ex6

ex2

(C1

1)e3x3xxy

C2)

(C2

1)x

]e6

(C1

5)e

C1

11

C 6C 解得 CC1C

15

2所以原方程滿足初始條件的特解2y[2e

1(1

1)x]exe

xex363

xex.例 求解方

y4y

1(2

解特征方

r24特征

2i,y21對應的齊方的通解y21

YC1cos2x

C2sin2x.y設設原方程的特解y設

y*

y*

則y*)a,

(y*

1111

4y

1x2

4ax4b11214a 解4b

a8b

1y y設(2)設

x(ccos2

dsin2x),y22則y*y22

(c

2dx)cos2

2cx)sin2x,2(y*2

4cx)cos2

(4c

4dx)sin2x,

4y

1cos2x24dcos2

4csin2x

1cos2x,24d

c

1xsin24c

d 8故原方程的通解y

cos2

sin2x

1x8

1xsin2x.8例6

y

p(x)y

f(

1x

x2

p(

fx

此方程的通解解（１）由題設可得2

p(x)2

解此方程組，2p(x)(1)

f(x),x3 x2p(x)1 f(x)3 x3（２）原方程

yx

y3x3

y2

x2y*

1x21由解的結構定理得方程的通解21y

C2xx一、選擇題

1、一階線性非齊次微分方程

xy)() 的通(A)

P()

dx

C

dx

P()

dx

C(D)

ceP() dx2、方程

是 (A)齊次方程 (B)一階線性方程 方程 3、y

x

0

y(1)

2的特解是 (A)x(C)x

yy

2； (B)xx 3

y3

91.4、方程y

x的通解是 (A)

cosx

2C1

C2

C3(B)

sinx

2C1

C2

C3(C)ycos

C1(D)y

2sin2x5、方y

y

0的通解是 ).(A)

sin

cos

C1(B)

sin

C

xC3(C)

sin

cos

C1(D)

sin

C16y1和y2是二階齊次線性方程y

P(x)y

Q(x)

0的兩個特解,則yC1y1C2y2(其中C1,C2為任意常數)( (A)是該方程的通解 (B)是該方程的解；不是該方程的解 (D)不一定是該方程的解7、求方yyy)2

0的通解時,可令 ).y

P則

P；yy

P則P則

PdPPdPy

P則

PdP10、方程yx x

3y2

e

cos2x的一個特解形式

y

cos2x

yA1x1xx1

cos2xBxe

sin2x11

y

cos2xBe

sin2x

y

x2e

cos2x

Bx2e

sin2x111、xylnx

y

x1)；2、dy

xy

x3y

0；3、xdx

ydy

ydx

0x2y1、

y2

10；2、y

y

2y

x(e

4).1、y3dx

2(x

xy2

0,

12、

2y

y

x,

0

0

y32

1,

),它的切線在縱軸上的xx x

(x 七、我艦向正東1海里處的敵艦發射制 航行中始終對準敵艦.設敵艦以常數

沿正北方直線行駛,已 速度是敵艦速度的兩倍, 測驗題答5、10、二、1、yax