平面向量的運算向量的數乘運算1.如何求作兩個非零向量的和向量、差向量？2.相同的幾個數相加可以轉化為數乘運算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的幾個向量相加是否也能轉化為數乘運算呢？這需要從理論上進行探究.abaabba+ba-b一、問題提出探究一：向量的數乘運算及其幾何意義思考1：已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）？aaOaaABC－a－a－aOMNP二、知識梳理

（－a）＋（－a）＋（－a）a＋a＋a

思考2：向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）分別如何簡化其表示形式？

a＋a＋a記為3a，（－a）＋（－a）＋（－a）記為－3a.思考3：向量3a和－3a與向量a的大小和方向有什么關系？aaOaaABC－a－a－aOMNP二、知識梳理思考4：設a為非零向量，那么和

還是向量嗎？它們分別與向量a有什么關系？a二、知識梳理思考5：一般地，我們規定：實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘.記作λa，該向量的長度與方向與向量a有什么關系？（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0時，λa與a方向相同；

λ<0時，λa與a方向相反；

λ=0時，λa=0.二、知識梳理思考6：如圖，設點M為△ABC的重心，D為BC的中點，那么向量與，與分別有什么關系？ABCDM二、知識梳理探究二:向量的數乘運算性質思考1：你認為-2×（5a），2a+2b，可分別轉化為什么運算？-2×(5a)=-10a

；2a

＋2b=2(a+b)；(3+

)a=3a＋a.二、知識梳理思考2：一般地，設λ，μ為實數，則λ(μa)，(λ＋μ)a，λ(a＋b)分別等于什么？λ(μa)=(λμ)a

；(λ＋μ)a=λa

＋μa；λ(a＋b)=λa＋λb.二、知識梳理思考3：對于向量a（a≠0）和b，若存在實數λ，使b=λa，則向量a與b的方向有什么關系？思考4：若向量a（a≠0）與b共線，則一定存在實數λ，使b=λa成立嗎？思考5：綜上可得向量共線定理：向量a（a≠0）與b共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使b=λa.若a＝0，上述定理成立嗎？二、知識梳理思考6：若存在實數λ，使，則A、B、C三點的位置關系如何？思考7：如圖，若P為AB的中點，則與、的關系如何？ABPO二、知識梳理思考8：向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算，對于任意向量a、b，以及任意實數λ、x、y，λ(xa±yb）可轉化為什么運算？

λ(xa±yb）=λxa±λyb.二、知識梳理例1計算（1）（－3）×4a；（2）3（a＋b）－2（a－b）－a；（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.三、理論遷移2b3babO例2如圖，已知任意兩個非零向量a，b，試作=a＋b，=a＋2b，=a＋3b.你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎？為什么？abABC三、理論遷移例3如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，且=a，=b，試用a,b表示向量MABDCab三、理論遷移1.實數與向量可以相乘，其積仍是向量，但實數與向量不能相加、相減.實數除以向量沒有意義，向量除以非零實數就是數乘向量.2.若λa=0，則可能有