學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE21-學必求其心得，業必貴于專精1。1。2弧度制考試標準課標要點學考要求高考要求弧度制的概念aa弧度與角度的互化bb知識導圖學法指導1.熟練掌握弧度制的定義，可以從六十進制與十進制區別角度制與弧度制．2．由圓周角找出弧度制與角度制的聯系，記住常見特殊角對應的弧度數．3．記憶扇形的面積公式時可將扇形看作三角形來記憶,S＝eq\f（1,2)底·高＝eq\f（1，2)lR.1.度量角的兩種制度角度制定義用度作為單位來度量角的單位制1度的角周角的eq\f（1,360)為1度的角，記作1°弧度制定義以弧度為單位來度量角的單位制1弧度的角長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角。1弧度記作1radeq\x(狀元隨筆）正確理解弧度與角度的概念區別(1)定義不同;(2）單位不同：弧度制以“弧度”為單位，角度制以“度”為單位聯系(1）不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關的值；(2)“弧度”與“角度”之間可以相互轉化2．弧度數的計算（1）正角：正角的弧度數是一個正數．（2）負角：負角的弧度數是一個負數．(3）零角：零角的弧度數是0.（4）如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數的絕對值是|α｜＝eq\f(l，r)。3．角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2π_rad2πrad＝360°180°＝π_radπrad＝180°1°＝eq\f（π,180）rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（180，π）））°≈57。30°度數×eq\f(π,180)＝弧度數弧度數×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(180，π)）)°＝度數eq\x（狀元隨筆）角度制與弧度制換算公式的理解（1）弧度制、角度制都是角的度量制，它們之間可以進行換算．（2）用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，單位不同,量度也不同．4．扇形的弧長和面積公式設扇形的半徑為R，弧長為l,α（0〈α〈2π)為其圓心角，則（1)弧長公式：l＝α·R.(2)扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1，2)α·R2。［小試身手］1．判斷下列命題是否正確。（正確的打“√",錯誤的打“×”）(1)1弧度的角等于1度的角．（)（2)弧度的計算公式為α＝eq\f(l，r）。（）(3)直角的弧度數為eq\f（π,2）.（)答案：（1）×（2)×（3)√2．下列各種說法中，錯誤的是（）A．“度"與“弧度"是度量角的兩種不同的度量單位B．1°的角是周角的eq\f(1，360），1rad的角是周角的eq\f(1,2π）C．根據弧度的定義,180°的角一定等于πrad的角D．利用弧度制度量角時，它與圓的半徑長短有關解析：角的大小只與角的始邊和終邊的位置有關,而與圓的半徑大小無關，故選D。答案：D3．將864°化為弧度為(）A.eq\f(36π，5)B.eq\f(12π，5）C。eq\f(24π，5）D.eq\f(48,25）π解析:864°＝864×eq\f（π，180)＝eq\f(24π,5),故選C。答案：C4．扇形圓心角為216°，弧長為30π，則扇形半徑為________．解析：216°＝216×eq\f（π,180）＝eq\f(6π，5)，l＝α·r＝eq\f(6π,5）r＝30π,∴r＝25。答案：25類型一角度與弧度的換算例1（1)將下列各角進行角度與弧度的互化（角度精確到0。01):α1＝－eq\f（11,7)π,α2＝eq\f(511,6）π，α3＝9，α4＝－855°。(2)把下列各角化為2kπ＋α（0≤α<2π,k∈Z)的形式：eq\f(16π，3），－315°，－eq\f（11π，7）。（3)在0°～720°范圍內，找出與eq\f（2,5）π終邊相同的角．【解析】(1)α1＝－eq\f（11，7）π＝－eq\f（11,7)×180°≈－282。86°；α2＝eq\f(511，6）π＝eq\f（511，6）×180°＝15330°；α3＝9＝9×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（180，π）)）°≈515。66°；α4＝－855°＝－855°×eq\f（π,180）＝－eq\f（19，4）π.（2）eq\f（16π,3）＝4π＋eq\f（4π,3)；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋eq\f(π，4)；－eq\f(11π，7)＝－2π＋eq\f(3π,7).(3）∵eq\f（2π，5）＝eq\f(2,5)×180°＝72°，∴終邊與eq\f（2π，5）相同的角為θ＝72°＋k·360°(k∈Z）．當k＝0時，θ＝72°;當k＝1時,θ＝432°.故在0°～720°范圍內，與eq\f(2π,5)終邊相同的角為72°,432°。(1)180°＝πrad是進行“弧度”與“角度”換算的關鍵．(2)表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z）的形式，調整k使角在［0,2π）內．(3)把弧度換算成角度,寫出終邊相同的角的集合，調整k使角在0°～720°內．方法歸納進行角度制與弧度制的互化的原則和方法（1)原則：牢記180°＝πrad，充分利用1°＝eq\f（π，180)rad和1rad＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（180,π）)）°進行換算．（2)方法：設一個角的弧度數為α，角度數為n，則αrad＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（α·\f（180，π)))°；n°＝n·eq\f（π,180).提醒：（1）用“弧度"為單位度量角時，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫．(2）用“弧度”為單位度量角時，常常把弧度數寫成多少π的形式,如無特別要求，不必把π寫成小數．(3）度化弧度時,應先將分、秒化成度，再化成弧度．跟蹤訓練1（1)將下列各角用弧度表示,并指出它們是第幾象限角：α1＝510°，α2＝－750°；（2)將下列各角用度表示，并在0°～360°范圍內找出與它們終邊相同的角：β1＝eq\f（4,5）π，β2＝－eq\f(11，6)π。解析：(1)∵1°＝eq\f(π,180）rad,∴α1＝510°＝510×eq\f(π,180)＝eq\f（17，6)π，則α1＝eq\f(17，6）π＝2π＋eq\f(5,6)π；α2＝－750°＝－750×eq\f(π,180）＝－eq\f（25,6)π，則α2＝－eq\f(25，6)π＝－3×2π＋eq\f(11,6）π，∴α1是第二象限角，α2是第四象限角．(2)β1＝eq\f（4,5)π＝eq\f(4π,5）×eq\f（180°，π）＝144°，設θ1＝k·360°＋144°（k∈Z)．∵0°≤θ1〈360°，∴0°≤k·360°＋144°<360°(k∈Z)，∴k＝0。∴在0°～360°內,與角β1終邊相同的角是144°角；β2＝－eq\f（11,6）π＝－eq\f(11π，6）×eq\f(180°，π）＝－330°。設θ2＝k·360°－330°（k∈Z)．∵0°≤θ2〈360°，∴0°≤k·360°－330°<360°(k∈Z），∴k＝1.∴在0°～360°內，與角β2終邊相同的角是30°角．角度與弧度的換算只要記住一個公式:eq\f（π,180°）＝eq\f（該角的弧度數，該角的角度數）.據此可推出n°＝n·eq\f（π,180）rad，αrad＝α·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（180，π)))°.類型二用弧度制表示角的集合例2已知角α＝2005°。（1）將α改寫成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π）的形式，并指出α是第幾象限的角;（2)在[－5π，0）內找出與α終邊相同的角．【解析】（1)2005°＝2005×eq\f(π,180）rad＝eq\f(401π,36)rad＝5×2π＋eq\f（41π,36)rad，又π〈eq\f(41π,36）〈eq\f(3π，2)，∴角α與eq\f（41π，36）終邊相同，是第三象限的角．(2）與α終邊相同的角為2kπ＋eq\f（41π,36)(k∈Z)，由－5π≤2kπ＋eq\f（41π，36）<0,k∈Z知k＝－1，－2，－3。∴在[－5π，0）內與α終邊相同的角是－eq\f(31π，36)，－eq\f(103π,36）,－eq\f（175π,36).（1)用弧度數表示與角α終邊相同的角連同角α在內的集合為｛β|β＝2kπ＋α,k∈Z｝．（2）用弧度數表示區域角時,先把角度換算成弧度，再寫出與區域角的終邊相同的角的集合，最后用不等式表示出區域角的集合，對于能合并的應當合并．方法歸納用弧度制表示終邊相同的角2kπ＋α(k∈Z)時,其中2kπ是π的偶數倍,而不是整數倍,還要注意角度制與弧度制不能混用．跟蹤訓練2用弧度表示終邊落在如圖(1)(2）所示的陰影部分內(不包括邊界)的角的集合．解析:對于題圖（1）,225°角的終邊可以看作是－135°角的終邊,化為弧度，即－eq\f（3π，4），60°角的終邊即eq\f(π，3)的終邊，∴所求集合為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1（2kπ－\f(3π,4)<α〈2kπ＋\f(π,3），k∈Z)）））.對于題圖（2），同理可得，所求集合為α2kπ＋eq\f(π，6）〈α<2kπ＋eq\f(π,2），k∈Z∪α2kπ＋π＋eq\f(π,6）<α<2kπ＋π＋eq\f（π,2），k∈Z＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\｜\rc\｝（\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π，6)〈α<kπ＋\f（π，2),k∈Z)）)）。本題考查區域角的表示,關鍵是要確定好區域的起止邊界.類型三與扇形弧長、面積相關的問題例3（1)若一圓弧長等于其所在圓的內接正三角形的邊長，則其圓心角α∈(0，π)的弧度數為（）A.eq\f(π,3)B。eq\f(π,2）C。eq\r（3)D．2(2)一個扇形OAB的面積是1cm2，它的周長是4cm，求圓心角的弧度數和弦長AB。【解析】(1)設圓半徑為r，則其內接正三角形的邊長為eq\r（3）r,所以eq\r（3）r＝α·r，所以α＝eq\r（3）.(2)設扇形的半徑為rcm,弧長為lcm,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）lr＝1,,l＋2r＝4,））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（r＝1，，l＝2。）)所以圓心角α＝eq\f（l，r)＝2。如圖，過點O作OH⊥AB于點H,則∠AOH＝1rad.所以AH＝1·sin1＝sin1(cm），所以AB＝2sin1(cm)，所以圓心角的弧度數為2，弦長AB為2sin1cm.【答案】(1）C（2)見解析（1）圓的半徑r與圓的內接正三角形的邊長a的關系是a＝eq\r(3）r,再求α.（2)設出扇形的弧長和半徑，列出方程組求解．方法歸納扇形的弧長和面積的求解策略(1）記公式：弧度制下扇形的面積公式是S＝eq\f（1,2)lR＝eq\f（1，2)αR2（其中l是扇形的弧長，α是扇形圓心角的弧度數，0〈α<2π）．(2）找關鍵：涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計算問題,關鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量,然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組）求解．跟蹤訓練3(1）已知扇形的圓心角為120°，半徑為eq\r(3）cm，則此扇形的面積為________cm2；（2)已知扇形的周長為10cm，面積為4cm2，求扇形圓心角的弧度數．解析：(1)設扇形弧長為l，因為120°＝120×eq\f(π,180)rad＝eq\f(2π，3）（rad），所以l＝αR＝eq\f(2π,3）×eq\r（3)＝eq\f(2\r(3）π,3）（cm)．所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2）×eq\f（2\r(3)π，3)×eq\r(3)＝π（cm2)．故填π。(2)設扇形圓心角的弧度數為θ(0<θ〈2π），弧長為l,半徑為R,依題意有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(l＋2R＝10。①,\f（1，2)lR＝4。②))①代入②得R2－5R＋4＝0，解之得R1＝1，R2＝4。當R＝1時，l＝8(cm），此時，θ＝8rad〉2πrad舍去．當R＝4時，l＝2(cm),此時，θ＝eq\f(2，4）＝eq\f（1,2）（rad）．綜上可知,扇形圓心角的弧度數為eq\f（1,2）rad。答案：（1）π(2)見解析求扇形面積的關鍵是求出扇形的圓心角、半徑、弧長這三個量中的任意兩個量．也可由扇形的面積結合其他條件,求扇形的圓心角、半徑、弧長．解題時要注意公式的靈活變形及方程思想的運用．1.1.2[基礎鞏固］（25分鐘，60分）一、選擇題(每小題5分，共25分)1．1920°的角化為弧度數為（）A。eq\f（16，3）B。eq\f（32,3）C。eq\f(16，3）πD。eq\f(32，3)π解析:∵1°＝eq\f(π，180)rad，∴1920°＝1920×eq\f(π，180）rad＝eq\f(32,3)πrad.答案：D2．5弧度的角的終邊所在的象限為（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因為eq\f（3π，2）〈5〈2π,所以5弧度的角的終邊在第四象限．答案：D3．把－eq\f(11,4）π表示成θ＋2kπ(k∈Z）的形式,使｜θ｜最小的值是（)A．－eq\f(3,4）πB．－2πC．πD．－π解析：∵－eq\f(11,4）π＝－2π＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（3,4）π）)＝2×(－1）π＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(3，4）π））.∴θ＝－eq\f（3，4）π.答案：A4．一個扇形的弧長與面積的數值都是6，則這個扇形的圓心角是（）A．1B．2C．3D．4解析:設扇形的圓心角的弧度數為θ,半徑為R,由題意，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(θR＝6，\f（1，2)θR2＝6））,解得θ＝3,故選C.答案:C5．圓弧長度等于其所在圓內接正三角形的邊長，則該圓弧所對圓心角的弧度數為(）A。eq\f(π,3)B。eq\f（2π,3)C.eq\r（3)D．2

解析：如圖,設圓的半徑為R，則圓的內接正三角形的邊長為eq\r（3)R，所以圓弧長度為eq\r(3)R的圓心角的弧度數α＝eq\f（\r(3)R，R）＝eq\r（3)。答案:C二、填空題（每小題5分，共15分)6．下列四個角:1，60°，eq\f（π,3),－eq\f（π,6)由大到小的排列為____________．解析：只需把60°化成弧度數,因為60°＝60×eq\f（π,180)＝eq\f(π,3），所以四個角為1，eq\f(π，3)，eq\f(π,3)，－eq\f(π,6).所以60°＝eq\f（π，3）〉1〉－eq\f（π，6）。答案:60°＝eq\f（π，3)>1〉－eq\f（π,6）7．若三角形三內角之比為3:4：5，則三內角的弧度數分別是________． 解析：設三角形三內角弧度數分別為3k,4k，5k，則由3k＋4k＋5k＝π，得k＝eq\f（π,12)，所以3k＝eq\f（π,4)，4k＝eq\f（π，3)，5k＝eq\f（5π，12）。答案：eq\f(π,4)，eq\f（π，3），eq\f(5π,12）8．弧長為3π,圓心角為135°的扇形的半徑為________,面積為________．解析：135°＝eq\f(135π，180）＝eq\f（3π,4)，所以扇形的半徑為eq\f(3π，\f（3π，4）)＝4，面積為eq\f(1,2）×3π×4＝6π.答案:46π三、解答題（每小題10分，共20分）9．將下列角度與弧度進行互化：(1）20°;(2)－15°；(3)eq\f(7π，12）；（4)－eq\f（11π，5)。解析：(1)20°＝eq\f（20,180）π＝eq\f（π，9）.(2)－15°＝－eq\f（15,180)π＝－eq\f(π,12).(3）eq\f(7π,12)＝(eq\f（7π，12)×eq\f（180，π））°＝(eq\f(7,12）×180)°＝105°.（4）－eq\f（11π,5)＝（－eq\f(11π,5)×eq\f(180,π）)°＝(－eq\f（11,5)×180）°＝－396°.10．如圖，扇形OAB的面積是4cm2，它的周長是8cm，求扇形的圓心角及弦AB的長．解析：設扇形圓心角的弧度數為θ（0<θ〈2π)，弧長為lcm，半徑為Rcm，依題意有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(l＋2R＝8,①,\f（1,2）l·R＝4,②））由①②得R＝2，l＝4，∴θ＝eq\f(l,R)＝2。過O作OC⊥AB,則OC平分∠BOA，又∠BOA＝2rad，∴∠BOC＝1rad,∴BC＝OB·sin1＝2sin1(cm)，∴AB＝2BC＝4sin1(cm)．故所求扇形的圓心角為2rad，弦AB的長為4sin1cm。[能力提升](20分鐘,40分）11．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(kπ＋\f（π，4）≤α≤kπ＋\f(π,2），k∈Z))))中的角所表示的范圍(如圖中陰影部分所示)是（）解析：當k＝2m，m∈Z時，2mπ＋eq\f（π，4)≤α≤2mπ＋eq\f(π，2),m∈Z；當k＝2m＋1，m∈Z時，2mπ＋eq\f（5π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(3π，2)，m∈Z，故選C.答案：C12．如果一扇形的弧長變為原來的eq\f(3,2）倍，半徑變為原來的一半，則該扇形的面積為原扇形面積的________．解析:由于S＝eq\f（1,2)lR，若l′＝eq\f(3,2)l，R′＝eq\f（1,2)R,則S′＝eq\f（1,2)l′R′＝eq\f（1,2）×eq\f(3，2)l×eq\f(1,2)R＝eq\f（3,4）S.答案：eq\f(3，4）13．已知α＝－800°。（1）把α改寫成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π）的形式，并指出α的終邊在第幾象限；(2)求γ角，使γ與α的終邊相同，且