考點規(guī)范練38空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖基礎鞏固1.若某空間幾何體的正視圖是三角形,則該幾何體不可能是()A.圓柱 B.圓錐 C.四面體 D.三棱柱答案:A解析:因為圓錐、四面體、三棱柱的正視圖均可以是三角形,而圓柱的正視圖是圓或矩形.2.下圖是一個多面體的三視圖,這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應的點為M,在俯視圖中對應的點為N,則該端點在側視圖中對應的點為()A.E B.F C.G D.H答案:A3.已知某幾何體的正視圖和側視圖均為如圖(1)所示的圖形,則在圖(2)的四個圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是()圖(1)圖(2)A.①③ B.①④ C.②④ D.①②③④答案:A解析:由正視圖和側視圖知,該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體,故①③正確.4.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積,則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()A.5-14 BC.5+14 D答案:C解析:如圖,設正四棱錐的高為h,底面邊長為a,側面三角形底邊上的高為h',則有?因此有h'2-a22化簡得4?'a2-2?'解得?'a=55.已知某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的最長棱的長度為()A.32 B.23 C.22 D.2答案:B解析:由題意可知,直觀圖為四棱錐A-BCDE(如圖所示),最長的棱為正方體的體對角線AE=22+2故選B.6.如圖,Rt△A'B'C'為水平放置的△ABC的直觀圖,其中A'C'⊥B'C',B'O'=O'C'=1,則△ABC的面積為()A.2 B.22 C.3 D.答案:B解析:由題意結合直觀圖的畫法,可知△ABC是底為BC=2,高為AO=22的三角形,則其面積S△ABC=12BC·AO=12×2×227.已知以下三視圖中有三個同時表示某一個三棱錐,則不是該三棱錐的三視圖的是()答案:D解析:易知該三棱錐的底面是直角邊分別為1和2的直角三角形,結合A,B,C,D選項知,D選項中側視圖、俯視圖方向錯誤,故選D.8.已知三棱柱HIG-EFD的底面為等邊三角形,且側棱垂直于底面,該三棱柱截去三個角(如圖①,A,B,C分別是△GHI三邊的中點)后得到的幾何體如圖②,則該幾何體的側視圖為()圖①圖②答案:A解析:因為平面DEHG⊥平面DEF,所以該幾何體的側視圖為直角梯形,且直角腰在側視圖的左側,故選A.9.如圖,三棱錐V-ABC的底面為正三角形,側面VAC與底面垂直且VA=VC.已知其正視圖的面積為23,則其側視圖的面積為.答案:3解析:設三棱錐V-ABC的底面邊長為a,側面VAC邊AC上的高為h,則ah=43,其側視圖是由底面三角形ABC邊AC上的高與側面三角形VAC邊AC上的高組成的直角三角形,其面積為12×310.利用斜二測畫法得到的以下結論,其中正確的是.(寫出所有正確結論的序號)

①三角形的直觀圖是三角形;②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形;③正方形的直觀圖是正方形;④圓的直觀圖是橢圓;⑤菱形的直觀圖是菱形.答案:①②④解析:①正確;由原圖形中平行的線段在直觀圖中仍平行可知②正確;但是原圖形中垂直的線段在直觀圖中一般不垂直,故③錯誤;④正確;原圖形中相等的線段在直觀圖中不一定相等,故⑤錯誤.11.(2021全國Ⅰ,理16)以圖①為正視圖,在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖,組成某個三棱錐的三視圖,則所選側視圖和俯視圖的編號依次為(寫出符合要求的一組答案即可).

圖①圖②圖③圖④圖⑤答案:②⑤或③④解析:根據(jù)“長對正、高平齊、寬相等”及圖中數(shù)據(jù),側視圖只能是②或③.若側視圖為②,如圖(1),平面PBC⊥平面ABC,△ABC為等腰三角形(BC為底邊),俯視圖為⑤;(1)若側視圖為③,如圖(2),PB⊥平面ABC,AB=BC,俯視圖為④.(2)12.中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1,則該半正多面體共有個面,其棱長為.

圖1圖2答案:262-1解析:由題圖2可知第一層與第三層各有9個面,共計18個面,第二層共有8個面,所以該半正多面體共有18+8=26個面.如圖,設該半正多面體的棱長為x,則AB=BE=x,延長CB與FE的延長線交于點G,延長BC交正方體的另一條棱于點H.由半正多面體的對稱性可知,△BGE為等腰直角三角形,所以BG=GE=CH=22x,所以GH=2×22x+x=(2+1)x=1,解得x=12+1=2能力提升13.已知一幾何體的正視圖、側視圖如圖所示,則該幾何體的俯視圖不可能是()答案:D14.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.6 B.9 C.12 D.18答案:B解析:由三視圖可推知,幾何體的直觀圖如圖所示,可知AB=6,CD=3,PC=3,CD垂直平分AB,且PC⊥平面ACB,故所求幾何體的體積為13×1215.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P是線段A1C1上的動點,則三棱錐P-BCD的俯視圖與正視圖面積之比的最大值為()A.1 B.C.3 D.答案:D解析:在正視圖中,底面B,C,D三點,其中D與C重合,隨著點P的變化,其正視圖均是三角形,且點P在正視圖中的位置在邊A1D1上移動,由此可知,設正方體的棱長為a,則S正視圖=12a2;設A1C1的中點為O,隨著點P的移動,在俯視圖中,易知當點P在OC1上移動時,S俯視圖就是底面三角形BCD的面積,當點P在OA1上移動時,點P越靠近A1,俯視圖的面積越大,當?shù)竭_A1的位置時,俯視圖為正方形,此時俯視圖的面積最大,S俯視圖=a2,所以三棱錐P-BCD的俯視圖與正視圖面積之比的最大值為a2116.已知正三棱柱的側面展開圖是相鄰邊長分別為3和6的矩形,則該正三棱柱的體積是.

答案:332解析:當正三棱柱的高為6時,底面邊長為1,V=12×1×1×32×6=332;當正三棱柱的高為3時,底面邊長為2,V=1217.如圖,E,F分別為正方體ABCD-A1B1C1D1的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正投影可能是