立體幾何中的向量方法

——二面角(復(fù)習(xí)課)安陽縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)田志龍

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做

，這條直線叫做

，這兩個半平面叫做

.l二面角二面角的棱二面角的面1.二面角的定義溫故知新l溫故知新兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在.二面角的范圍：

.l2.二面角平面角的定義lAOB問題1：

二面角的平面角

能否轉(zhuǎn)化成向量的夾角？方法探究半平面內(nèi)分別垂直于棱的向量的夾角與二面角的關(guān)系lDACB方法探究與面如圖，ABCD是直角梯形，所成的二面角的余弦值。求面問題引入思考：

本題的特點(diǎn)是圖中沒有出現(xiàn)兩個平面的交線，不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夾角求解，怎么辦？SADCB問題2：求直線和平面所成的角可轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，那么二面角的大小與兩個半平面的法向量有沒有關(guān)系？l探究新知ll探究新知探究新知ll

問題3：法向量的夾角與二面角的大小什么時候相等，什么時候互補(bǔ)？方法探究

方法探究AC練一練

已知兩平面的法向量分別為，

,則兩平面所成的二面角為()

A.45°

B.135°

C.45°或135°

D.90°

解：

即

，其補(bǔ)二面角與法向量的夾角相等或互補(bǔ)，∴兩平面所成二面角為45°或135°.小試牛刀解題時角的取值根據(jù)圖形判斷xyzABDPCxyz例題精講y例題精講xyzzABDPC利用法向量求二面角的平面角的一般步驟：建立坐標(biāo)系找點(diǎn)坐標(biāo)求法向量坐標(biāo)求兩法向量夾角定值總結(jié)歸納解題時角的取值根據(jù)圖形判斷解決問題xyz與面如圖，ABCD是直角梯形，所成的二面角的余弦值。求面解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz。解決問題xyz1、如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1，

求二面角A1－BD－C1的余弦值．

鞏固練習(xí)zyxABCDA1B1C1D11、如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1，

求二面角A1－BD－C1的余弦值．

鞏固練習(xí)解法一：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz。易證A1EC1二面角A1－BD－C1的平面角∠zyxABCDA1B1C1D1E

鞏固練習(xí)解法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz。zyxABCDA1B1C1D1數(shù)形結(jié)合類比轉(zhuǎn)化兩個思想一個步驟兩種方法半平面內(nèi)分別垂直于棱的向量的夾角兩個平面的法向量的夾角求解用法向量求二面角大小的步驟歸納總結(jié)

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1和B1C1的中點(diǎn)，求平面EBF與平面ABCD所成角的余弦值。1.必做題：布置作業(yè)EABCDA1B1C1D1F

正三棱柱ABC-A1B1C1中，D