圓錐曲線與方程一、曲線與方程知識梳理曲線屬于“形”的范疇，方程則屬于“數”的范疇，它們通過直角坐標系而聯系在一起，本節教材中把曲線看成是動點的軌跡，蘊涵了用運動的觀點看問題的思想方法；把曲線看成方程的幾何表示，方程看作曲線的代數反映，又包含了對應與轉化的思想方法1．“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義：如果某曲線C上的點與一個二元方程的實數解建立了如下關系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；（純粹性）(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．（完備性）那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線2．求簡單的曲線方程的一般步驟：（1）建立適當的坐標系，用有序實數對表示曲線上任意一點M的坐標；（2）寫出適合條件P的點M的集合；（3）用坐標表示條件P（M），列出方程;（4）化方程為最簡形式；（5）證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點二、橢圓知識梳理1橢圓定義：平面內與兩個定點的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距2.橢圓標準方程：（1）()（2）()3．橢圓的幾何性質：由橢圓方程()(1)范圍:,，(2)對稱性:圖象關于軸對稱．圖象關于軸對稱．圖象關于原點對稱原點叫橢圓的對稱中心，簡稱中心．(3)頂點：橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點橢圓共有四個頂點：，叫橢圓的長軸，叫橢圓的短軸．長分別為分別為橢圓的長半軸長和短半軸長.(4)離心率:橢圓焦距與長軸長之比4．橢圓的第二定義:一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個常數（），那么這個點的軌跡叫做橢圓其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，5．橢圓的準線方程對于，相對于左焦點對應著左準線；相對于右焦點對應著右準線6．橢圓的焦半徑公式：（左焦半徑）,（右焦半徑）三、雙曲線知識梳理1．雙曲線的定義：平面內到兩定點的距離的差的絕對值為常數（小于）的動點的軌跡叫雙曲線即2．雙曲線的標準方程：焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,)；焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,)3．雙曲線的幾何性質：（1）．范圍、對稱性由標準方程，從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心（2）．頂點頂點：特殊點：實軸：長為2a,a叫做半實軸長虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長（3）．漸近線雙曲線的漸近線（）（4）．等軸雙曲線定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率等軸雙曲線可以設為：，焦點在x軸，焦點在y軸上（5）．共漸近線的雙曲線系如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或寫成（6）．離心率：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率（）四、拋物線知識梳理1.拋物線定義：平面內與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線定點F叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線2．拋物線的準線方程：如圖所示，分別建立直角坐標系，設|KF|=（>0），則拋物線的標準方程如下：(1),焦點:，準線：(2),焦點:，準線：(3),焦點:，準線：(4),焦點:，準線：的幾何意義：是焦點到準線的距離3．拋物線的幾何性質（略）※拋物線不是雙曲線的一支，拋物線不存在漸近線（1）.拋物線的焦半徑及其應用：焦半徑公式：拋物線，拋物線，拋物線，拋物線，（2）焦點弦：定義：過焦點的直線割拋物線所成的相交弦。焦點弦公式：設兩交點，可以通過兩次焦半徑公式得到：當拋物線焦點在x軸上時，焦點弦只和兩焦點的橫坐標有關：拋物線，（3）通徑：定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦直接應用拋物線定義，得到通徑：五、關于弦長計算:直線與二次曲線相交所得的弦長直線具有斜率,直線與二次曲線的兩個交點坐標分別為,則它的弦長注:實質上是由兩點間距離公式推導出來的,只是用了交點坐標設而不求的技巧而已(因為，運用韋達定理來進行計算.當直線斜率不存在是,則.課堂練習一、選擇題：1．曲線y=x與曲線與y=EQ\R(,4-x2)所圍成的圖形面積是（）

A、B、EQ\F(,4)或EQ\F(,2)C、EQ\F(,2)D、不確定2．設為定點，||=6，動點M滿足，則動點M的軌跡是（）A.橢圓B.直線C.圓D.線段xyxyxyxy(A)(B)(C)(D)3．方程y=ax+b和xyxyxyxy(A)(B)(C)(D)4．橢圓和雙曲線有相同的焦點，則實數的值是（）ABC5D95.雙曲線kx2+4y2=4k的離心率小于2，則k的取值范圍是()（A）（-∞,0）（B）(-3,0)（C）(-12,0)（D）(-12,1)6.設∈(0,)，方程表示焦點在軸上的橢圓，則∈()A.(0,B.(,)C.(0,)D.［,)7．與雙曲線有共同的漸近線，且經過點A的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是（）（A）8（B）4（C）2（D）18．拋物線y2=ax(a≠0)的準線方程是()(A)x=-(B)x=(C)x=-(D)x=9.（遼寧卷10）已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為（）A． B． C． D．10．（2022天津卷理）設拋物線=2x的焦點為F，過點M（，0）的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準線相交于C，=2，則BCF與ACF的面積之比=（）（A）（B）（C）（D）二、填空題：11.（全國一15）在中，，．若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率．12．在橢圓EQ\F(x2,16)+EQ\F(y2,4)=1內以點P（-2，1）為中點的弦所在的直線方程為__________13．（2022福建卷理）過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則________________14.（海南卷14）過雙曲線的右頂點為A，右焦點為F。過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為_______15．若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是__________16．若直線y=kx-1與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，則m的取值范圍是。三、解答題：17．已知△ABC，，第三個頂點在曲線上移動，求△ABC的重心的軌跡方程18．求與圓及都外切的動圓圓心的軌跡方程19．正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線上，求這個正三角形的邊長．20．已知拋物線與直線相交于、兩點，以弦長為直徑的圓恰好過原點，求此拋物線的方程21．（北京卷19）．（本小題共14分）已知菱形的頂點在橢圓上，對角線所在直線的斜率為1．（Ⅰ）當直線過點時，求直線的方程；（Ⅱ）當時，求菱形面積的最大值．22．（廣東卷18