2020-2021中考數學—平行四邊形的綜合壓軸題專題復習及詳細答案一、平行四邊形1.在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180。，對角線AC平分ZBAD.（1）如圖1,若ZDAB=120。，且ZB=90。，試探究邊AD、AB與對角線AC的數量關系并說明理由.2）如圖2,若將（1）中的條件“ZB=90。”去掉,（1）中的結論是否成立？請說明理cccB圖3（3）如圖cccB圖3（3）如圖3,若ZDAB=90。，探究邊AD、AB與對角線AC的數量關系并說明理由.【答案】（1）AC=AD+AB.證明見解析；（2）成立；（3）AD+AB=、；2aC?理由見解析.解析】11試題分析：（1）結論：AC=AD+AB,只要證明AD=-AC,AB=-AC即可解決問題;（2）（1）中的結論成立.以C為頂點，AC為一邊作ZACE=60°,ZACE的另一邊交AB延長線于點E,只要證明厶DAC竺△BEC即可解決問題；（3）結論：AD+AB=込AC.過點C作CE丄AC交AB的延長線于點E,只要證明厶ACE是等腰直角三角形，△DAE△BEC即可解決問題;試題解析：解：（1）AC=AD+AB.理由如下：如圖1中,在四邊形ABCD中，ZD+ZB=180°,ZB=90°,ZD=90°,TZDAB=120°,AC平分ZDAB,.ZDAC=ZBAC=60°,TZB=90°,

AB11-AC,同理AD=-AC.AB11-AC,同理AD=-AC..AC=AD+AB．(2)(1)中的結論成立，理由如下：以C為頂點，AC為一邊作/ACE=60°,ZACE的另一邊父AB延長線于點E，TZBAC=60°,.△AEC為等邊三角形，.AC=AE=CE，TZD+ZABC=180°，ZDAB=120°，.ZDCB=60°，.ZDCA=ZBCE，TZD+ZABC=180°，ZABC+ZEBC=180°.ZD=ZCBE，TCA=CE，.△DAC竺△BEC，.AD=BE，.AC=AD+AB．(3)結論：AD+AB=込AC.理由如下:過點C作CE丄AC父AB的延長線于點E，TZD+ZB=180°，ZDAB=90°,.DCB=90°，TZACE=90°，.ZDCA=ZBCE，又TAC平分ZDAB,.ZCAB=45°，.ZE=45°..AC=CE.又TZD+ZABC=180°，ZD=ZCBE，△CDA竺△CBE,AD=BE,.AD+AB=AE．在RtAACE中，ZCAB=45°,.AE=ACf：'2Ccos45°.AD+AB=2AC.2．問題發現：如圖①，點P為平行四邊形ABCD內一點，請過點P畫一條直線l，使其同時平分平行四邊形ABCD的面積和周長.問題探究：(2)如圖②，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸正半軸上，點B坐標為(8,6).已知點p(6,7)為矩形外一點，請過點p畫一條同時平分矩形OABC面積和周長的直線l，說明理由并求出直線l，說明理由并求出直線l被矩形ABCD截得線段的長度.問題解決：(3)如圖③，在平面直角坐標系x°y中，矩形OABCD的邊OA、OD分別在x軸、y軸正半軸上，DCIIx軸，AB〃y軸，且OA=OD=8，AB=CD=2，點P(10-5^2,10-5邁)為五邊形內一點?請問：是否存在過點P的直線l，分別與邊OA與BC交于點E、F,且同時平分五邊形OABCD的面積和周長?若存在，請求出點E和點F的坐標：若不存在，請說明理由.【答案】(1)作圖見解析；(2)y=2x-5，3弱；(3)E(0,0)，F(5,5).【解析】試題分析：(1)連接AC、BD交于點0,作直線P0,直線PO將平行四邊形ABCD的面積和周長分別相等的兩部分．連接AC,BD交于點O'，過O'、P點的直線將矩形ABCD的面積和周長分為分別相等的兩部分.存在，直線y=x平分五邊形OABCD面積、周長.試題解析：（1）作圖如下：(2)???P(6,7)，O'(4,3),設PO':y=kx+66k+6k+b=74k+b=3k{b2-5(5)交x軸于N-,0V2丿交BC于MMN=2、丿5-2+2MN=2、丿5-2+263-(3)存在，直線y=x平分五邊形OABCD面積、周長.???P(10-\.2,10-5打2)在直線y=x上,連OP交OA、BC于點E、F,設BC:y=kx+b，B(&2)C(2,8)，8k+b=2k=-1{2k+=8，{b=10，.直線BC:y=-x+10，y=-x+10\x=5聯立{，得\＜，y=x〔y=5.E(0,0)，F(5,5)．（郢）（郢）3．如果兩個三角形的兩條邊對應相等，夾角互補，那么這兩個三角形叫做互補三角形，如圖2,分別以△ABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和ACGF,則圖中的兩個三角形就是互補三角形．（1）用尺規將圖1中的△ABC分割成兩個互補三角形；（2）證明圖2中的△ABC分割成兩個互補三角形；（3）如圖3,在圖2的基礎上再以BC為邊向外作正方形BCHI.已知三個正方形面積分別是17、13、10,在如圖4的網格中（網格中每個小正方形的邊長為1）畫出邊長為J、」I的三角形，并計算圖3中六邊形DEFGHI的面積.若△ABC的面積為2,求以EF、DI、HG的長為邊的三角形面積.SC（動）?H【答案】（1）作圖見解析（2）證明見解析（3）①62；②6解析】試題分析：（1）作BC邊上的中線AD即可.（2）根據互補三角形的定義證明即可.（3）①畫出圖形后，利用割補法求面積即可.②平移△CHG到AMF,連接EM,IM，則AM=CH=BI,只要證明S^EFM=3S^ABC即可.試題解析：（1）如圖1中，作BC邊上的中線AD,△ABD和厶ADC是互補三角形.

(2)如圖2中，延長FA到點H,使得AH=AF,連接EH.?四邊形ABDE，四邊形ACGF是正方形,AB=AE,AF=AC,ZBAE=ZCAF=90°,ZEAF+ZBAC=180°,.△AEF和厶ABC是兩個互補三角形.TZEAH+ZHAB=ZBAC+ZHAB=90°,.ZEAH=ZBAC,TAF=AC,.AH=AB,在厶AEH和厶ABC中，AE~AB2LEAB-^_BACAH-AC.△AEH竺△ABC,…SAAEF=S"EH=S"BC(3)①邊長為J、J"的三角形如圖4所示.TS人abc=3x4-2-1.5-3=5.5,△ABC.S六邊形7+13+10+4x5.5=62.②如圖3中，平移△CHG到AMF,連接EM,IM,則AM=CH=BI，設ZABC=x,-AMIICH,CH丄BC,.AM丄BC,?ZEAM=90°+90°-x=180°-x,-ZDBI=360°-90°-90°-x=180°-x,.ZEAM=ZDBI,TAE=BD,.△AEM竺△DBI,?在△DBI和厶ABC中，DB=AB,BI=BC,ZDBI+ZABC=180°,-△DBI和厶ABC是互補三角形，■S"EM=SAAEF=SAAFM=2,■'△efm=3Saabc=&考點：1、作圖-應用與設計,2、三角形面積4.如圖，四邊形ABCD中，ZBCD=ZD=90°,E是邊AB的中點.已知AD=1,AB=2.設BC=x,CD=y，求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；當ZB=70°時，求ZAEC的度數；當厶ACE為直角三角形時，求邊BC的長.DA【答案】(1)y=x2+2X+3(0<X<3)；(2)ZAEC=105°；(3)邊BC的長為2或2或1+4v72【解析】試題分析：(1)過A作AH丄BC于H,得到四邊形ADCH為矩形.在△BAH中，由勾股定理即可得出結論.(2)取CD中點幾連接7E,則TE是梯形中位線，得ETIAD,ET丄CD,ZAET=ZB=70°.又AD=AE=1，得到ZAED=ZADE=ZDET=35°.由ET垂直平分CD,得ZCET=ZDET=35°,即可得到結論.

(3)分兩種情況討論：①當/AEC=90°時，易知△CBE竺△CAE^△CAD,得/BCE=30°,解厶ABH即可得到結論.②當/CAE=90°時，易知△CDA-△BCA,由相似三角形對應邊成比例即可得到結論.試題解析：解：(1)過A作AH丄BC于H.由/D=ABCD=90°，得四邊形ADCH為矩形.在厶BAH中，AB=2,ZBHA=90°,AH=y,HB=X一1,22=y2+x-12,貝9y=、：—x2+2x+3(0vxv3)(2)取CD中點幾聯結IE,則TE是梯形中位線，得ETIIAD,ET丄CD,.ZAET=ZB=70°.又AD=AE=1,.ZAED=ZADE=ZDET=35°.由ET垂直平分CD,得ZCET=ZDET=35°,.ZAEC=70°＋35°=105°.(3)分兩種情況討論：①當ZAEC=90°時，易知△CBE竺△CAE^△CAD,得ZBCE=30°,則在△ABH中，ZB=60°,ZAHB=90°,AB=2,得BH=1,于是BC=2.②當ZCAE=90°時，易知△CDA-△BCA,又AC=.-BCi-ABi=x2一4,ADCA則AC—CB舍負)x2-ADCA則AC—CB舍負)n=nx=x易知ZACE<90°，所以邊BC的長為呼.綜上所述：邊BC綜上所述：邊BC的長為2或呼?點睛：本題是四邊形綜合題.考查了梯形中位線,相似三角形的判定與性質.解題的關鍵是掌握梯形中常見的輔助線作法.5.如圖，△ABC中，AD是邊BC上的中線，過點A作AEIIBC,過點D作DEIIAB,DE與AC、AE分別交于點0、點E,連接EC.(1)求證：AD=EC；(2)見解析.【解析】【分析】先證四邊形ABDE是平行四邊形，再證四邊形ADCE是平行四邊形即可；由/BAC=90°,AD是邊BC上的中線，得AD=BD=CD，即可證明.【詳解】證明：TAEIIBC，DEIIAB，??四邊形ABDE是平行四邊形，AE=BD，TAD是邊BC上的中線，BD=DC，AE=DC，又TAEIIBC，?四邊形ADCE是平行四邊形.⑵證明：TZBAC=90°,AD是邊BC上的中線.AD=CDT四邊形ADCE是平行四邊形，?四邊形ADCE是菱形.【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、菱形的判定、直角三角形斜邊中線定理.根據圖形與已知條件靈活應用平行四邊形的判定方法是證明的關鍵.6.(1)如圖①，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,過點0作直線EF丄BD,交AD于點E,交BC于點F,連接BE、DF，且BE平分/ABD.求證：四邊形BFDE是菱形；直接寫出/EBF的度數；把(1)中菱形BFDE進行分離研究，如圖②，點G、I分別在BF、BE邊上，且BG=BI,連接GD,H為GD的中點，連接FH并延長，交ED于點J,連接IJ、IH、IF、IG.試探究線段IH與FH之間滿足的關系，并說明理由；把(1)中矩形ABCD進行特殊化探究，如圖③，當矩形ABCD滿足AB=AD時，點E是對角線AC上一點，連接DE、EF、DF,使ADEF是等腰直角三角形，DF交AC于點G.請直接寫出線段AG、GE、EC三者之間滿足的數量關系.【答案】(1)①詳見解析；②60°.(2)IH=爲FH；(3)EG2=AG2+CE2.【解析】【分析】①由△DOE^△BOF,推出EO=OF,VOB=OD,推出四邊形EBFD是平行四邊形，再證明EB=ED即可.②先證明/ABD=2ZADB,推出/ADB=30°,延長即可解決問題./H=p'3FH.只要證明厶IJF是等邊三角形即可.結論：EG2=AG2+CE2.如圖3中，將△ADG繞點D逆時針旋轉90°得到△DCM,先證明厶DEG^△DEM,再證明△ECM是直角三角形即可解決問題.【詳解】(1)①證明：如圖1中，V四邊形ABCD是矩形,ADIIBC,OB=OD,ZEDO=AFBO,在厶DOE和厶BOF中,^ZEDO=ZFBO<OD=OB,ZEOD=ZBOF△doe竺△BOF,.EO=OF,VOB=OD,.四邊形EBFD是平行四邊形,EF±BD,OB=OD,.EB=ED,.四邊形EBFD是菱形.②VBE平分ZABD,ZABE=ZEBD,EB=ED,ZEBD=ZEDB,ZABD=2ZADB,ZABD+ZADB=90°,:.乙ADB=30°,ZABD=60°,ZABE=ZEBO=ZOBF=30°,ZEBF=60°.(2)結論：IH=氏FH.理由：如圖2中，延長BE到M,使得EM=EJ，連接MJ.T四邊形EBFD是菱形，ZB=60°,.EB=BF=ED,DEIIBF,.ZJDH=ZFGH,在厶DHJ和厶GHF中，2dhg=zghfDH=GH,ZJDH=ZFGH.△DJ△GHF,DJ=FG,JH=HF,EJ=BG=EM=BI,.BE=IM=BF,TZMEJ=ZB=60°,.△MEJ是等邊三角形，MJ=EM=NI,ZM=ZB=60°在厶BIF和厶MJI中，?BI=MJZB=ZM,、BF=IM.△BIF里△MJI,.IJ=IF,ZBFI=ZMIJ,THJ=HF,.IH丄JF,TZBFI+ZB/F=120°,ZMIJ+ZB/F=120°,ZJ/F=60°,.△JIF是等邊三角形，在RtAIHF中，TZIHF=90°,Z/FH=60°,ZFIH=30°,IH=弋3FH.(3)結論：EG2=AG2+CE2.理由：如圖3中，將△ADG繞點D逆時針旋轉90°得到△DCM,TZFAD+ZDEF=90°,??AFED四點共圓，ZEDF=ZDAE=45°,ZADC=90°,ZADF+ZEDC=45°,TZADF=ZCDM,ZCDM+ZCDE=45°=ZEDG,在厶DEM和厶DEG中，?DE=DE<ZEDG=ZEDM,、DG=DM△DEGZ△DEM,GE=EM,TZDCM=ZDAG=ZACD=45°,AG=CM,ZECM=90°EC2+CM2=EM2,TEG=EM,AG=CM,GE2=AG2+CE2.【點睛】考查四邊形綜合題、矩形的性質、正方形的性質、菱形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形，學會轉化的思想思考問題.7.圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點.在圖1中畫出等腰直角三角形MON,使點N在格點上，且ZMON=90°；在圖2中以格點為頂點畫一個正方形ABCD,使正方形ABCD面積等于(1)中等腰直角三角形MON面積的4倍，并將正方形ABCD分割成以格點為頂點的四個全等的直角三角形和一個正方形，且正方形ABCD面積沒有剩余(畫出一種即可).

【答案】（1）作圖參見解析；（2）作圖參見解析.【解析】試題分析：（1）過點O向線段OM作垂線，此直線與格點的交點為N,連接MN即可；（2）根據勾股定理畫出圖形即可．試題解析：（1）過點O向線段OM作垂線，此直線與格點的交點為N,連接MN,如圖1所示；（2）等腰直角三角形MON面積是5,因此正方形面積是20（2）等腰直角三角形MON面積是5,因此正方形面積是20,如圖2所示；于是根據勾股定理畫出圖3：AA圖3考點：1?作圖-應用與設計作圖；2?勾股定理.8如圖，在△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,以線段AB為邊向外作等邊厶ABD，點E是線段AB的中點，連接CE并延長交線段AD于點F.

（1）求證：四邊形BCFD為平行四邊形；（2（1）求證：四邊形BCFD為平行四邊形；（2）若AB=6,求平行四邊形ADBC的面積.答案】（1）見解析；2)S平行四邊形ADBC解析】分析】11(1)在RtAABC中，E為AB的中點，則CE=-AB,BE=-AB,得到上BCE=ZEBC=60°.由△AEF竺△BEC，得上AFE=ZBCE=60°.又上D=60°，得上AFE=ZD=60度.所以FCIIBD,又因為上BAD=ZABC=60°，所以ADIIBC,即FD//BC，則四邊形BCFD是平行四邊形.（2）在RtAABC中，求出BC，AC即可解決問題；【詳解】解：（1）證明：在厶ABC中，ZACB=90°，ZCAB=30°，AZABC=60°，在等邊厶ABD中，ZBAD=60°，AZBAD=ZABC=60°，VE為AB的中點，AAE=BE，又：ZAEF=ZBEC，11A△AEF^△BEC，在△ABC中，ZACB=90°，E為AB的中點，ACE=AB，BE=—AB,22ACE=AE,AZEAC=ZECA=30°,AZBCE=ZEBC=60°,又:△AEF竺△BEC,AZAFE=ZBCE=60°,又：ZD=60°,AZAFE=ZD=60°,AFCIIBD,又VZBAD=ZABC=60°,AADIIBC,即FDIIBC,A四邊形BCFD是平行四邊形；⑵解：在RfABC中,VZBAC=30°，AB=6,ABC=AF=3,AC=3訂,AS平行四邊形S"CFS"CF=2x3x3J3=罕，平行四邊形ADBC【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質、直角三角形斜邊中線定理、等邊三角形的性質、解直角三角形、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.如圖，在平面直角坐標系中，直線DE交x軸于點E（30,0）,交y軸于點D（0,140），直線AB：y=3x+5交x軸于點A,交y軸于點B,交直線DE于點P,過點E作EF丄x軸交直線AB于點F,以EF為一邊向右作正方形EFGH.（1）求邊EF的長；

（2）將正方形EFGH沿射線FB的方向以每秒\；10個單位的速度勻速平移，得到正方形E1（2）將正方形EFGH沿射線FB的方向以每秒\；10個單位的速度勻速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移過程中邊F1G1始終與y軸垂直，設平移的時間為t秒（t>0）.當點行移動到點B時，求t的值；當q,H1兩點中有一點移動到直線DE上時，請直接寫出此時正方形E1F1G1H1與氐APE重疊部分的面積．DF.220E0EM音用囲【答案】（1）EF=15；（2）①10；②120；【解析】【分析】4（1）根據已知點E（30，0）,點D（0，40），求出直線DE的直線解析式y=-3x+40，可求出P點坐標，進而求出F點坐標即可；（2）①易求B（0，5）,當點F1移動到點B時，t=10*：T0^.10=10；②F點移動到F'的距離是.101，F垂直x軸方向移動的距離是t,當點H運動到直線DETOC\o"1-5"\h\zNF1MH'4上時，在RtAF'NF中，nF=3，EM=NG'=15-F'N=15-3t,在RtADMH'中，=3，451023PK1t=4,S=x(12+)x11=；當點G運動到直線DE上時，在RtAF'PK中，=-48FK3PK=t-3,F'K=3t-9，在RtAPKG'PK=t-3,F'K=3t-9，在RtAPKG'中,PKKGH3379=3，t=7,S=15x(15-7)=120-【詳解】（1）設直線DE的直線解析式y=kx+b,將點E（30，0），點D（0，40），j30k+b二0"lb二40，43,b=404??y—i3x+40,直線AB與直線DE的交點P（21，12），^4^4由題意知F(30，15)EF=15；(2)①易求B(0,5),???當點卩］移動到點B時，t=1O\：???當點卩］移動到點B時，t=1O\：T0十=10；F點移動到F'的距離是\-10t,10231023NF1在RtAF'NF中，=乂NF3.FN=t,F'N=3t,?:MH'=FN=t,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在RtADMH'中，MH'_4EM一3,.t_4…15-3t~3,.t=4，.EM=3，MH'=4，S=1x(12+45)x11二24當點G運動到直線DE上時,F點移動到F'的距離是y帀t,TPF=3J10,???PF'=t-3近0,在RtAF'PK中，PK_1FK_3，PK=t-3,F'K=3t-9,PKt-34在RfPKG'中，應=石右=3，t=7，S=15x(15-7)=120.【點睛】本題考查一次函數圖象及性質，正方形的性質；掌握待定系數法求函數解析式，利用三角形的正切值求邊的關系，利用勾股定理在直角三角形中建立邊之間的聯系，準確確定陰影部分的面積是解題的關鍵．如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點，點F在邊BC的延長線上，且CF=AE，連接DE，DF，EF.FH平分ZEFB交BD于點H.求證：DE丄DF；求證：DH=DF:過點H作HM丄EF于點M,用等式表示線段AB，HM與EF之間的數量關系，并證明.答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)EF=2AB-2HM，證明詳見解析.解析】分析】根據正方形性質，CF=AE得到DE丄DF.由AAED^△CFD，得DE=DF.由ZABC=90。,BD平分ZABC,得上DBF=45。.因為FH平分ZEFB，所以ZEFH=ZBFH.由于ZDHF=上DBF+ZBFH=45O+ZBFH,ZDFH=ZDFE+ZEFH=45O+ZEFH,所以DH=DF.過點H作HN丄BC于點N，由正方形ABCD性質，得BD=、：'AB2+AD2=42AB?由FH平分^EFB，HM丄EF,HN丄BC,得HM=HN.因為ZHBN=45。，ZHNB=90。，所以BH=HN=42HN=J2HM.sin45oDF由EF==、'2dF=、'2dH，得EF=2AB-2HM.cos45o【詳解】證明：t四邊形ABCD是正方形，AD=CD，ZEAD=ZBCD=ZADC=90。.ZEAD=ZFCD=90。.tCF=AE。△AED^△CFD..ZADE=ZCDF..ZEDF=ZEDC+ZCDF=ZEDC+ZADE=ZADC=90。..DE丄DF.證明：t△AED^△CFD，.DE=DF.tZEDF=90。，.ZDEF=ZDFE=45。.tZABC=90。，BD平分ZABC，.ZDBF=45。.tFH平分ZEFB，.ZEFH=ZBFH.tZDHF=ZDBF+ZBFH=45°+ZBFHJZDFH=ZDFE+ZEFH=45°+ZEFH,.ZDHF=ZDFH..DH=DF.EF=2AB-2HM.證明：過點H作HN丄BC于點N，如圖，…BD=\：AB2+AD2=\：2AB-fh平分ZEFB,HM丄EF,HN丄BC,HM=HN.ZHBN二45。,ZHNB二90。,.BH二HN=^HN=^HMsin45。.DH=BD-BH=J2AB-邁HM.EF=DFf2DFf2DH,cos45。.EF=2AB-2HM.【點睛】本題考查正方形的性質、勾股定理、角平分線的性質、三角函數，題目難度較大，解題的關鍵是熟練掌握正方形的性質、勾股定理、角平分線的性質、三角函數.11.菱形ABCD中、ZBAD=120°，點0為射線CA上的動點，作射線0M與直線BC相交于點E,將射線0M繞點0逆時針旋轉60°,得到射線ON,射線ON與直線CD相交于點F.如圖①，點0與點A重合時，點E,F分別在線段BC,CD上，請直接寫出CE，CF，CA三條段段之間的數量關系；如圖②，點0在CA的延長線上，且0A=3AC,E,F分別在線段BC的延長線和線段CD的延長線上，請寫出CE,CF,CA三條線段之間的數量關系，并說明理由；點0在線段AC上，若AB=6,B0=2、耳，當CF=1時，請直接寫出BE的長.

【解析】【分析】如圖①中，結論：CA=CE+CF.只要證明厶AD思△ACE(SAS)即可解決問題；結論：CF-CE=3AC.如圖②中，如圖作OGIIAD交CF于OGC是等邊三角形.只要證明△FOG竺△EOC(ASA)即可解決問題；分四種情形畫出圖形分別求解即可解決問題.【詳解】AB=AD=DC=BC,ZBAC=ZDAC=60°??△ABC,△ACD都是等邊三角形，TZDAC=ZEAF=60°,.ZDAF=ZCAE，TCA=AD，ZD=ZACE=60°，△ADF竺△ACE(SAS),.DF=CE，.CE+CF=CF+DF=CD=AC，.CA=CE+CF.4(2)結論:CF-CE=3AC.理由：如圖②中，如圖作OGIIAD交CF于6,則厶OGC是等邊三角形.

圍②\弋???ZGOC=ZFOE=60°,ZFOG=ZEOC,TOG=OC,ZOGF=ZACE=120°,.△FOG竺△EOC(ASA),.CE=FG,TOC=OG,CA=CD,.OA=DG,14CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+_AC=AC,3(3)作BH丄AC于H.TAB=6,AH=CH=3,BH=3*3,如圖③-1中，當點O在線段AH上，點F在線段CD上，點E在線段BC上時.TOB=2J7,.OH=七OB2BH2=1,.OC=3+1=4，由（1）可知：CO=CE+CF,TOC=4，CF=1，.CE=3，.BE=6-3=3.如圖③-2中，當點O在線段AH上，點F在線段DC的延長線上，點E在線段BC上時.

由（2）可知：CE-CF=OC,CE=4+1=5,BE=1.如圖③-3中，當點O在線段CH上，點F在線段CD上，點E在線段BC上時.同法可證：OC=CE+CF,TOC=CH-OH=3-1=2,CF=1,.CE=1，.BE=6-1=5.如圖③-4中，當點O在線段CH上，點F在線段DC的延長線上，點E在線段BC上時.同法可知：CE-CF=OC，.CE=2+1=3，.BE=3，綜上所述，滿足條件的BE的值為3或5或1.【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．12.在平面直角坐標系中，O為原點，點A(-6,0)、點C(0,6),若正方形OABC繞點O順時針旋轉，得正方形OA'B'C'，記旋轉角為a：如圖①，當a=45。時，求BC與A?的交點D的坐標；如圖②，當a=60°時，求點B'的坐標；【答案】(1)(6-6巨,6)；(2)(3運-3,3+3呂；(3)3邁-3剟AP3邁+3.【解析】【分析】當a=45。時，延長0Az經過點B,在RtABAZD中，ZOBC=45°，AZB=6邁—6，可求得BD的長，進而求得CD的長，即可得出點D的坐標；過點C'作x軸垂線MN,交x軸于點M,過點B'作MN的垂線，垂足為N,證明△OMC'^△C'NBZ,可得C'N=OM=,BZN=C'M=3,即可得出點Bz的坐標；連接OB,AC相交于點K,則K是OB的中點，因為P為線段BU的中點，所以PK=1OU=3，即點P在以K為圓心，3為半徑的圓上運動，即可得出AP長的取值范圍.【詳解】解：(1)TA(-6,0).C(0,6),O(0,0),???四邊形OABC是邊長為6的正方形，當a=45°時，如圖①，延長OAZ經過點B,TOB=6,OA'=OA=6,ZOBC=45°,二a'B=6邁—6,二BD=(6巨—6)W2=12—6、遼,???CD=6-(i2—6邁)=6邁—6,

???BC與A'B'的交點D的坐標為(6-6邁,6)；(2)如圖②，過點C'作x軸垂線MN,交x軸于點M,過點B'作MN的垂線，垂足為N,TZOC'B'=90°,ZOC'M=90°-ZB'C'N=ZC'B'N,TOC'=B'C',ZOMC'=ZC'NB'=90°,△OMC仝△C'NB'(AAS),當a=60°時，TZAZOC'=90°,OC'=6,ZC'OM=30°,CZN=OM=3J3,B'N=C'M=3\???點B，的坐標為-3,3+3j3丿；(3)如圖③，連接OB,AC相交于點K,則K是OB的中點，TP為線段BC，的中點，1PK=OC'=3,2P在以K為圓心,3為半徑的圓上運動,TAK=3J2,AP最大值為3邁+3,AP的最小值為3邁-3,AP長的取值范圍為3匹-3剟AP3迄+3.召氣■二■二E/yA0圏國【點睛】本題考查正方形性質，全等三角形判定與性質，三角形中位線定理．（3）問解題的關鍵是利用中位線定理得出點P的軌跡．13.在VABC中，zABC二90o,BD為AC邊上的中線，過點C作CE丄BD于點E,過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F,在AF的延長線上截取FG=BD，連接BG,DF.（1）求證：BD=DF；（2）求證：四邊形BDFG為菱形；（3）若AG=5，CF=、汗，求四邊形BDFG的周長.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）8【解析】【分析】（】）利用平行線的性質得到ZCFA=90o，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證，（2）利用平行四邊形的判定定理判定四邊形BDFG為平行四邊形，再利用（1）得結論即可得證，（3）設GF=X,則AF=5-X，利用菱形的性質和勾股定理得到CF、AF和AC之間的關系，解出x即可.【詳解】（1）證明：QAG//BD，CF丄BD，CF丄AG，又QD為AC的中點，DF二1AC,21又QBD二-AC,厶:.BD=DF,（2）證明：QBD//GF,BD=FG,.四邊形BDFG為平行四邊形，又QBD=DF,.四邊形BDFG為菱形,（3）解：設GF=x，則AF=5一x,AC=2x,在RtVAFC中，（2x）2=^.'7）-+（5-x）-,16解得：X]=2,x2=-舍去）,.GF=2，.菱形BDFG的周長為8．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質直角三角形斜邊上的中線,勾股定理等知識,正確掌握這些定義性質及判定并結合圖形作答是解決本題的關鍵．14.如圖，在菱形ABCD中，AB=6,ZABC=60°,AH丄BC于點H.動點E從點B出發，沿線段BC向點C以每秒2個單位長度的速度運動.過點E作EF丄AB,垂足為點F.點E出發后，以EF為邊向上作等邊三角形EFG,設點E的運動時間為t秒，△EFG和厶AHC的重合部分面積為S.（1）CE=（含t的代數式表示）.（2）求點G落在線段AC上時t的值.（3）當S>0時，求S與t之間的函數關系式.（4）點P在點E出發的同時從點A出發沿A-H-A以每秒個單位長度的速度作往復運動，當點E停止運動時，點P隨之停止運動，直接寫出點P在厶EFG內部時t的取值范圍.3【答案】（1）6-2t【答案】（1）6-2t；；當2<t<3時，S=-(2)t=2；(3)當■-<t<2時，S='t2+【解析】試題分析：(1)由菱形的性質得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可；由菱形的性質和已知條件得出厶ABC是等邊三角形，得出ZACB=60°,由等邊三角形的性質和三角函數得出/GEF=60°,GE=EF=BE?sin60°*'t，證出ZGEC=90°，由三角函數求GE出CE」m=t，由BE+CE=BC得出方程，解方程即可；3分兩種情況：①當'<t<2時，SMEFG的面積-△NFN的面積，即可得出結果；②當2<t<3時，由①的結果容易得出結論；3由題意得出t=囲，點P與H重合，E與H重合，得出點P在厶EFG內部時，t的不等式，解不等式即可．試題解析：(1)根據題意得：BE=2t，???四邊形ABCD是菱形，BC=AB=6,CE=BC-BE=6-2t；(2)點G落在線段AC上時，如圖1所示:???四邊形ABCD是菱形，.AB=BC，TZABC=60°，.△ABC是等邊三角形，.ZACB=60°，T△EFG是等邊三角形，ZGEF=60°，GE=EF=BE?sin60°=「：t,TEF丄AB，.ZBEF=90°-60°=30°，.ZGEB=90°，.ZGEC=90°，GE戶.CE=i：J：=t,TBE+CE=BC，.2t+t=6，解得：t=2；3分兩種情況：①當：3分兩種情況：①當：'<t<2時，如圖2所示:、=△EFG的面積-△NFN的面積=(-；+2」)2=:t2+l1-3、：,即S='t2+lI,I即S=-37(4)T即S=-37(4)TAH=AB?sin60°=6x-3,32,3???t=?時，點P與H重合，E與H重合，TOC\o"1-5"\h\zI3I宀?點P在厶EFG內部時，二-