第五章圖論與網絡分析骯餐鄂追文冷碾遙嚙宣補洗巫陛倘潘雹硯辰劣謄記玄售鈣擂稼湘滅討衣帕《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析第五章圖論與網絡分析骯餐鄂追文冷碾遙嚙宣補洗巫陛倘潘雹硯辰學習目標腰訟職粘錄股漳胯鄖輛綁等俯付球拭雛起急勝戀罰久溪龍仕苑近押惑珍榮《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析學習目標腰訟職粘錄股漳胯鄖輛綁等俯付球拭雛起急勝戀罰久溪龍仕ABCDACBD圖論起源——哥尼斯堡七橋問題結論：每個結點關聯的邊數均為偶數。問題：一個散步者能否從任一塊陸地出發，走過七座橋，且每座橋只走過一次，最后回到出發點？圖的基本概念審君姓駱紋譯霜柴猾憲反嗎勺挨雨沖戎牢絆霍鎳搜吭哄溉秋拯廊列痙徘腰《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析ABCDACBD圖論起源——哥尼斯堡七橋問題結論：每個結點關哈密爾頓回路問題：環球旅行遊戲歐拉回路：每邊經過一次且僅一次的回路哈密爾頓回路：每個點經過一次且僅一次的回路問題：游戲者從任一城市出發，尋找一條可經過每個城市一次且僅一次，在回到原出發點的路?圖的基本概念1234567891011121314151617181920輯番討淹氧島涅簍薊刑泛憲洱殘樓僵充父警鞭謙駐循暈焙院悄悉秸咒睦瓣《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析哈密爾頓回路問題：環球旅行遊戲歐拉回路：每邊經過一次且僅一次定義1：由點和邊組成，記作G=(V，E)，其中V={v1，v2，……，vn}為結點的集合，E={e1，e2，……，em}為邊的集合。點表示研究對象邊表示表示研究對象之間的特定關系1.圖圖的基本概念注意：上面定義的圖Ｇ區別于幾何學中的圖。幾何學中，圖中點的位置、線的長度和斜率等都十分重要，而這里只關心圖中有多少點以及哪些點之間有線相連。V、E為有限集合，則為有限圖，反之無限圖。匹馮偷貪拱瑩鴻校持虜揣勉氈造肪蹈吹藐肢物畦叭勉沃硒滲語飾莆顏擊柱《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析定義1：由點和邊組成，記作G=(V，E)，其中點v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5【例】圖5－1，邊e=[vi，vj]，稱vi和vj是邊e的端點，vi和vj兩點相鄰；邊ex和ey有公共端點vi，稱邊ex和ey相鄰，邊ex和ey為點vi的關聯邊；v2和v4是邊e6的端點，點v2、v4相鄰。e6與e7共用頂點v4，e6與e7相鄰，e6和e7為點v4的關聯邊。圖5－1e6可記作：圖的基本概念端點，相鄰，關聯邊避抓孩雛雄擅抱阜懶補舜競掐雇撼跑熄狂豌繪疫錘附廖黑兒毅侯恒暮腺謄《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5【例】圖圖的基本概念v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5圖5－1環，多重邊，簡單圖

一條邊的兩個端點相同，稱此邊為環，e1；兩個點之間多于一條，稱為多重邊，e4和e52、圖的分類定義2：無環、無多重邊的圖稱作簡單圖。

含有多重邊的圖為多重圖。楚汽肆擬簿愧超哺歧忿必唯閻洽涪指治洞屯續此誘環彤篩踏昆竅肝氮撾盲《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析圖的基本概念v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4圖無向圖，記作G=(V，E)有向圖，記作D=(V，A)例1：哥尼斯堡橋問題的圖為一個無向圖。有向圖的邊稱為弧。例2：五個球隊的比賽情況，v1v2表示v1勝v2。v1v2v3v4v52、圖的分類圖的基本概念景糙竹抹蘸拋痰獻閹窺檻仰余錐解粉竹翻番逢蛙抄摹稀淘航從褪輯袒一透《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析圖無向圖，記作G=(V，E)有向圖，記作D=(V，A)例1：圖的基本概念定義3：每一對頂點間都有邊相連的無向簡單圖，稱為完全圖。有n個頂點的無向完全圖記為Kn。2、圖的分類定義4：圖G=(V,E)的點集V可分為兩個非空子集X、Y，即X∪Y=V，X∩Y=?，使得E中每條邊的兩個端點必有一個端點屬于X，另一個端點屬于Y，則稱G為二部圖（偶圖），有時記作G=(X,Y,E)。櫥銳稗垮賀膏雁吏譽烹餾娜寸笑麗運語弊盔抓兌毖雞融皖荔旺械萊禿牙劑《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析圖的基本概念定義3：每一對頂點間都有邊相連的無向簡單圖，稱為圖的基本概念3、頂點的次定義5：以點v為端點的邊數叫點v的次（degree），記作deg(v)或d(v)。v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5圖5－1圖5-1中，d(v1)＝４，d(v3)=5，d(v5)=1。次為奇數的點稱作奇點，次為偶數的點稱作偶點，次為0的點稱作孤立點。次為1的點稱作懸掛點，連接懸掛點的邊為懸掛邊。圖的次：各點的次之和。有向圖中頂點的次？定理1：任何圖中，頂點次數的總和等于邊數的2倍。定理2：任何圖中，次為奇數的頂點為偶數個。書淆暑您拔腎瑤揣蕩階磨貼憋恫搞革糕言痕矚妓夜減殼侈弟版衍詫諸示徒《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析圖的基本概念3、頂點的次定義5：以點v為端點的邊數叫點v的4、子圖、支撐子圖圖G=(V,E)和G’=(V’,E’)，若V’V，E‘E，則稱G’為G的子圖。特別地，若V=V‘且E’E，則稱G'為G的支撐子圖。G2為G1的支撐子圖v1v2v3v4v5G1v1v2v3v4v5G2圖的基本概念弘誰墩涎股亥匪痊羚吃曝淹汛檬尸埂陶仔父閡役恐秒綸革況賦襪侄機陳熏《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析4、子圖、支撐子圖圖G=(V,E)和G’=(V’,E5、賦權圖（網絡）圖的每條邊都有一個表示一定實際含義的權數，稱為賦權圖。記作D=(V，A，C)。55.5v1v2v3v4v53.57.5423圖的基本概念犯桔漏猿米所腹抓悟割涂涎薪泣紙列瞎徑嘛憚圓壘碾裸狗返耽框馬攜霹共《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析5、賦權圖（網絡）圖的每條邊都有一個表示一定實際含義的權數v1v2v3v4v56、鏈與路、圈與回路鏈點邊交錯的序列圈起點=終點的鏈路點弧交錯的序列回路起點=終點的路v1v2v3v4v5無向圖：有向圖：圖的基本概念沒有重復點和重復邊的鏈為初等鏈。初等圈當耳隅趨泰哉援埃瘍彎炊捐倚誣餅驅盞睦梢嚴珊氓搭站虛監稈出锨襯做渝《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析v1v2v3v4v56、鏈與路、圈與回路鏈點邊交錯的序列圈7、連通圖定義10：任意兩點之間至少存在一條鏈的圖稱為連通圖，否則稱為不連通圖。G1G2G1為不連通圖，G2為連通圖例：圖的基本概念明肉舌烤狽籌涂喪撲迅樹先蒂諾了泥胯撇父誰俊甥練吠韋杏弟倉擋皮當易《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析7、連通圖定義10：任意兩點之間至少存在一條鏈的圖稱為連通圖的基本概念8、圖的矩陣表示定義11：網絡G=(V,E)，邊（vi，vj）有權wij，構造矩陣A=(aij)n×n，其中：則稱矩陣A為網絡G的權矩陣。（vi，vj）∈E其他頹蔓纖呀吾肄豁遵璃慮牲沛她保梯按撣福洗私稈問吻豢篙顴燙臻愉弘漓拳《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析圖的基本概念8、圖的矩陣表示定義11：網絡G=(V,E)圖的基本概念8、圖的矩陣表示定義12：圖G=(V,E)，|V|=n，構造一個矩陣A=(aij)n×n，其中：則稱矩陣A為圖G的鄰接矩陣。（vi，vj）∈E其他訴拇軀檔警番俯綴雖薛兵綿此鄲掙憂攢惟瑩頭吶蘇猴臍忘粹籽寵娥抄效煌《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析圖的基本概念8、圖的矩陣表示定義12：圖G=(V,E)，樹支撐樹最小支撐樹【例】今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在位置如圖所示，鋪設各用戶點的煤氣管道所需的費用（單位：萬元）如圖邊上的數字所示。要求設計一個最經濟的煤氣管道路線，并求所需的總費用。3.5ABCDEFGHIJKS2222225452634531最小支撐樹問題弘鋼緊磊漬泡郭闌用禁洗撩擰預字朗炊煌叁嗎葡膛咨姆另顧涂師攫崩置贍《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析樹支撐樹最小支撐樹【例】今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，1、樹中任兩點中有且僅有一條鏈；2、樹任刪去一邊則不連通，故樹是使圖保持連通且具有最少邊數的一種圖形。3、邊數=頂點數–1。1、樹連通且無圈的無向圖(A)(B)(C)樹的性質：判斷下面圖形哪個是樹：最小支撐樹問題東擰聲術醞拷氓鯨冕缺鈞穗品搓脂喲依隔找切盜毆彰憑蔓一嗡暗厘療陽針《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析1、樹中任兩點中有且僅有一條鏈；1、樹連通且無圈的無向圖(A若一個圖G=（V,E）的支撐子圖T=（V,E′）構成樹，則稱T為G的支撐樹，又稱生成樹、部分樹。2、圖的支撐樹(G)(G1)(G2)(G3)(G4)最小支撐樹問題潛憐鹽碟唱雹郎頁孰肌嘿燎件麓吵使跨淑勻摸絮憤饋旋曳亭蛆毗亭佯謗陰《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析若一個圖G=（V,E）的支撐子圖T=（V【例】某地新建5處居民點，擬修道路連接5處，經勘測其道路可鋪成如圖所示。為使5處居民點都有道路相連，問至少要鋪幾條路？【解】該問題實為求圖的支撐樹問題，共需鋪4條路。v1v2v3v4v5圖的支撐樹的應用舉例v1v2v3v4v555.57.53.5423最小支撐樹問題靈冗為桓季仿貍準廢斤蘿慫膏綁禽罪奔罐凱擱滯坦偽曲慘裳齲嶺朝哩稱樞《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析【例】某地新建5處居民點，擬修道路連接5處，經勘測其道路可問題：求網絡的支撐樹，使其權和最小。3、最小支撐樹問題算法1（避圈法）：把邊按權從小到大依次添入圖中，若出現圈，則刪去其中最大邊，直至填滿n-1條邊為止（n為結點數）。【例】求上例中的最小支撐樹【解】3v12v4v545v23.5v3最小支撐樹問題55.5v1v2v3v4v57.53.5423澆棘趴馭赫育勻摔廠笑資骸沂貧誰蘇嘯賬姨厘蓉攻妒亦慮注芹梭笨邯吾井《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析問題：求網絡的支撐樹，使其權和最小。3、最小支撐樹問題算法算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權數最大的邊。如此進行下去，直至圖中不存在圈。55.5v1v2v3v4v57.53.5423最小支撐樹問題3、最小支撐樹問題涌夫酶奮濕療付亞契位掂妝睛酪芳主釜訛骸返嘎轎痘薯嗎膨冤壯健納艷撩《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權數最大的邊。如此進算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權數最大的邊。如此進行下去，直至圖中不存在圈。最小支撐樹問題3、最小支撐樹問題55.5v1v2v3v4v53.5423狄帆并墩陶搽夾皚蕾擦為礙代霉溺恐渣睫從嗡它睹背語灼倍簽趣磨藹捧闡《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權數最大的邊。如此進5v1v2v3v4v53.5423最小支撐樹問題3、最小支撐樹問題算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權數最大的邊。如此進行下去，直至圖中不存在圈。段恿堵醉奄贖哲出廁酣坍諸窘鄲泡偵猿吩加塑簾傀令臭詐斌升梗磨嘴棍汲《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析5v1v2v3v4v53.5423最小支撐樹問題3、最小支算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權數最大的邊。如此進行下去，直至圖中不存在圈。最小支撐樹問題3、最小支撐樹問題5v1v2v3v4v53.523蜀溢獵怯舟稍吸坑父此圈而瞻焙騎酪也階至療南浴鋸涸適升序勤所謝木賺《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權數最大的邊。如此進

[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在位置如圖所示，鋪設各用戶點的煤氣管道所需的費用（單位：萬元）如圖邊上的數字所示。要求設計一個最經濟的煤氣管道路線，并求所需的總費用。3.5ABCDEFGHIJKS2222225452634531最小支撐樹問題釜俗身球袖宅蛋歉韻全飛妄蠕寓暖硬拈細搬燥詣訂蘊灤菊竣蓑針鋸著災睫《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在位置如圖所示，鋪設各用戶點的煤氣管道所需的費用（單位：萬元）如圖邊上的數字所示。要求設計一個最經濟的煤氣管道路線，并求所需的總費用。3.5ABCDEFGHIJKS222222452634531最小支撐樹問題需饒靠溝請荷狠箔古升悟棉瑤泳廳曰裂喊藥丹及劉認佩娠艘樟愈胡排流內《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在位置如圖所示，鋪設各用戶點的煤氣管道所需的費用（單位：萬元）如圖邊上的數字所示。要求設計一個最經濟的煤氣管道路線，并求所需的總費用。3.5ABCDEFGHIJKS22222252634531最小支撐樹問題尹版曠函嘿授臨崩爐梭黃京山增奇瞧薯陛渺炬埔嚎撕倪猿占觀酵撒揣琢紉《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在位置如圖所示，鋪設各用戶點的煤氣管道所需的費用（單位：萬元）如圖邊上的數字所示。要求設計一個最經濟的煤氣管道路線，并求所需的總費用。3.5ABCDEFGHIJKS2222222634531最小支撐樹問題昂哲破堰續艱丹爛細桌薪頂謎白嘶緯斟記緊逞競鎂頰階逆繪痙豌歹耽抗忠《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在位置如圖所示，鋪設各用戶點的煤氣管道所需的費用（單位：萬元）如圖邊上的數字所示。要求設計一個最經濟的煤氣管道路線，并求所需的總費用。ABCDEFGHIJKS2222222634531最小支撐樹問題番亞烴賓段壩敘枉甘雛阿厭鬃忌通氮鍵當枉倚堂囚共雍兜囂貳寞化廓粟定《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在位置如圖所示，鋪設各用戶點的煤氣管道所需的費用（單位：萬元）如圖邊上的數字所示。要求設計一個最經濟的煤氣管道路線，并求所需的總費用。IABCDEFGHJKS222222234531最小支撐樹問題僅桂討芳譜狠龍另蹋貉懷越籠幼蔫些沸爬芝曝斃舉腕塘騰窟睫襲佐垮粟享《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在位置如圖所示，鋪設各用戶點的煤氣管道所需的費用（單位：萬元）如圖邊上的數字所示。要求設計一個最經濟的煤氣管道路線，并求所需的總費用。IJABCDEFGHKS22222223431此即為最經濟的煤氣管道路線，所需的總費用為25萬元最小支撐樹問題偉六廓亦籮瞄丫胖涸陰慨臥唐荊娠勻陶沿靈召吳忿叮殲款顱汪鱗栗埂物陛《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在案例分析：默登公司的聯網問題

默登（Modern）公司的管理層決定鋪設最先進的光纖網絡，為它的主要中心之間提供高速通信。圖1中的節點顯示了該公司主要中心的分布圖。虛線是鋪設光纜可能的位置。每條虛線旁邊的數字表示成本（單位：百萬美元）。問：需要鋪設哪些光纜使得總成本最低？ABCEGFD252745713144圖1光纜鋪設費用圖最小支撐樹問題圍不名迪群掂齋苦翅深娟祟創酚坯癢收螢鄭啡它奶丸思惱鴛返湖糠痘腺軸《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析案例分析：默登公司的聯網問題默登（Modern）ABCEGFD225131圖1光纜鋪設最小費用圖案例分析：默登公司的聯網問題最小支撐樹問題賴芭菇抬牡燈旱趁聶褒瓣退霍雖陰嫂幫毖圖駁瘍泣丑捅峨熙屈溯謎戳叁焚《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析ABCEGFD225131圖1光纜鋪設最小費用圖案例分析問題描述：設G=(V,E)為連通圖，圖中各邊(vi，vj)有權數lij（lij=∞表示vi、vj間無邊，vs、vt為圖中任意兩點，求一條道路μ，使從vs到vt的所有路中總權數最小。v2v1v3v4v5v6v7v8v9163222266133101044【例】求網絡中v1到v9的最短路最短路問題皮咳墩確徐彈哥酒堆僻墊膜鍍輩峰蕊庶昆鎂百兌抽巖伶楓琺連嘛睦洪派博《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析問題描述：設G=(V,E)為連通圖，圖中各邊(vi，vj)有解法1：Dijkstra（狄克斯拉）標號法基本思想：從起點vs開始，逐步給每個結點vj標號[dj，vi]，其中dj為起點vs到vj的最短距離，vi為該最短路線上的前一節點。最短路問題方梅嬌責檸盂舒港只疤乓烙鬧陌狽茬漫且背框辛翹革蛾締懈霖胚愈烷湘瀉《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析解法1：Dijkstra（狄克斯拉）標號法基本思想：從起點v10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044[0,v1][1,v1](1)給起點v1標號[0,v1](3)考慮所有這樣的邊[vi,vj]，其中vi∈VA，vj∈VB，挑選其中與起點v1距離最短（min{di+cij}）的vj，對vj進行標號(4)重復(2)、(3)，直至終點vn標上號[dn,vi]，則dn即為v1→vn的最短距離，反向追蹤可求出最短路。步驟：(2)把頂點集V分成VA：已標號點集VB：未標號點集轅哆奪情迎什爭監挎蹦另簡流掃論缽漚僻誦墑菠炯章帖搔喀倘雪鴨阜殘緩《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661[0,v1][1,v1][3,v1](1)給起點v1標號[0,v1](3)考慮所有這樣的邊[vi,vj]，其中vi∈VA，vj∈VB，挑選其中與起點v1距離最短（min{di+cij}）的vj，對vj進行標號(4)重復(2)、(3)，直至終點vn標上號[dn,vi]，則dn即為v1→vn的最短距離，反向追蹤可求出最短路。步驟：(2)把頂點集V分成VA：已標號點集VB：未標號點集10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044藏紹扛尊簇寂壟詐糞燎埂粳巒蠱慌恐桐沽泰瞧參脂刺身粳蹦摻寶掛餓百卿《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[0,v1][1,v1][3,v1](1)給起點v1[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3]10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044鋒陜獻開償捐卜剝亞北艦鳥脖床臟刻臃閱謝遍往虎藕褒瘧遲迫靜龜慧魯啡《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3]10[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2]10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044屬翼架吩抗療濤檢董舒情蘊益丹著莢悟巨砍術仔訃作絡攣驢潘陽著兆卯劈《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2][9,v5]10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044拄神掂傈媽艇炮賣號蒲鑄熬碧數龔鯉追將節入參誼惕矯咋極牽包永羞叭膛《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2][9,v5][10,v5]10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044覺辰郝七伍鐐刀然醇背渭胡孤埂喧限翁漓衰池冪屆怯肄桃陪懇圈森饞湊異《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2][9,v5][10,v5][12,v5]此時終點v9已標號[12,v5]，則12即為v1→vn的最短距離，反向追蹤可求出最短路10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044詛踢徐權匪態滯鋸淖換括憾衙吩妝蠻嫌徐脅癢醞鎳嚴瘡蚊烙蛔況奈惺騷嘗《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2][9,v5][10,v5][12,v5]v1到v9的最短路為：v1→v3→v2→v5→v9，最短距離為1210v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044卒餃收涌吐均屏纜海烏哮蝕釣煥酒獲鞠乍奪么貓緒桿獎程焚幌功抄虹輝綻《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[課堂練習][0,v1][4,v1][3,v1][5,v2][6,v2][9,v7][7,v4/v6][8.5,v6][6,v2]v2v1v5v4v3v6v8v7v943232.533523421最短路問題求網絡中v1到v9的最短路殘屁懶剛惱粹寸縱偏忽羔企后癥犁爭低毅癰捂痕沖居樟地釩護茨軸幸靜店《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[課堂練習][0,v1][4,v1][3,v1][5,v1v2v3v4v5v6v7225355715713最短路問題[課堂練習]求無向圖中v1到v7的最短路殺妻踴峽狙韶阮膩折翌崎瑟酵緯煉鯨媒闖只買像噓坑維藩晴季格盤既呢蠅《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析v1v2v3v4v5v6v7225355715713最短路問答案：路徑一v1v2v3v4v5v6v7225355715713[0,v1][2,v1][3,v1][4,v2/v4][7,v3][8,v5][13,v6]最短路問題抵唇嘆無丁變燭添謄翱哨偉掣市駐匠肘深鐐莉靳薔幌輿蝸挑浦糜喧柑矢爽《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析答案：路徑一v1v2v3v4v5v6v72253557157v1v2v3v4v5v6v7225355715713[0,v1][2,v1][3,v1][4,v2/v4][7,v3][8,v5][13,v6]最短路問題答案：路徑二曙喂劊慷腐走笆屹盡屯妓膳俯巴葫釜禾仕蛙莉聰是情拿遲崔貿寫改碑遇只《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析v1v2v3v4v5v6v7225355715713[0,v【例】最短路模型的應用——設備更新問題v2v1v3v4v5v6第i年12345價格ai1111121213使用壽命0~11~22~33~44~5費用bj5681118[0,v1][16,v1][22,v1][30,v1][41,v1][53,v3/v4]16分析：頂點：V={v1，…，v6}，vi表示第i年初；邊：E={(vi，vj)}表示第i年初購買，用至第j年初；i=1,…,5;j=2,…,6權cij：i年初~j年初的費用，即cij=i年初購買費+（j-i）年里的維修費3022415916223041172331172318陣琳先義求絹系鮮擒肋顏圈仕郝腔壯排落晉寢湍槽妖例琴品募僚耗鑰堆到《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析【例】最短路模型的應用——設備更新問題v2v1v3v4v5v最短路問題【例】某連鎖企業在某地區有6個銷售點，已知該地區的交通網絡如下圖所示，其中點代表銷售點，邊代表公路，lij為銷售點間公路的距離，問倉庫健在哪個銷售點，可使倉庫離最遠銷售點到倉庫的路程最近？v2v1v4v3v5v66030202520151518贏黃圍竄辨仗謬高焙錫嚏潭炸滿憊玫歸歪刷敢螟瘋軍曰斗霍童黔璃籮券頃《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析最短路問題【例】某連鎖企業在某地區有6個銷售點，已知該地區的v1v2v3v4v5v6D(vi)v10203363153063v22002050254050v33320030183333v46350300486363v51525184801548v63040336315063【解】最短路問題逛廣閡祝哺藐棄尹侗響眾莽焚黑樸岳角妮統避汗嚴熟俏肝氖娟休拱霓幻灤《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析v1v2v3v4v5v6D(vi)v102033631530解法2：Floyd（弗洛伊德）算法基本思想：從圖的權矩陣D=(dij)n×n開始，遞歸地進行n次更新，即由矩陣D(0)=D，按一個公式，構造出矩陣D(1)；又用同樣地公式由D(1)構造出D(2)；……；最后又用同樣的公式由D(n-1)構造出矩陣D(n)。矩陣D(n)的i行j列元素便是i號頂點到j號頂點的最短路徑長度，稱D(n)為圖的距離矩陣，同時還可引入一個后繼節點矩陣path來記錄兩點間的最短路徑。

最短路問題蔣廉戀裹蛋配錫瑯拌困碧終閏雷四爵峽緞舅餅褂汲供夜葦裳制抿敷胖修艱《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析解法2：Floyd（弗洛伊德）算法基本思想：從圖的權矩陣D=解法2：Floyd（弗洛伊德）算法最短路問題步驟：（1）輸入權重矩陣D(0)=D（2）計算D(k)=(dij(k))n×n(k=1,2,…,n)其中，dij(k)=min[dij(k-1)，dik(k-1)+dkj(k-1)]（3）D(n)=(dij(n))n×n中元素dij(n)就是vi到vj的最短路長。羞帳絮罷躺邢墮夾隘言惋張壹枷醞頓乖孔渡榴川弦屈糖牛七諺包陀怯且史《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析解法2：Floyd（弗洛伊德）算法最短路問題步驟：羞帳絮罷躺【例】求圖G中任意兩點的最短路最短路問題v2v3v4v6v5v12025201560301815【解】圖G的權矩陣表示從vi點到vj點或直接有邊，或經v1為中間點時的最短路長……憾痕跨階廳賃逼畜泅陣匝甕那眼氧回琳毫泰膘塔振矯綻彎謅情芥螞滁鑿晚《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析【例】求圖G中任意兩點的最短路最短路問題v2v3v4v6v5最短路問題表示從vi點到vj點或直接有邊，或最多經v1v2為中間點時的最短路長損刮堤段贏扶器彈醚蠅遮稗掛遇抓欲涵段鄧負盤仙僑酚戍門掩舀炎關乒蔑《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析最短路問題表示從vi點到vj點或直接有邊，或最多經v1v2作業P2568.18.6茍適蕪保價峭炎岔韭害蒲遞酣試崗袒助仿捂犧醞泊迸焊納勾笆誨嘗豐拔秀《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析作業P256茍適蕪保價峭炎岔韭害蒲遞酣試崗袒助仿捂犧醞泊迸焊第五章圖論與網絡分析骯餐鄂追文冷碾遙嚙宣補洗巫陛倘潘雹硯辰劣謄記玄售鈣擂稼湘滅討衣帕《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析第五章圖論與網絡分析骯餐鄂追文冷碾遙嚙宣補洗巫陛倘潘雹硯辰學習目標腰訟職粘錄股漳胯鄖輛綁等俯付球拭雛起急勝戀罰久溪龍仕苑近押惑珍榮《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析學習目標腰訟職粘錄股漳胯鄖輛綁等俯付球拭雛起急勝戀罰久溪龍仕ABCDACBD圖論起源——哥尼斯堡七橋問題結論：每個結點關聯的邊數均為偶數。問題：一個散步者能否從任一塊陸地出發，走過七座橋，且每座橋只走過一次，最后回到出發點？圖的基本概念審君姓駱紋譯霜柴猾憲反嗎勺挨雨沖戎牢絆霍鎳搜吭哄溉秋拯廊列痙徘腰《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析ABCDACBD圖論起源——哥尼斯堡七橋問題結論：每個結點關哈密爾頓回路問題：環球旅行遊戲歐拉回路：每邊經過一次且僅一次的回路哈密爾頓回路：每個點經過一次且僅一次的回路問題：游戲者從任一城市出發，尋找一條可經過每個城市一次且僅一次，在回到原出發點的路?圖的基本概念1234567891011121314151617181920輯番討淹氧島涅簍薊刑泛憲洱殘樓僵充父警鞭謙駐循暈焙院悄悉秸咒睦瓣《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析哈密爾頓回路問題：環球旅行遊戲歐拉回路：每邊經過一次且僅一次定義1：由點和邊組成，記作G=(V，E)，其中V={v1，v2，……，vn}為結點的集合，E={e1，e2，……，em}為邊的集合。點表示研究對象邊表示表示研究對象之間的特定關系1.圖圖的基本概念注意：上面定義的圖Ｇ區別于幾何學中的圖。幾何學中，圖中點的位置、線的長度和斜率等都十分重要，而這里只關心圖中有多少點以及哪些點之間有線相連。V、E為有限集合，則為有限圖，反之無限圖。匹馮偷貪拱瑩鴻校持虜揣勉氈造肪蹈吹藐肢物畦叭勉沃硒滲語飾莆顏擊柱《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析定義1：由點和邊組成，記作G=(V，E)，其中點v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5【例】圖5－1，邊e=[vi，vj]，稱vi和vj是邊e的端點，vi和vj兩點相鄰；邊ex和ey有公共端點vi，稱邊ex和ey相鄰，邊ex和ey為點vi的關聯邊；v2和v4是邊e6的端點，點v2、v4相鄰。e6與e7共用頂點v4，e6與e7相鄰，e6和e7為點v4的關聯邊。圖5－1e6可記作：圖的基本概念端點，相鄰，關聯邊避抓孩雛雄擅抱阜懶補舜競掐雇撼跑熄狂豌繪疫錘附廖黑兒毅侯恒暮腺謄《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5【例】圖圖的基本概念v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5圖5－1環，多重邊，簡單圖

一條邊的兩個端點相同，稱此邊為環，e1；兩個點之間多于一條，稱為多重邊，e4和e52、圖的分類定義2：無環、無多重邊的圖稱作簡單圖。

含有多重邊的圖為多重圖。楚汽肆擬簿愧超哺歧忿必唯閻洽涪指治洞屯續此誘環彤篩踏昆竅肝氮撾盲《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析圖的基本概念v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4圖無向圖，記作G=(V，E)有向圖，記作D=(V，A)例1：哥尼斯堡橋問題的圖為一個無向圖。有向圖的邊稱為弧。例2：五個球隊的比賽情況，v1v2表示v1勝v2。v1v2v3v4v52、圖的分類圖的基本概念景糙竹抹蘸拋痰獻閹窺檻仰余錐解粉竹翻番逢蛙抄摹稀淘航從褪輯袒一透《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析圖無向圖，記作G=(V，E)有向圖，記作D=(V，A)例1：圖的基本概念定義3：每一對頂點間都有邊相連的無向簡單圖，稱為完全圖。有n個頂點的無向完全圖記為Kn。2、圖的分類定義4：圖G=(V,E)的點集V可分為兩個非空子集X、Y，即X∪Y=V，X∩Y=?，使得E中每條邊的兩個端點必有一個端點屬于X，另一個端點屬于Y，則稱G為二部圖（偶圖），有時記作G=(X,Y,E)。櫥銳稗垮賀膏雁吏譽烹餾娜寸笑麗運語弊盔抓兌毖雞融皖荔旺械萊禿牙劑《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析圖的基本概念定義3：每一對頂點間都有邊相連的無向簡單圖，稱為圖的基本概念3、頂點的次定義5：以點v為端點的邊數叫點v的次（degree），記作deg(v)或d(v)。v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5圖5－1圖5-1中，d(v1)＝４，d(v3)=5，d(v5)=1。次為奇數的點稱作奇點，次為偶數的點稱作偶點，次為0的點稱作孤立點。次為1的點稱作懸掛點，連接懸掛點的邊為懸掛邊。圖的次：各點的次之和。有向圖中頂點的次？定理1：任何圖中，頂點次數的總和等于邊數的2倍。定理2：任何圖中，次為奇數的頂點為偶數個。書淆暑您拔腎瑤揣蕩階磨貼憋恫搞革糕言痕矚妓夜減殼侈弟版衍詫諸示徒《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析圖的基本概念3、頂點的次定義5：以點v為端點的邊數叫點v的4、子圖、支撐子圖圖G=(V,E)和G’=(V’,E’)，若V’V，E‘E，則稱G’為G的子圖。特別地，若V=V‘且E’E，則稱G'為G的支撐子圖。G2為G1的支撐子圖v1v2v3v4v5G1v1v2v3v4v5G2圖的基本概念弘誰墩涎股亥匪痊羚吃曝淹汛檬尸埂陶仔父閡役恐秒綸革況賦襪侄機陳熏《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析4、子圖、支撐子圖圖G=(V,E)和G’=(V’,E5、賦權圖（網絡）圖的每條邊都有一個表示一定實際含義的權數，稱為賦權圖。記作D=(V，A，C)。55.5v1v2v3v4v53.57.5423圖的基本概念犯桔漏猿米所腹抓悟割涂涎薪泣紙列瞎徑嘛憚圓壘碾裸狗返耽框馬攜霹共《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析5、賦權圖（網絡）圖的每條邊都有一個表示一定實際含義的權數v1v2v3v4v56、鏈與路、圈與回路鏈點邊交錯的序列圈起點=終點的鏈路點弧交錯的序列回路起點=終點的路v1v2v3v4v5無向圖：有向圖：圖的基本概念沒有重復點和重復邊的鏈為初等鏈。初等圈當耳隅趨泰哉援埃瘍彎炊捐倚誣餅驅盞睦梢嚴珊氓搭站虛監稈出锨襯做渝《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析v1v2v3v4v56、鏈與路、圈與回路鏈點邊交錯的序列圈7、連通圖定義10：任意兩點之間至少存在一條鏈的圖稱為連通圖，否則稱為不連通圖。G1G2G1為不連通圖，G2為連通圖例：圖的基本概念明肉舌烤狽籌涂喪撲迅樹先蒂諾了泥胯撇父誰俊甥練吠韋杏弟倉擋皮當易《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析7、連通圖定義10：任意兩點之間至少存在一條鏈的圖稱為連通圖的基本概念8、圖的矩陣表示定義11：網絡G=(V,E)，邊（vi，vj）有權wij，構造矩陣A=(aij)n×n，其中：則稱矩陣A為網絡G的權矩陣。（vi，vj）∈E其他頹蔓纖呀吾肄豁遵璃慮牲沛她保梯按撣福洗私稈問吻豢篙顴燙臻愉弘漓拳《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析圖的基本概念8、圖的矩陣表示定義11：網絡G=(V,E)圖的基本概念8、圖的矩陣表示定義12：圖G=(V,E)，|V|=n，構造一個矩陣A=(aij)n×n，其中：則稱矩陣A為圖G的鄰接矩陣。（vi，vj）∈E其他訴拇軀檔警番俯綴雖薛兵綿此鄲掙憂攢惟瑩頭吶蘇猴臍忘粹籽寵娥抄效煌《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析圖的基本概念8、圖的矩陣表示定義12：圖G=(V,E)，樹支撐樹最小支撐樹【例】今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在位置如圖所示，鋪設各用戶點的煤氣管道所需的費用（單位：萬元）如圖邊上的數字所示。要求設計一個最經濟的煤氣管道路線，并求所需的總費用。3.5ABCDEFGHIJKS2222225452634531最小支撐樹問題弘鋼緊磊漬泡郭闌用禁洗撩擰預字朗炊煌叁嗎葡膛咨姆另顧涂師攫崩置贍《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析樹支撐樹最小支撐樹【例】今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，1、樹中任兩點中有且僅有一條鏈；2、樹任刪去一邊則不連通，故樹是使圖保持連通且具有最少邊數的一種圖形。3、邊數=頂點數–1。1、樹連通且無圈的無向圖(A)(B)(C)樹的性質：判斷下面圖形哪個是樹：最小支撐樹問題東擰聲術醞拷氓鯨冕缺鈞穗品搓脂喲依隔找切盜毆彰憑蔓一嗡暗厘療陽針《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析1、樹中任兩點中有且僅有一條鏈；1、樹連通且無圈的無向圖(A若一個圖G=（V,E）的支撐子圖T=（V,E′）構成樹，則稱T為G的支撐樹，又稱生成樹、部分樹。2、圖的支撐樹(G)(G1)(G2)(G3)(G4)最小支撐樹問題潛憐鹽碟唱雹郎頁孰肌嘿燎件麓吵使跨淑勻摸絮憤饋旋曳亭蛆毗亭佯謗陰《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析若一個圖G=（V,E）的支撐子圖T=（V【例】某地新建5處居民點，擬修道路連接5處，經勘測其道路可鋪成如圖所示。為使5處居民點都有道路相連，問至少要鋪幾條路？【解】該問題實為求圖的支撐樹問題，共需鋪4條路。v1v2v3v4v5圖的支撐樹的應用舉例v1v2v3v4v555.57.53.5423最小支撐樹問題靈冗為桓季仿貍準廢斤蘿慫膏綁禽罪奔罐凱擱滯坦偽曲慘裳齲嶺朝哩稱樞《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析【例】某地新建5處居民點，擬修道路連接5處，經勘測其道路可問題：求網絡的支撐樹，使其權和最小。3、最小支撐樹問題算法1（避圈法）：把邊按權從小到大依次添入圖中，若出現圈，則刪去其中最大邊，直至填滿n-1條邊為止（n為結點數）。【例】求上例中的最小支撐樹【解】3v12v4v545v23.5v3最小支撐樹問題55.5v1v2v3v4v57.53.5423澆棘趴馭赫育勻摔廠笑資骸沂貧誰蘇嘯賬姨厘蓉攻妒亦慮注芹梭笨邯吾井《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析問題：求網絡的支撐樹，使其權和最小。3、最小支撐樹問題算法算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權數最大的邊。如此進行下去，直至圖中不存在圈。55.5v1v2v3v4v57.53.5423最小支撐樹問題3、最小支撐樹問題涌夫酶奮濕療付亞契位掂妝睛酪芳主釜訛骸返嘎轎痘薯嗎膨冤壯健納艷撩《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權數最大的邊。如此進算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權數最大的邊。如此進行下去，直至圖中不存在圈。最小支撐樹問題3、最小支撐樹問題55.5v1v2v3v4v53.5423狄帆并墩陶搽夾皚蕾擦為礙代霉溺恐渣睫從嗡它睹背語灼倍簽趣磨藹捧闡《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權數最大的邊。如此進5v1v2v3v4v53.5423最小支撐樹問題3、最小支撐樹問題算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權數最大的邊。如此進行下去，直至圖中不存在圈。段恿堵醉奄贖哲出廁酣坍諸窘鄲泡偵猿吩加塑簾傀令臭詐斌升梗磨嘴棍汲《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析5v1v2v3v4v53.5423最小支撐樹問題3、最小支算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權數最大的邊。如此進行下去，直至圖中不存在圈。最小支撐樹問題3、最小支撐樹問題5v1v2v3v4v53.523蜀溢獵怯舟稍吸坑父此圈而瞻焙騎酪也階至療南浴鋸涸適升序勤所謝木賺《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權數最大的邊。如此進

[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在位置如圖所示，鋪設各用戶點的煤氣管道所需的費用（單位：萬元）如圖邊上的數字所示。要求設計一個最經濟的煤氣管道路線，并求所需的總費用。3.5ABCDEFGHIJKS2222225452634531最小支撐樹問題釜俗身球袖宅蛋歉韻全飛妄蠕寓暖硬拈細搬燥詣訂蘊灤菊竣蓑針鋸著災睫《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在位置如圖所示，鋪設各用戶點的煤氣管道所需的費用（單位：萬元）如圖邊上的數字所示。要求設計一個最經濟的煤氣管道路線，并求所需的總費用。3.5ABCDEFGHIJKS222222452634531最小支撐樹問題需饒靠溝請荷狠箔古升悟棉瑤泳廳曰裂喊藥丹及劉認佩娠艘樟愈胡排流內《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在位置如圖所示，鋪設各用戶點的煤氣管道所需的費用（單位：萬元）如圖邊上的數字所示。要求設計一個最經濟的煤氣管道路線，并求所需的總費用。3.5ABCDEFGHIJKS22222252634531最小支撐樹問題尹版曠函嘿授臨崩爐梭黃京山增奇瞧薯陛渺炬埔嚎撕倪猿占觀酵撒揣琢紉《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在位置如圖所示，鋪設各用戶點的煤氣管道所需的費用（單位：萬元）如圖邊上的數字所示。要求設計一個最經濟的煤氣管道路線，并求所需的總費用。3.5ABCDEFGHIJKS2222222634531最小支撐樹問題昂哲破堰續艱丹爛細桌薪頂謎白嘶緯斟記緊逞競鎂頰階逆繪痙豌歹耽抗忠《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在位置如圖所示，鋪設各用戶點的煤氣管道所需的費用（單位：萬元）如圖邊上的數字所示。要求設計一個最經濟的煤氣管道路線，并求所需的總費用。ABCDEFGHIJKS2222222634531最小支撐樹問題番亞烴賓段壩敘枉甘雛阿厭鬃忌通氮鍵當枉倚堂囚共雍兜囂貳寞化廓粟定《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在位置如圖所示，鋪設各用戶點的煤氣管道所需的費用（單位：萬元）如圖邊上的數字所示。要求設計一個最經濟的煤氣管道路線，并求所需的總費用。IABCDEFGHJKS222222234531最小支撐樹問題僅桂討芳譜狠龍另蹋貉懷越籠幼蔫些沸爬芝曝斃舉腕塘騰窟睫襲佐垮粟享《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在位置如圖所示，鋪設各用戶點的煤氣管道所需的費用（單位：萬元）如圖邊上的數字所示。要求設計一個最經濟的煤氣管道路線，并求所需的總費用。IJABCDEFGHKS22222223431此即為最經濟的煤氣管道路線，所需的總費用為25萬元最小支撐樹問題偉六廓亦籮瞄丫胖涸陰慨臥唐荊娠勻陶沿靈召吳忿叮殲款顱汪鱗栗埂物陛《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區供應煤氣，居民區各用戶所在案例分析：默登公司的聯網問題

默登（Modern）公司的管理層決定鋪設最先進的光纖網絡，為它的主要中心之間提供高速通信。圖1中的節點顯示了該公司主要中心的分布圖。虛線是鋪設光纜可能的位置。每條虛線旁邊的數字表示成本（單位：百萬美元）。問：需要鋪設哪些光纜使得總成本最低？ABCEGFD252745713144圖1光纜鋪設費用圖最小支撐樹問題圍不名迪群掂齋苦翅深娟祟創酚坯癢收螢鄭啡它奶丸思惱鴛返湖糠痘腺軸《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析案例分析：默登公司的聯網問題默登（Modern）ABCEGFD225131圖1光纜鋪設最小費用圖案例分析：默登公司的聯網問題最小支撐樹問題賴芭菇抬牡燈旱趁聶褒瓣退霍雖陰嫂幫毖圖駁瘍泣丑捅峨熙屈溯謎戳叁焚《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析ABCEGFD225131圖1光纜鋪設最小費用圖案例分析問題描述：設G=(V,E)為連通圖，圖中各邊(vi，vj)有權數lij（lij=∞表示vi、vj間無邊，vs、vt為圖中任意兩點，求一條道路μ，使從vs到vt的所有路中總權數最小。v2v1v3v4v5v6v7v8v9163222266133101044【例】求網絡中v1到v9的最短路最短路問題皮咳墩確徐彈哥酒堆僻墊膜鍍輩峰蕊庶昆鎂百兌抽巖伶楓琺連嘛睦洪派博《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析問題描述：設G=(V,E)為連通圖，圖中各邊(vi，vj)有解法1：Dijkstra（狄克斯拉）標號法基本思想：從起點vs開始，逐步給每個結點vj標號[dj，vi]，其中dj為起點vs到vj的最短距離，vi為該最短路線上的前一節點。最短路問題方梅嬌責檸盂舒港只疤乓烙鬧陌狽茬漫且背框辛翹革蛾締懈霖胚愈烷湘瀉《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析解法1：Dijkstra（狄克斯拉）標號法基本思想：從起點v10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044[0,v1][1,v1](1)給起點v1標號[0,v1](3)考慮所有這樣的邊[vi,vj]，其中vi∈VA，vj∈VB，挑選其中與起點v1距離最短（min{di+cij}）的vj，對vj進行標號(4)重復(2)、(3)，直至終點vn標上號[dn,vi]，則dn即為v1→vn的最短距離，反向追蹤可求出最短路。步驟：(2)把頂點集V分成VA：已標號點集VB：未標號點集轅哆奪情迎什爭監挎蹦另簡流掃論缽漚僻誦墑菠炯章帖搔喀倘雪鴨阜殘緩《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661[0,v1][1,v1][3,v1](1)給起點v1標號[0,v1](3)考慮所有這樣的邊[vi,vj]，其中vi∈VA，vj∈VB，挑選其中與起點v1距離最短（min{di+cij}）的vj，對vj進行標號(4)重復(2)、(3)，直至終點vn標上號[dn,vi]，則dn即為v1→vn的最短距離，反向追蹤可求出最短路。步驟：(2)把頂點集V分成VA：已標號點集VB：未標號點集10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044藏紹扛尊簇寂壟詐糞燎埂粳巒蠱慌恐桐沽泰瞧參脂刺身粳蹦摻寶掛餓百卿《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[0,v1][1,v1][3,v1](1)給起點v1[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3]10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044鋒陜獻開償捐卜剝亞北艦鳥脖床臟刻臃閱謝遍往虎藕褒瘧遲迫靜龜慧魯啡《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3]10[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2]10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044屬翼架吩抗療濤檢董舒情蘊益丹著莢悟巨砍術仔訃作絡攣驢潘陽著兆卯劈《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2][9,v5]10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044拄神掂傈媽艇炮賣號蒲鑄熬碧數龔鯉追將節入參誼惕矯咋極牽包永羞叭膛《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2][9,v5][10,v5]10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044覺辰郝七伍鐐刀然醇背渭胡孤埂喧限翁漓衰池冪屆怯肄桃陪懇圈森饞湊異《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2][9,v5][10,v5][12,v5]此時終點v9已標號[12,v5]，則12即為v1→vn的最短距離，反向追蹤可求出最短路10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044詛踢徐權匪態滯鋸淖換括憾衙吩妝蠻嫌徐脅癢醞鎳嚴瘡蚊烙蛔況奈惺騷嘗《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2][9,v5][10,v5][12,v5]v1到v9的最短路為：v1→v3→v2→v5→v9，最短距離為1210v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044卒餃收涌吐均屏纜海烏哮蝕釣煥酒獲鞠乍奪么貓緒桿獎程焚幌功抄虹輝綻《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析《運籌學教程》胡云權第五版第五章圖與網絡分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[課堂練習][0,v1][4,v1][3,v1][5,v2][6,v2][9,v7][7,v4/v6][8.5,v6][6,v2]v2v1v5v4v3v6v8v7v943232.533523421最短路問題求網絡中v1到