作業(yè)題2-151、以Xi(s)為輸入求Xo(s)/Xi(s)、Y(s)/Xi(s)、B(s)/Xi(s)、E(s)/Xi(s)2、以N(s)為輸入求Xo(s)/N(s)、Y(s)/N(s)、B(s)/N(s)、E(s)/N(s)-1N(s)=0Xi(s)=01WangYu作業(yè)題2-151、以Xi(s)為輸入-1N(s)=0Xi(s第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性是線性控制系統(tǒng)中最重要的問題2WangYu第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性是線性控制系統(tǒng)2Wan§5-1穩(wěn)定的概念一個系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動取消后，這個系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，稱這個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3WangYu§5-1穩(wěn)定的概念一個系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來§5-1穩(wěn)定的概念Mbcoodfabcde條件穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)4WangYu§5-1穩(wěn)定的概念Mbcoodfabcde條件穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定§5-1穩(wěn)定的概念穩(wěn)定性反映在干擾消失后的過渡過程的性質(zhì)上。這樣，在干擾消失的時刻，系統(tǒng)與平衡狀態(tài)的偏差可以看作是系統(tǒng)的初始偏差。因此，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性也可以這樣定義：若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差作用下，其過渡過程隨著時間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)原平衡狀態(tài)的性能，則稱該系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，稱該系統(tǒng)不穩(wěn)定。5WangYu§5-1穩(wěn)定的概念穩(wěn)定性反映在干擾消失后的過渡過程§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件ttt=0t-+6WangYu§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件ttt=0t-+6WangYu§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件-+7WangYu§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件-+7WangYu§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件反之，若特征根中有一個或多個根具有正實部，則零輸入響應(yīng)將隨時間的推移而發(fā)散，這樣的系統(tǒng)就不穩(wěn)定。1+G(s)H(s)=0即8WangYu§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件反之，若特征根中§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的根全部具有負(fù)實部。

或閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部具有負(fù)實部（位于左半s平面）。9WangYu§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：9§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，它取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入無關(guān)；控制理論所討論的穩(wěn)定性都是指自由振蕩下的穩(wěn)定性，即討論輸入為零，系統(tǒng)僅存在初始偏差時的穩(wěn)定性，即討論自由振蕩是收斂的還是發(fā)散的。10WangYu§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)為避開對特征方程的直接求解，就只好討論特征根的分布，看其是否全部具有負(fù)實部，并以此來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這就產(chǎn)生了一系列穩(wěn)定判據(jù)。

勞斯(Routh)判據(jù)11WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)為避開對特征方程的直接求解§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)特征方程為：穩(wěn)定的必要條件：

ai

>0(i=0,1,2…,n)穩(wěn)定的充分條件：勞斯陣列中第一列所有項>012WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)特征方程為：12WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)一直計算到最后一行算完為止。然后判斷陣列中第一列系數(shù)的符號，若全部>0,則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)，就為特征方程在右半s平面的根數(shù)。13WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)一直計算到最后一行算完為止。然解：滿足必要條件

13-2314WangYu解：滿足必要條件13-2314WangYu-K為何值時，系統(tǒng)穩(wěn)定例215WangYu-K為何值時，系統(tǒng)穩(wěn)定例215WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)的兩種特殊情況：1、某一行第一個元素為零，而其余各元素均不為零、或部分不為零；

2、某一行所有元素均為零。16WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)的兩種特殊情況：1、某§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

第一列系數(shù)符號改變兩次，系統(tǒng)有兩個右根，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。1011、某一行第一個元素為零17WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)第一列系數(shù)符號改變兩次，系統(tǒng)有§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)02第一列系數(shù)符號無改變，故系統(tǒng)沒有正實部的根。[S]行為0，表明系統(tǒng)有一對共軛虛根，所以，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

18WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)02第一列系數(shù)符號無改變，故系統(tǒng)沒有正§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)2、某一行所有元素均為零由該行的上一行元素來解決：（1）構(gòu)成輔助多項式，并求導(dǎo)，用其系數(shù)代替全為零的行；（2）構(gòu)成輔助方程，并解出這些大小相等但位置徑向相反的特征根。表明在S平面內(nèi)存在大小相等但位置徑向相反的根，即存在兩個大小相等、符號相反的實根和（或）一對共軛虛根。[S]顯然，這些根的數(shù)目一定是偶數(shù)。19WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)2、某一行所有元素均為零由該行的上一行§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)輔助多項式\4\12

第一列符號全為正，說明系統(tǒng)無右根，但有共軛虛根，可由輔助方程解出。輔助方程3

8

8\1\6\800

系統(tǒng)臨界穩(wěn)定20WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)輔助多項式\4\12作業(yè)：5-1、5-35-4(3)(4)、5-5(3)(4)

21WangYu作業(yè)：5-1、5-321WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程式的根全部具有負(fù)實部。或閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部具有負(fù)實部（位于左半s平面）。回顧22WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：回顧§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-23WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-23WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)24WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)24WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)這一判據(jù)是由H.nyquist首先提出來的。因為在控制系統(tǒng)設(shè)計中，一些元件的數(shù)學(xué)表達(dá)式往往是未知的，僅僅知道它們的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)，所以采用這種穩(wěn)定性分析方法比較方便。由解析的方法、或者由實驗的方法得到的開環(huán)頻率響應(yīng)曲線，都可以用來進(jìn)行穩(wěn)定性分析。因為閉環(huán)系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性可以由開環(huán)頻率響應(yīng)曲線圖解確定，無需實際求出閉環(huán)極點(diǎn)，所以這種判據(jù)在控制工程中得到了廣泛應(yīng)用。25WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)這一判據(jù)是由H.nyquist首先§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)一、米哈伊洛夫定理——證明Nyquist判據(jù)的一個引理26WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)一、米哈伊洛夫定理——證明Nyq§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)證明：先看一次式027WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)證明：先看一次式027WangY§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)028WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)028WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)029WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)029WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)再來研究零點(diǎn)在右半S平面的一次式030WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)再來研究零點(diǎn)在右半S平面的一次式0§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)031WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)031WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)32WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)32WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)二、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)1、反饋系統(tǒng)開環(huán)與閉環(huán)的特征方程式-33WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)二、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)1、反饋§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)2、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)034WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)2、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)034§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)035WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)035WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)036WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)036WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)Nyquist判據(jù)又可以敘述為：37WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)Nyquist判據(jù)又可以敘述為：3§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-例6K為何值時,系統(tǒng)穩(wěn)定？0-138WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-例6K為何值時,系統(tǒng)穩(wěn)定？0-1§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)例7判別系統(tǒng)穩(wěn)定性39WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)例7判別系統(tǒng)穩(wěn)定性39WangY§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-140WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-140WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)例841WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)例841WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-1042WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-1042WangYu作業(yè)：5-6(1)(3)、5-10

43WangYu作業(yè)：5-6(1)(3)、5-1043WangY§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的第二種表述44WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的第二種§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)0-145WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)0-145WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)0-1046WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)0-1046WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

把原點(diǎn)處的開環(huán)極點(diǎn)當(dāng)成左半S平面的極點(diǎn)（即不考慮q)，顯然只需知道開環(huán)在右S平面的極點(diǎn)P即可；

在S平面上做封閉曲線包圍整個右S平面；四、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的第三種表述47WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)把原點(diǎn)處的開環(huán)極點(diǎn)當(dāng)§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-148WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-148WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)全頻率的Nyquist判據(jù)為：49WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)全頻率的Nyquist判據(jù)為：49§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-150WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-150WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-151WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-151WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)全頻率的Nyquist判據(jù)為：52WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)全頻率的Nyquist判據(jù)為：52§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)53WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)53WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-154WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-154WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-155WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-155WangYu§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性延時環(huán)節(jié)是線性環(huán)節(jié)，機(jī)械工程中許多系統(tǒng)中具有這種環(huán)節(jié)。56WangYu§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、延時環(huán)節(jié)串聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道中時的系統(tǒng)穩(wěn)定性-可見：延時環(huán)節(jié)不改變幅頻特性，僅影響相頻特性。57WangYu§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、延§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性例5-14-帶有延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)不是最小相位系統(tǒng)58WangYu§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性例5-§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性明顯看出，雖然一階、二階系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，但系統(tǒng)中若存在延時環(huán)節(jié)，也可能變?yōu)椴环€(wěn)定。59WangYu§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、延時環(huán)節(jié)并聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道中時的系統(tǒng)穩(wěn)定性--60WangYu§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、延§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、Nyquist圖與Bode圖的對應(yīng)關(guān)系61WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、Nyquist圖與Bo§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、利用Bode圖判斷穩(wěn)定性穩(wěn)定不穩(wěn)定62WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、利用Bode圖判斷穩(wěn)定：63WangYu：63WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性利用Bode圖判斷使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。Nyquist曲線剛好通過（-1，j0）點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。例5-1764WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性利用Bode圖判斷使系統(tǒng)穩(wěn)§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性65WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性65WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性66WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性66WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性67WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性67WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性求使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界K值忽略忽略68WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性求使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界K值忽略§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性若采用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍69WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性若采用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性注意：利用Nyquist判據(jù)的結(jié)論與利用勞斯判據(jù)的結(jié)論不一致，其原因是Bode圖用的是漸近線，有誤差。只要兩種方法結(jié)論一致。70WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性注意：70WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性2、普遍情況

負(fù)穿越一次正穿越一次負(fù)穿越半次正穿越半次71WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性2、普遍情況負(fù)穿越一次正穿正負(fù)穿越之差為零，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定半次正穿越系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定72WangYu正負(fù)穿越之差為零，半次正穿越72WangYu正負(fù)穿越之差為1-2=-1，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定正負(fù)穿越之差為2-1=1，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定---73WangYu正負(fù)穿越之差為1-2=-1，正負(fù)穿越之差為2-1=1，---作業(yè)：5-22

74WangYu作業(yè)：5-2274WangYu§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性一、利用勞斯判據(jù)看系統(tǒng)相對穩(wěn)定性[S]75WangYu§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性一、利用勞斯判據(jù)看系統(tǒng)相對§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（1）不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：特征方程中各項系數(shù)>0即系數(shù)為0，說明系統(tǒng)特征根并不都在z平面（s=-1)左側(cè)76WangYu§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（1）不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（2）列勞斯表勞斯判據(jù)第一列未變號，說明z（s=-1）右半面無根），但最后元素為0，說明有共軛虛根或零根：令，代入特征方程：解出：即有零根即77WangYu§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（2）列勞斯表77Wang§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性二、利用乃氏判據(jù)看系統(tǒng)相對穩(wěn)定性及其相對穩(wěn)定性指標(biāo)這便是通常所說的相對穩(wěn)定性，它通過對（-1，j0）點(diǎn)的靠近程度來度量。定量表示為：78WangYu§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性二、利用乃氏判據(jù)看系統(tǒng)相對

具有正相位裕量的系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且還有相當(dāng)?shù)姆€(wěn)定儲備，它可以在的頻率下，允許相位再增加度才達(dá)到臨界穩(wěn)定條件。§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

1、相位裕量正相位裕量因此相位裕量也叫相位穩(wěn)定性儲備。79WangYu具有正相位裕量的系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且還§5-7控§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性2、幅值裕量當(dāng)時，開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)。在Bode圖上，正相位裕量線以上正幅值裕量0dB線以下正幅值裕量80WangYu§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性2、幅值裕量在Bode圖上§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性負(fù)幅值裕量負(fù)相位裕量線以下

具有負(fù)幅值裕量及負(fù)相位裕量時，閉環(huán)不穩(wěn)定。負(fù)幅值裕量0dB線以上負(fù)相位裕量81WangYu§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性負(fù)幅值裕量負(fù)相位裕量§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性工程實踐中，為使系統(tǒng)有滿意的穩(wěn)定儲備，一般希望：82WangYu§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性工程實踐中，為§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

如果僅以相位裕量來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,就會得出系統(tǒng)穩(wěn)定程度很高的結(jié)論,而系統(tǒng)的實際穩(wěn)定程度絕不是高,而是低。所以,必須同時根據(jù)相位裕量和幅值裕量全面地評價系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,避免得出不合實際的結(jié)論。83WangYu§5-7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性如果僅以相位K=1008dBK=10幅值裕量較大，但相位裕量小于30，相對穩(wěn)定性不夠滿意系統(tǒng)不穩(wěn)定-12dB84WangYuK=1008dBK=10幅值裕量較大，系統(tǒng)不穩(wěn)定-12dB8作業(yè)：5-11、5-14

85WangYu85WangYu作業(yè)題2-151、以Xi(s)為輸入求Xo(s)/Xi(s)、Y(s)/Xi(s)、B(s)/Xi(s)、E(s)/Xi(s)2、以N(s)為輸入求Xo(s)/N(s)、Y(s)/N(s)、B(s)/N(s)、E(s)/N(s)-1N(s)=0Xi(s)=086WangYu作業(yè)題2-151、以Xi(s)為輸入-1N(s)=0Xi(s第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性是線性控制系統(tǒng)中最重要的問題87WangYu第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性是線性控制系統(tǒng)2Wan§5-1穩(wěn)定的概念一個系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動取消后，這個系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，稱這個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。88WangYu§5-1穩(wěn)定的概念一個系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來§5-1穩(wěn)定的概念Mbcoodfabcde條件穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)89WangYu§5-1穩(wěn)定的概念Mbcoodfabcde條件穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定§5-1穩(wěn)定的概念穩(wěn)定性反映在干擾消失后的過渡過程的性質(zhì)上。這樣，在干擾消失的時刻，系統(tǒng)與平衡狀態(tài)的偏差可以看作是系統(tǒng)的初始偏差。因此，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性也可以這樣定義：若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差作用下，其過渡過程隨著時間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)原平衡狀態(tài)的性能，則稱該系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，稱該系統(tǒng)不穩(wěn)定。90WangYu§5-1穩(wěn)定的概念穩(wěn)定性反映在干擾消失后的過渡過程§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件ttt=0t-+91WangYu§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件ttt=0t-+6WangYu§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件-+92WangYu§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件-+7WangYu§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件反之，若特征根中有一個或多個根具有正實部，則零輸入響應(yīng)將隨時間的推移而發(fā)散，這樣的系統(tǒng)就不穩(wěn)定。1+G(s)H(s)=0即93WangYu§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件反之，若特征根中§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的根全部具有負(fù)實部。

或閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部具有負(fù)實部（位于左半s平面）。94WangYu§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：9§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，它取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入無關(guān)；控制理論所討論的穩(wěn)定性都是指自由振蕩下的穩(wěn)定性，即討論輸入為零，系統(tǒng)僅存在初始偏差時的穩(wěn)定性，即討論自由振蕩是收斂的還是發(fā)散的。95WangYu§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)為避開對特征方程的直接求解，就只好討論特征根的分布，看其是否全部具有負(fù)實部，并以此來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這就產(chǎn)生了一系列穩(wěn)定判據(jù)。

勞斯(Routh)判據(jù)96WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)為避開對特征方程的直接求解§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)特征方程為：穩(wěn)定的必要條件：

ai

>0(i=0,1,2…,n)穩(wěn)定的充分條件：勞斯陣列中第一列所有項>097WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)特征方程為：12WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)一直計算到最后一行算完為止。然后判斷陣列中第一列系數(shù)的符號，若全部>0,則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)，就為特征方程在右半s平面的根數(shù)。98WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)一直計算到最后一行算完為止。然解：滿足必要條件

13-2399WangYu解：滿足必要條件13-2314WangYu-K為何值時，系統(tǒng)穩(wěn)定例2100WangYu-K為何值時，系統(tǒng)穩(wěn)定例215WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)的兩種特殊情況：1、某一行第一個元素為零，而其余各元素均不為零、或部分不為零；

2、某一行所有元素均為零。101WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)的兩種特殊情況：1、某§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

第一列系數(shù)符號改變兩次，系統(tǒng)有兩個右根，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。1011、某一行第一個元素為零102WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)第一列系數(shù)符號改變兩次，系統(tǒng)有§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)02第一列系數(shù)符號無改變，故系統(tǒng)沒有正實部的根。[S]行為0，表明系統(tǒng)有一對共軛虛根，所以，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

103WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)02第一列系數(shù)符號無改變，故系統(tǒng)沒有正§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)2、某一行所有元素均為零由該行的上一行元素來解決：（1）構(gòu)成輔助多項式，并求導(dǎo)，用其系數(shù)代替全為零的行；（2）構(gòu)成輔助方程，并解出這些大小相等但位置徑向相反的特征根。表明在S平面內(nèi)存在大小相等但位置徑向相反的根，即存在兩個大小相等、符號相反的實根和（或）一對共軛虛根。[S]顯然，這些根的數(shù)目一定是偶數(shù)。104WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)2、某一行所有元素均為零由該行的上一行§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)輔助多項式\4\12

第一列符號全為正，說明系統(tǒng)無右根，但有共軛虛根，可由輔助方程解出。輔助方程3

8

8\1\6\800

系統(tǒng)臨界穩(wěn)定105WangYu§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)輔助多項式\4\12作業(yè)：5-1、5-35-4(3)(4)、5-5(3)(4)

106WangYu作業(yè)：5-1、5-321WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程式的根全部具有負(fù)實部。或閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部具有負(fù)實部（位于左半s平面）。回顧107WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：回顧§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-108WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-23WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)109WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)24WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)這一判據(jù)是由H.nyquist首先提出來的。因為在控制系統(tǒng)設(shè)計中，一些元件的數(shù)學(xué)表達(dá)式往往是未知的，僅僅知道它們的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)，所以采用這種穩(wěn)定性分析方法比較方便。由解析的方法、或者由實驗的方法得到的開環(huán)頻率響應(yīng)曲線，都可以用來進(jìn)行穩(wěn)定性分析。因為閉環(huán)系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性可以由開環(huán)頻率響應(yīng)曲線圖解確定，無需實際求出閉環(huán)極點(diǎn)，所以這種判據(jù)在控制工程中得到了廣泛應(yīng)用。110WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)這一判據(jù)是由H.nyquist首先§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)一、米哈伊洛夫定理——證明Nyquist判據(jù)的一個引理111WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)一、米哈伊洛夫定理——證明Nyq§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)證明：先看一次式0112WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)證明：先看一次式027WangY§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)0113WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)028WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)0114WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)029WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)再來研究零點(diǎn)在右半S平面的一次式0115WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)再來研究零點(diǎn)在右半S平面的一次式0§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)0116WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)031WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)117WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)32WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)二、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)1、反饋系統(tǒng)開環(huán)與閉環(huán)的特征方程式-118WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)二、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)1、反饋§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)2、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)0119WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)2、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)034§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)0120WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)035WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)0121WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)036WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)Nyquist判據(jù)又可以敘述為：122WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)Nyquist判據(jù)又可以敘述為：3§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-例6K為何值時,系統(tǒng)穩(wěn)定？0-1123WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-例6K為何值時,系統(tǒng)穩(wěn)定？0-1§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)例7判別系統(tǒng)穩(wěn)定性124WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)例7判別系統(tǒng)穩(wěn)定性39WangY§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-1125WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-140WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)例8126WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)例841WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-10127WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-1042WangYu作業(yè)：5-6(1)(3)、5-10

128WangYu作業(yè)：5-6(1)(3)、5-1043WangY§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的第二種表述129WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的第二種§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)0-1130WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)0-145WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)0-10131WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)0-1046WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

把原點(diǎn)處的開環(huán)極點(diǎn)當(dāng)成左半S平面的極點(diǎn)（即不考慮q)，顯然只需知道開環(huán)在右S平面的極點(diǎn)P即可；

在S平面上做封閉曲線包圍整個右S平面；四、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的第三種表述132WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)把原點(diǎn)處的開環(huán)極點(diǎn)當(dāng)§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-1133WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-148WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)全頻率的Nyquist判據(jù)為：134WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)全頻率的Nyquist判據(jù)為：49§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-1135WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-150WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-1136WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-151WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)全頻率的Nyquist判據(jù)為：137WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)全頻率的Nyquist判據(jù)為：52§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)138WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)53WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-1139WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-154WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-1140WangYu§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)-155WangYu§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性延時環(huán)節(jié)是線性環(huán)節(jié)，機(jī)械工程中許多系統(tǒng)中具有這種環(huán)節(jié)。141WangYu§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、延時環(huán)節(jié)串聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道中時的系統(tǒng)穩(wěn)定性-可見：延時環(huán)節(jié)不改變幅頻特性，僅影響相頻特性。142WangYu§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、延§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性例5-14-帶有延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)不是最小相位系統(tǒng)143WangYu§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性例5-§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性明顯看出，雖然一階、二階系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，但系統(tǒng)中若存在延時環(huán)節(jié)，也可能變?yōu)椴环€(wěn)定。144WangYu§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、延時環(huán)節(jié)并聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道中時的系統(tǒng)穩(wěn)定性--145WangYu§5-5應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、延§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、Nyquist圖與Bode圖的對應(yīng)關(guān)系146WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、Nyquist圖與Bo§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、利用Bode圖判斷穩(wěn)定性穩(wěn)定不穩(wěn)定147WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、利用Bode圖判斷穩(wěn)定：148WangYu：63WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性利用Bode圖判斷使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。Nyquist曲線剛好通過（-1，j0）點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。例5-17149WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性利用Bode圖判斷使系統(tǒng)穩(wěn)§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性150WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性65WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性151WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性66WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性152WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性67WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性求使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界K值忽略忽略153WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性求使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界K值忽略§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性若采用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍154WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性若采用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性注意：利用Nyquist判據(jù)的結(jié)論與利用勞斯判據(jù)的結(jié)論不一致，其原因是Bode圖用的是漸近線，有誤差。只要兩種方法結(jié)論一致。155WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性注意：70WangYu§5-6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性2、普遍情況

負(fù)穿越一次正穿越一次負(fù)穿越半