第二章點、直線、平面之間的位置關系§空間點、直線、平面之間的位置關系平面【課時目標】掌握文字、符號、圖形語言之間的轉化，理解公理1、公理2、公理3，并能運用它們解決點共線、線共面、線共點等問題．1．公理1：如果一條直線上的________在一個平面內，那么________________在此平面內．符號：________________________________．公理2：過________________________________的三點，________________一個平面．3．公理3：如果兩個不重合的平面有________公共點，那么它們有且只有________過該點的公共直線．符號：________________________________．4．用符號語言表示下列語句：(1)點A在平面α內但在平面β外：______________．(2)直線l經過面α內一點A，α外一點B：________________________．(3)直線l在面α內也在面β內：____________．(4)平面α內的兩條直線M、n相交于A：________________________．一、選擇題1．下列命題：①書桌面是平面；②8個平面重疊起來，要比6個平面重疊起來厚；③有一個平面的長是50M，寬是20M；④平面是絕對的平、無厚度，可以無限延展的抽象數學概念．其中正確命題的個數為()A．1B．2C．3D．42．若點M在直線b上，b在平面β內，則M、b、β之間的關系可記作()A．M∈b∈βB．M∈b?βC．M?b?βD．M?b∈β3．已知平面α與平面β、γ都相交，則這三個平面可能的交線有()A．1條或2條B．2條或3條C．1條或3條D．1條或2條或3條4．已知α、β為平面，A、B、M、N為點，a為直線，下列推理錯誤的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MNC．A∈α，A∈β?α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共線?α、β重合5．空間中可以確定一個平面的條件是()A．兩條直線B．一點和一直線C．一個三角形D．三個點6．空間有四個點，如果其中任意三個點不共線，則經過其中三個點的平面有()A．2個或3個B．4個或3個C．1個或3個D．1個或4個二、填空題7．把下列符號敘述所對應的圖形(如圖)的序號填在題后橫線上．(1)Aα，a?α________．(2)α∩β＝a，PD/∈α且Pβ________．(3)a?α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝M，a?α，b?β，a∩b＝A，則直線M與A的位置關系用集合符號表示為________．9．下列四個命題：①兩個相交平面有不在同一直線上的三個公共點；②經過空間任意三點有且只有一個平面；③過兩平行直線有且只有一個平面；④在空間兩兩相交的三條直線必共面．其中正確命題的序號是________．三、解答題10．如圖，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一點，畫出平面SBD和平面SAC的交線，并說明理由．11．如圖所示，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延長線)分別與平面α相交于E，F，G，H，求證：E，F，G，H必在同一直線上．能力提升12．空間中三個平面兩兩相交于三條直線，這三條直線兩兩不平行，證明此三條直線必相交于一點．13．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于點O，AC、BD交于點M，E為AB的中點，F為AA1的中點．求證：(1)C1、O、M三點共線；(2)E、C、D1、F四點共面；(3)CE、D1F、DA三線共點．1．證明幾點共線的方法：先考慮兩個平面的交線，再證有關的點都是這兩個平面的公共點．或先由某兩點作一直線，再證明其他點也在這條直線上．2．證明點線共面的方法：先由有關元素確定一個基本平面，再證其他的點(或線)在這個平面內；或先由部分點線確定平面，再由其他點線確定平面，然后證明這些平面重合．注意對諸如“兩平行直線確定一個平面”等依據的證明、記憶與運用．3．證明幾線共點的方法：先證兩線共點，再證這個點在其他直線上，而“其他”直線往往歸結為平面與平面的交線．第二章點、直線、平面之間的位置關系§2．1空間點、直線、平面之間的位置關系2．1．1平面答案知識梳理1．兩點這條直線A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α2．不在一條直線上有且只有3．一個一條P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l4．(1)A∈α，A?β(2)A∈α，B?α且A∈l，B∈l(3)l?α且l?β(4)M?α，n?α且M∩n＝A作業設計1．A[由平面的概念，它是平滑、無厚度、可無限延展的，可以判斷命題④正確，其余的命題都不符合平面的概念，所以命題①、②、③都不正確，故選A．]2．B3．D4．C[∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．由公理可知α∩β為經過A的一條直線而不是A．故α∩β＝A的寫法錯誤．]5．C6．D[四點共面時有1個平面，四點不共面時有4個平面．]7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈M解析因為α∩β＝M，A∈a?α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α與β的交線M上．9．③10．解很明顯，點S是平面SBD和平面SAC的一個公共點，即點S在交線上，由于AB>CD，則分別延長AC和BD交于點E，如圖所示．∵E∈AC，AC?平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可證E∈平面SBD．∴點E在平面SBD和平面SAC的交線上，連接SE，直線SE是平面SBD和平面SAC的交線．11．證明因為AB∥CD，所以AB，CD確定平面AC，AD∩α＝H，因為H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC與平面α的交線上．同理F、G、E都在平面AC與平面α的交線上，因此E，F，G，H必在同一直線上．12．證明∵l1?β，l2?β，l1l2，∴l1∩l2交于一點，記交點為P．∵P∈l1?β，P∈l2?γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一點．13．證明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，點C1、O、M在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上，∴C1、O、M三點共線．(2)∵E，F分別是AB，A1A的中點，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四點共面．(3)由(2)可知：四點E、C、D1、F共面．又∵EF＝eq\f(1,2)A1B．∴D1F，CE為相交直線，記交點為P．則P∈D1F?平面ADD1A1，P∈CE?平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三線共點．空間中直線與直線之間的位置關系【課時目標】1．會判斷空間兩直線的位置關系．2．理解兩異面直線的定義，會求兩異面直線所成的角．3．能用公理4解決一些簡單的相關問題．1．空間兩條直線的位置關系有且只有三種：______________、________________、________________．2．異面直線的定義________________________________的兩條直線叫做異面直線．3．公理4：平行于同一條直線的兩條直線____________．4．等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應________，那么這兩個角________或________．5．異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經過空間任一點O，作直線a′，b′，使________，________，我們把a′與b′所成的______________叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．如果兩條直線所成的角是________，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直，兩條異面直線所成的角的取值范圍是________．一、選擇題1．分別在兩個平面內的兩條直線間的位置關系是()A．異面B．平行C．相交D．以上都有可能2．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是()A．異面或平行B．異面或相交C．異面D．相交、平行或異面3．分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關系是()A．一定平行B．一定相交C．一定異面D．相交或異面4．空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點的四邊形一定是()A．空間四邊形B．矩形C．菱形D．正方形5．給出下列四個命題：①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；②平行于同一直線的兩直線平行；③若直線a，b，c滿足a∥b，b⊥c，則a⊥c；④若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線．其中假命題的個數是()A．1B．2C．3D．46．如圖所示，已知三棱錐A－BCD中，M、N分別為AB、CD的中點，則下列結論正確的是()A．MN≥eq\f(1,2)(AC＋BD)B．MN≤eq\f(1,2)(AC＋BD)C．MN＝eq\f(1,2)(AC＋BD)D．MN<eq\f(1,2)(AC＋BD)二、填空題7．空間兩個角α、β，且α與β的兩邊對應平行且α＝60°，則β為________．8．已知正方體ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′與CD′所成的角為________；(2)AD與BC′所成的角為________．9．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD．以上結論中正確結論的序號為________．三、解答題10．空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別是BC、AD的中點，求EF與AB所成角的大小．11．已知棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD、AD的中點．求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1．能力提升12．如圖所示，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填序號)．13．正方體AC1中，E、F分別是面A1B1C1D1和AA1DD1的中心，則EF和CD所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．90°1．判定兩直線的位置關系的依據就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．另外，我們解決空間有關線線問題時，不要忘了我們生活中的模型，比如說教室就是一個長方體模型，里面的線線關系非常豐富，我們要好好地利用它，它是我們培養空間想象能力的好工具．2．在研究異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角．將空間問題向平面問題轉化，這是我們學習立體幾何的一條重要的思維途徑．需要強調的是，兩條異面直線所成角的范圍為(0°，90°]，解題時經常結合這一點去求異面直線所成的角的大小．作異面直線所成的角，可通過多種方法平移產生，主要有三種方法：①直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；②中位線平移法；③補形平移法(在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線)．2．1．2空間中直線與直線之間的位置關系答案知識梳理1．相交直線平行直線異面直線2．不同在任何一個平面內3．互相平行4．平行相等互補5．a′∥ab′∥b銳角(或直角)直角(0°，90°]作業設計1．D2．D[異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明a、b異面，直線c的位置可如圖所示．]3．D4．B[易證四邊形EFGH為平行四邊形．又∵E，F分別為AB，BC的中點，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其補角為AC與BD所成的角．而AC與BD所成的角為90°，∴∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形．]5．B[①④均為假命題．①可舉反例，如a、b、c三線兩兩垂直．④如圖甲時，c、d與異面直線l1、l2交于四個點，此時c、d異面，一定不會平行；當點A在直線a上運動(其余三點不動)，會出現點A與B重合的情形，如圖乙所示，此時c、d共面相交．6．D[如圖所示，取BC的中點E，連接ME、NE，則ME＝eq\f(1,2)AC，NE＝eq\f(1,2)BD，所以ME＋NE＝eq\f(1,2)(AC＋BD)．在△MNE中，有ME＋NE>MN，所以MN<eq\f(1,2)(AC＋BD)．]7．60°或120°8．(1)60°(2)45°解析連接BA′，則BA′∥CD′，連接A′C′，則∠A′BC′就是BC′與CD′所成的角．由△A′BC′為正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD與BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．9．①③解析把正方體平面展開圖還原到原來的正方體，如圖所示，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．10．解取AC的中點G，連接EG、FG，則EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角．∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°．由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°．故EF與AB所成的角為15°或75°．11．證明(1)如圖，連接AC，在△ACD中，∵M、N分別是CD、AD的中點，∴MN是三角形的中位線，∴MN∥AC，MN＝eq\f(1,2)AC．由正方體的性質得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．∴MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1，∴四邊形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因為ND∥A1D1，∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補．而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的銳角，∴∠DNM＝∠D1A1C1．12．②④解析①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，∴HG、MN必相交．13．B[連接B1D1，則E為B1D1中點，連接AB1，EF∥AB1，又CD∥AB，∴∠B1AB為異面直線EF與CD所成的角，即∠B1AB＝45°．]空間中直線與平面之間的位置關系平面與平面之間的位置關系【課時目標】1．會對直線和平面的位置關系進行分類．2．會對平面和平面之間的位置關系進行分類．3．會用符號或圖形把直線和平面、平面和平面的位置關系正確地表示出來．1．一條直線a和一個平面α有且僅有________________________三種位置關系．(用符號語言表示)2．兩平面α與β有且僅有________和________兩種位置關系(用符號語言表示)．一、選擇題1．已知直線a∥平面α，直線b?α，則a與b的位置關系是()A．相交B．平行C．異面D．平行或異面2．若有兩條直線a，b，平面α滿足a∥b，a∥α，則b與α的位置關系是()A．相交B．b∥αC．b?αD．b∥α或b?α3．若直線M不平行于平面α，且M?α，則下列結論成立的是()A．α內的所有直線與M異面B．α內不存在與M平行的直線C．α內存在唯一的直線與M平行D．α內的直線與M都相交4．三個互不重合的平面把空間分成6部分時，它們的交線有()A．1條B．2條C．3條D．1條或2條5．平面α∥β，且a?α，下列四個結論：①a和β內的所有直線平行；②a和β內的無數條直線平行；③a和β內的任何直線都不平行；④a和β無公共點．其中正確的個數為()A．0B．1C．2D．36．教室內有一根直尺，無論怎樣放置，在地面上總有這樣的直線與直尺所在的直線()A．異面B．相交C．平行D．垂直二、填空題7．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為AA1和BB1的中點，則該正方體的六個表面中與EF平行的有______個．8．若a、b是兩條異面直線，且a∥平面α，則b與α的位置關系是__________________．9．三個不重合的平面，能把空間分成n部分，則n的所有可能值為______________．三、解答題10．指出圖中的圖形畫法是否正確，如不正確，請改正．(1)如圖，直線a在平面α內．(2)如圖，直線a和平面α相交．(3)如圖，直線a和平面α平行．11．如圖，平面α、β、γ滿足α∥