5.2.2函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)第五章內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)課標(biāo)要求1.掌握函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則;2.理解求導(dǎo)法則的證明過程,能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則設(shè)兩個(gè)函數(shù)f(x),g(x)可導(dǎo),則f'(x)+g'(x)f'(x)-g'(x)

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)名師點(diǎn)睛對(duì)于不具備導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)構(gòu)形式的函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)恒等變形,轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式,再求導(dǎo)數(shù).過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若f'(x)=2x,則f(x)=x2.(

)(2)函數(shù)f(x)=xex的導(dǎo)數(shù)是f'(x)=ex(x+1).(

)(4)函數(shù)f(x)=xlnx的導(dǎo)數(shù)是f'(x)=x.(

)(5)若兩個(gè)函數(shù)不可導(dǎo),那么它們的和、差、積、商一定不可導(dǎo).(

)×√√××2.設(shè)y=-2exsinx,則y'=(

)

A.-2excosxB.-2exsinxC.2exsinxD.-2ex(sinx+cosx)答案

D解析

∵y=-2exsin

x,∴y'=(-2ex)'sin

x+(-2ex)(sin

x)'=-2exsin

x-2excos

x=-2ex(sin

x+cos

x).故選D.答案

C重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例1】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=(x2+1)(x-1);(2)y=3x+lgx;(3)y=x2+tanx;規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的策略1.分析待求導(dǎo)式子符合哪種求導(dǎo)法則,每一部分式子是由哪種基本初等函數(shù)組合成的,確定求導(dǎo)法則、基本公式.2.如果求導(dǎo)式比較復(fù)雜,則需要對(duì)式子先變形再求導(dǎo),常用的變形有乘積式展開變?yōu)楹褪角髮?dǎo)、商式變乘積式求導(dǎo)、三角函數(shù)恒等變換后求導(dǎo)等.3.利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)的原則是盡可能化為和、差,能利用和差的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的,盡量少用積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo).變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=(2x2+3)(3x-1);探究點(diǎn)二求導(dǎo)法則的應(yīng)用角度1用待定系數(shù)法處理求導(dǎo)問題【例2】

設(shè)y=f(x)是二次函數(shù),方程f(x)=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,且f'(x)=2x+1.求y=f(x)的函數(shù)表達(dá)式.解

∵f'(x)=2x+1,∴f(x)=x2+x+c(c為常數(shù)),又方程f(x)=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,即x2+x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,規(guī)律方法

待定系數(shù)法就是用設(shè)未知數(shù)的方法分析所要解決的問題,然后利用已知條件解出所設(shè)未知數(shù),進(jìn)而將問題解決.待定系數(shù)法常用來求函數(shù)解析式,特別是已知具有某些特征的函數(shù).變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)是一次函數(shù),x2·f'(x)-(2x-1)·f(x)=1對(duì)一切x∈R恒成立,求函數(shù)f(x)的解析式.解

由f'(x)為一次函數(shù)可知,f(x)為二次函數(shù),設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f'(x)=2ax+b,把f(x),f'(x)代入方程得x2(2ax+b)-(2x-1)·(ax2+bx+c)=1,即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0,角度2求導(dǎo)法則在導(dǎo)數(shù)幾何意義中的應(yīng)用【例3】

已知函數(shù),且f(x)的圖象在x=1處與直線y=2相切.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若P(x0,y0)為f(x)圖象上的任意一點(diǎn),直線l與f(x)的圖象相切于P點(diǎn),求直線l的斜率k的取值范圍.規(guī)律方法

涉及切點(diǎn)、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、切線方程三個(gè)主要元素時(shí),解題方法為把其他題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為這三個(gè)要素間的關(guān)系,構(gòu)建方程(組)求解.準(zhǔn)確利用求導(dǎo)法則求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解此類問題的關(guān)鍵,務(wù)必做到準(zhǔn)確.變式訓(xùn)練3

本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則;(2)綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù);(3)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用.2.方法歸納:公式法、轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū):對(duì)于函數(shù)求導(dǎo),一般要遵循先化簡(jiǎn)、再求導(dǎo)的基本原則.學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1.(多選題)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(

)答案

BC解析

A中(x+)'=1-,A不正確;D中(x2cos

x)'=2xcos

x-x2sin

x,D不正確;B,C正確.2.已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,則a的值是(

)答案

D解析

∵f'(x)=3ax2+6x,∴f'(-1)=3a-6=4,∴a=.3.若函數(shù)f(x)=f'(-1)x2-2x+3,則f'(-1)=(

)A.-1 B.0C.1 D.2答案

A解析

因?yàn)閒(x)=f'(-1)x2-2x+3,所以f'(x)=f'(-1)x-2.所以f'(-1)=f'(-1)×(-1)-2,所以f'(-1)=-1.4.已知函數(shù)f(x)=ex·sinx,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程是

.

答案

y=x

解析∵f(x)=ex·sin

x,∴f'(x)