4.2一元二次不等式及其解法4.3一元二次不等式的應(yīng)用第一章課標(biāo)要求1.了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.2.能夠借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

一元二次不等式的概念1.定義:一般地,形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx+c≤0(其中,x為未知數(shù),a,b,c均為常數(shù),且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.2.使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫作這個(gè)一元二次不等式的解集.名師點(diǎn)睛1.一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知數(shù),并且這個(gè)未知數(shù)是唯一的,但這并不是說(shuō)不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,則把其他字母看成常數(shù).2.一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知數(shù)的最高次數(shù)必須是2,且最高次項(xiàng)的系數(shù)不為0.過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)mx2-5x>0是一元二次不等式.(

)(2)若m為不為0的實(shí)數(shù),則mx2+5>0是一元二次不等式.(

)×√2.一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略嗎?提示不能,必須保證a≠0.知識(shí)點(diǎn)2

一元二次不等式的解法一元二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:y=ax2+bx+c(a>0)方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根有兩相異實(shí)數(shù)根x1,2=(x1<x2)有兩相等實(shí)數(shù)根x1=x2=-沒(méi)有實(shí)數(shù)根y=ax2+bx+c(a>0)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0不等式ax2+bx+c>0的解集(-∞,x1)∪(x2,+∞)xx≠-R不等式ax2+bx+c<0的解集(x1,x2)??名師點(diǎn)睛一元二次不等式ax2+bx-c>0(a>0)的求解方法,如圖.過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)若a>0,則一元二次不等式ax2+1>0無(wú)解.(

)(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1,x2(x1<x2),則一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|x1<x<x2}.(

)××2.不等式4x2-9<0的解集是

.

重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一一元二次不等式的求解【例1】

解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.(4)因?yàn)閤2-2x+2=0的判別式Δ=4-4×1×2=-4<0,所以方程x2-2x+2=0無(wú)實(shí)數(shù)解.又因?yàn)楹瘮?shù)y=x2-2x+2的圖象是開(kāi)口向上的拋物線,所以原不等式的解集為R.規(guī)律方法

解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn).通過(guò)對(duì)不等式的變形,使不等式的右側(cè)為0,使二次項(xiàng)系數(shù)為正.(2)判別式.對(duì)不等式的左側(cè)進(jìn)行因式分解,若不能分解,則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式.(3)求實(shí)根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說(shuō)明方程無(wú)實(shí)根.(4)畫(huà)圖象.根據(jù)一元二次方程根的情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象.(5)寫(xiě)解集.根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集.變式訓(xùn)練1解下列不等式:(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0;(3)-3x2+5x-4<0;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.解(1)不等式可化為4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線,所以不等式的解集是?.(2)不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根是3和7,且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線,故不等式的解集是{x|3<x<7}.(3)不等式-3x2+5x-4<0可化為3x2-5x+4>0,由于判別式Δ=25-48=-23<0,函數(shù)y=3x2-5x+4的圖象開(kāi)口向上,所以不等式的解集是R.(4)不等式x(1-x)≥x(2x-3)+1可化為3x2-4x+1≤0.因?yàn)榉匠?x2-4x+1=0的兩探究點(diǎn)二分式不等式的求解【例2】

解下列不等式:∴x+2<0,∴x<-2.故原不等式的解集為{x|x<-2}.規(guī)律方法

1.分式的分子、分母同號(hào)時(shí),分式為正;異號(hào)時(shí)為負(fù).轉(zhuǎn)化為整式后分子、分母作為兩因式之積,同樣是同號(hào)時(shí)為正,異號(hào)時(shí)為負(fù).2.分式不等式的解法:先通過(guò)移項(xiàng)、通分整理成標(biāo)準(zhǔn)型

>0(<0)或≥0(≤0),再化成整式不等式來(lái)解.如果能判斷出分母的正負(fù),直接去分母也可.變式訓(xùn)練2解下列不等式:探究點(diǎn)三不等式中的含參類(lèi)問(wèn)題角度1已知不等式的解集求參數(shù)值【例3】

求實(shí)數(shù)a,b的值,使得關(guān)于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分別為:(1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3)[-1,+∞).規(guī)律方法

1.一元二次不等式的解集的端點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根,要充分利用這個(gè)關(guān)系解題.2.不等式解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)有直接的關(guān)系,對(duì)于關(guān)于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),當(dāng)a>0時(shí),其解集是{x|x<x1,或x>x2},當(dāng)a<0時(shí),其解集是{x|x1<x<x2}.變式訓(xùn)練3已知關(guān)于x的不等式x2+ax+b<0的解集為(1,2),求關(guān)于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.解∵關(guān)于x的不等式x2+ax+b<0的解集為(1,2),∴1,2是關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根.角度2含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例4】

解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.規(guī)律方法

解含參數(shù)的一元二次不等式與解不含參數(shù)的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要特別注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用.尤其要注意以下三種類(lèi)型:類(lèi)型一若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù),需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)等于0與不等于0進(jìn)行討論,對(duì)于不等于0的情況再按大于0或小于0進(jìn)行討論類(lèi)型二若不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的情況不確定,需對(duì)其判別式Δ進(jìn)行討論類(lèi)型三若求出的根中含有參數(shù),則應(yīng)對(duì)兩根的大小關(guān)系進(jìn)行討論變式訓(xùn)練4解關(guān)于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R).解由于x2+3ax-4a2<0可化為(x-a)(x+4a)<0,且方程(x-a)(x+4a)=0的兩個(gè)根分別是a和-4a.當(dāng)a=-4a,即a=0時(shí),不等式的解集為?;當(dāng)a>-4a,即a>0時(shí),解不等式為-4a<x<a;當(dāng)a<-4a,即a<0時(shí),解不等式為a<x<-4a.綜上所述,當(dāng)a=0時(shí),不等式的解集為?;當(dāng)a>0時(shí),不等式的解集為{x|-4a<x<a};當(dāng)a<0時(shí),不等式的解集為{x|a<x<-4a}.角度3不等式的恒成立問(wèn)題【例5】

(1)已知不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.(2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí),不等式x2+mx+4<0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)當(dāng)k=0時(shí),原不等式化為-2<0,顯然符合題意.當(dāng)k≠0時(shí),令y=kx2+2kx-(k+2),由y<0恒成立,∴其圖象都在x軸的下方,即開(kāi)口向下,且與x軸無(wú)交點(diǎn).綜上,實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-1,0].(2)令y=x2+mx+4.∵y<0在[1,2]上恒成立,∴y=0的根一個(gè)在(-∞,1)上,另一個(gè)在(2,+∞)上.規(guī)律方法

1.如圖①,一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集為R?一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象恒在x軸上方?ymin>0?圖①

圖②

2.如圖②,一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集為R?一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象恒在x軸下方?ymax<0?3.含參數(shù)的一元二次不等式在某一區(qū)間上恒成立問(wèn)題,求解時(shí)主要有兩種方法:一種是將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題;另一種是利用一元二次不等式根的分布及數(shù)形結(jié)合思想求解.變式訓(xùn)練5若不等式-x2+2x+3≤a2-3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解∵-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4,-x2+2x+3≤a2-3a對(duì)任意x恒成立,∴a2-3a≥4,即a2-3a-4≥0.解得a≤-1或a≥4.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1]∪[4,+∞).探究點(diǎn)四一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用【例6】

行駛中的汽車(chē),在剎車(chē)時(shí)由于慣性作用,要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下,這段距離叫作剎車(chē)距離.在某種路面上,某種型號(hào)汽車(chē)的剎車(chē)距離s(單位:m)與汽車(chē)的車(chē)速v(單位:km/h)滿足下列關(guān)系:(1)求n的值;(2)要使剎車(chē)距離不超過(guò)12.6m,則行駛的最大速度是多少?規(guī)律方法

用一元二次不等式解決實(shí)際問(wèn)題的操作步驟(1)理解題意,搞清量與量之間的關(guān)系.(2)建立相應(yīng)的不等關(guān)系,把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問(wèn)題.(3)解一元二次不等式,得到實(shí)際問(wèn)題的解.變式探究本例中,條件不變,若該型號(hào)的汽車(chē)在某一限速為80km/h的路段發(fā)生了交通事故,交警進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)勘查,測(cè)得該車(chē)的剎車(chē)距離超過(guò)了25.65m,試問(wèn)該車(chē)是否超速行駛?解由題意知s>25.65,即

>25.65,即v2+24v-10

260>0,解得v>90或v<-114.由于v≥0,所以該車(chē)當(dāng)時(shí)的速度v>90>80,因此該車(chē)超速行駛.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)解一元二次不等式的常見(jiàn)方法;(2)與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問(wèn)題;(3)利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化、恒等變形.3.常見(jiàn)誤區(qū):忽略二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào);利用一元二次不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意實(shí)際意義.學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1.不等式x2-9<0的解集為(

)A.{x|x<-3} B.{x|x<3}C.{x|x<-3,或x>3} D.{x|-3<x<3}答案D

解析

由x2-9<0,可得x2<9,解得-3<x<3.2.若不等式4x2+ax+4>0的解集為R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-16,0) B.(-16,0]C.(-∞,0) D.(-8,8)答案D

解析

∵不等式4x2+ax+4>0的解集為R,∴Δ=a2-4×4×4<0,解得-8<a<8,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,8),故選D.3.(2022云南麗江第一高級(jí)中學(xué)期末)已知a,b為實(shí)數(shù),若關(guān)于x的