8.6.3平面與平面垂直（3）——二面角lABβα．P．Q

從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．二面角的記法：①二面角α-AB-β；②二面角P-AB-Q；③二面角α-l-β或P-l-Q．

在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角．

二面角的大小用它的平面角來度量.

二面角的平面角θ的取值范圍為0o≤θ≤180o．1.求二面角大小的步驟：(1)作—作出平面角；(2)證—明所作的角滿足定義，即為所求二面角證的平面角；(3)求—將作出的角放在三角形中，計算出平面角的大小.簡稱為“一作二證三求解”.2.作出二面角的平面角的方法：方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個特殊點O，在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線OA，OB.如圖所示，∠AOB為二面角α--a--β的平面角．解

取AB的中點D，連接VD，CD，∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB為等邊三角形，∴∠VDC為二面角V－AB－C的平面角，而△VDC是等邊三角形，∠VDC＝60°，∴二面角V－AB－C的大小為60°.例1

在三棱錐V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝

，求二面角V－AB－C的大小.D90°OBPCA

練習2

如圖所示，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，E為棱CC'中點，求二面角A'-BD-E的大小．例2

如圖，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=3，

AB=2，AC=求二面角P-BC-A的余弦值.方法二：(垂線法)在一個平面內選一點A向另一平面作垂線AB，垂足為B，再過點B向棱a作垂線BO，垂足為O，連結AO，則∠AOB就是二面角的平面角.AOaABPCDB解：例2

如圖，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=3，

AB=2，AC=求二面角P-BC-A的余弦值.ABPCD過點A作AD⊥BC，垂足為D，連接PD.∴BC⊥平面PAD.∴BC⊥PD.∴PA⊥BC.又PD∩AD=D，∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴∠PDA是二面角P-BC-A的平面角.在Rt△ABC中易得BC=4.解得AD=在Rt△PAD中易得PD=∴cos∠PDA=∴二面角P-BC-A的余弦值為.OABPC取AB的中點為E，連PE，OE∵O為AC中點，∠ABC=90o∴OE∥BC且

OEBC在Rt△POE中，OE

，PO∴∴所求的二面角P-AB-C的正切值為∴∠PEO為二面角P-AB-C的平面角在Rt△PBE中，BE，PB=1，PEOE⊥AB，因此PE⊥ABE解：EOP練習3

如圖，三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜邊AC的中點O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。練習4E練習5

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，且平面PAB⊥平面ABCD．PA=PB=AB=2，求二面角P-AC-B的余弦值．方法三：(垂面法)過棱上一點O作垂直于棱的平面γ，該平面與二面角的兩個半平面產生交線，這兩條交線所成的角即為二面角的平面角．

如圖所示，∠AOB為二面角α--l--β的平面角．方法三：(垂面法)過棱上一點O作垂直于棱的平面γ，該平面與二面角的兩個半平面產生交線，這兩條交線所成的角即為二面角的平面角．