1.1集合的概念知識整合一、集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性．二、元素與集合的關系：屬于()或不屬于()．三、集合的表示法：自然語言法，列舉法、描述法．四、正整數集和自然數集表示方法的區別：正整數集N*或N＋，為1,2,3，…；自然數集N，為0,1,2,3，…，這是集合的高頻考點，注意二者的區別。五、集合元素的三個特征中，元素的互異性應用的尤為廣泛，解題過程中，一定要時刻注意集合元素的這個特征，在解題前以及解題后都要充分考慮到集合元素的互異性，該檢驗的檢驗，該舍的舍掉。六、新定義題型是集合命題中的一個熱點，此類題目首先會給出一個概念，然后利用集合為解題的工具，通過探究的形式解決一個提出的問題，從而考查學生正確理解題意，解決創新問題的能力。七、根據元素與集合之間的關系求參數的值或其取值范圍，一般先把集合化簡，然后利用數形結合的思想方法解決問題。八、有些題目是用描述法給出的集合，要求用列舉法表示該集合，若解方程的結果有字母參數，則需對參數進行分類討論。九、數集與點集的區分是高頻考點，也是易錯考點，注意數集用數字來表示元素，點集用有序數對來表示元素。十、集合的解答題常與一元二次方程結合起來考查，解決這類型問題要注意分類討論，若二次項系數含有參數，則首先討論二次項系數，另外，在二次項系數不為0的情況下，還需根據題意對方程的判別式進行討論。最后再歸納總結。1.1集合的概念題型一、集合與元素的含義1．下面給出的四類對象中，構成集合的是（

）A．某班視力較好的同學 B．長壽的人 C．的近似值 D．倒數等于它本身的數2．（多選）給出下列說法，其中正確的有（）A．中國的所有直轄市可以構成一個集合；B．高一（1）班較胖的同學可以構成一個集合；C．正偶數的全體可以構成一個集合；D．大于2011且小于2016的所有整數不能構成集合．3．下列關于集合的說法正確的有（

）①很小的整數可以構成集合；②集合與集合是同一個集合；③1，2，，0.5，這些數組成的集合有5個元素．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個4．下列說法中正確的是（

）A．與定點A，B等距離的點不能構成集合B．由“title”中的字母構成的集合中元素的個數為5C．一個集合中有三個元素a,b,c，其中a,b,c是的三邊長，則不可能是等邊三角形D．高中學生中的游泳能手能構成集合5．下面有四個語句:①集合N*中最小的數是0;②-a?N，則a∈N;③a∈N，b∈N，則a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有兩個元素.其中說法正確的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．（多選）以下元素的全體能夠構成集合的是（

）A．中國古代四大發明 B．地球上的小河流C．方程的實數解 D．周長為10cm的三角形題型二、集合中元素的三個特征1．若以集合的四個元素為邊長構成一個四邊形，則這個四邊形可能是（

）A．矩形 B．平行四邊形C．梯形 D．菱形2．已知集合，則A中元素的個數為（

）A．9 B．8 C．5 D．43．下列四組集合中表示同一集合的為（

）A．，B．，C．，D．，4．用“book”中的字母構成的集合中元素個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．下面四個命題正確的個數是（

）.①集合中最小的數是1；②若，則；③若，則的最小值是2；④的解集是.A．0 B．1 C．2 D．3題型三、元素與集合的關系1．下列關系中正確的個數是（

）①，②，

③，

④A． B． C． D．2．下列關系中，正確的是（

）A．-2N+ B．Z C．πQ D．5N3．用符號“∈”或“?”填空：1____N，－3____N，___Q，___N，1__Z，－3___Q，0___Z，___R，0___N*，π___R，___Q，___Z．4．已知集合，則（

）A． B． C． D．5．給出下列關系：①；②；③；④；⑤．其中正確的個數為（

）．A．1 B．2 C．3 D．46．（多選）已知x，y為非零實數，代數式的值所組成的集合為，則下列判斷錯誤的是（

）A． B． C． D．題型四、常見數集的表示1．下列常數集表示正確的是()A．實數集R B．整數集Q C．有理數集N D．自然數集Z2．下列說法中，正確的個數是（）①集合N與集合N+是同一個集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素。A.1B.2C.3D.4題型五、集合的表示方法1．方程的所有實數根組成的集合為（）A． B． C． D．2．集合用列舉法表示是（

）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}3．用列舉法表示下列集合：（1）不大于10的非負偶數組成的集合；（2）方程x2＝2x的所有實數解組成的集合；（3）直線y＝2x＋1與y軸的交點所組成的集合；（4）由所有正整數構成的集合．4．集合，用列舉法可以表示為_________．5．表示方程的根的集合，用列舉法可以表示為______，用描述法可表示為______.6．（多選）下列正確表示方程組的解集的是（

）A． B． C． D．7．用描述法表示下列集合．（1）小于5的正有理數組成的集合：______；（2）平面直角坐標系中第一、三象限角平分線上的所有點組成的集合：______；（3）偶數集：______；（4）拋物線上的所有點組成的集合：______．8．選擇適當的方法表示下列集合：(1)不小于1且不大于17的質數組成的集合A；(2)所有正奇數組成的集合B；(3)絕對值不大于3的所有整數組成的集合C；(4)直角坐標平面上，拋物線上的點組成的集合D．題型六、集合的新定義運算1.設集合則中的元素個數為（）(A)3(B)4(C)5(D)62．定義集合且.已知集合，，則（

）A． B．C． D．3．已知集合，，則集合中元素個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．54．已知集合，，則集合B中元素的個數是（

）A．1 B．4 C．3 D．25．對于數集M?N，定義，，若集合，則集合中所有元素之和為___________.6．設非空數集同時滿足條件：①中不含元素；②若，則，則下列結論不正確的個數是__________個.（1）集合中至多有2個元素；（2）集合中至少有4個元素；（3）集合中有且僅有4個元素；（4）集合中至多有4個元素.題型七、利用集合相關知識求參數的值或取值范圍1．已知集合，若集合A中只有一個元素，則實數a的取值的集合是______2．已知集合，且，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知，若集合A中恰好有5個元素，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（多選）已知集合至多有一個元素，則實數的值可以是（

）A． B． C． D．5．若集合不含有任何元素，則實數a的取值范圍是________．6．已知集合，A中至少有一個元素，則的取值范圍是_____________.7．若集合.（1）若，求的值；（2）若，求的值．8．設，，已知，，求的值．9．已知集合．(1)若集合A只有一個元素，求實數a的值；(2)用列舉法表示集合A．10．已知集合有三個元素：，，，集合也有三個元素：，，.（1）若，求的值；（2）若，求實數的值；11．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．（1）若集合A中只有一個元素，求實數a的值；（2）若集合A中至少有一個元素，求實數a的取值范圍；（3）若集合A中至多有一個元素，求實數a的取值范圍．1.1集合的概念答案題型一、集合與元素的含義1、【答案】D【詳解】對于A，視力較好不是一個明確的定義，故不能構成集合；對于B，長壽也不是一個明確的定義，故不能構成集合；對于C，的近似值沒有明確近似到小數點后面幾位，不是明確的定義，故不能構成集合；對于D，倒數等于自身的數很明確，只有1和-1，故可以構成集合；故選：D.2、【答案】AC【詳解】中國的所有直轄市可以構成一個集合，A正確；高一（1）班較胖的同學不具有確定性，不能構成集合，B錯誤；正偶數的全體可以構成一個集合，C正確；大于2011且小于2016的所有整數能構成集合，D錯誤.故選：AC.3、【答案】A【詳解】很小的整數可以構成集合是錯誤的，不滿足元素的確定性，故①錯誤．集合表示y的取值范圍，而表示的集合為函數圖象上的點，所以不是同一集合，故②錯誤．1，2，，0.5，這些數組成的集合有3個元素，而不是5個元素，故③錯誤．故選：A．4、【答案】C【詳解】對于A：與定點A，B等距離的點在線段的中垂線上，故可以組成集合，即A錯誤；對于B：由集合元素的互異性可知，由“title”中的字母構成的集合中元素的個數為4，故B錯誤；對于C：因為集合的元素具有互異性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等邊三角形，即C正確；對于D：游泳能手模棱兩可，不具有確定性，故D錯誤；故選：C5、【答案】A【詳解】因為N*是不含0的自然數，所以①錯誤;取a=，則-?N，?N，所以②錯誤;對于③，當a=b=0時，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③錯誤;對于④，解集中只含有元素1，故④錯誤.故選：A6、【答案】ACD【詳解】首先互異性是保證的，其次考慮確定性：中國古代四大發明是確定的，能構成集合，地球上的小河流的標準不確定，即一條河流沒有標準判斷它是不是小河流，不能構成集合，方程的實數解只有兩個1和，能構成集合，周長為10cm的三角形是確定，三角形的周長要么等于10cm，要么不等于10cm，是確定的，能構成集合．故答案為：ACD．題型二、集合中元素的三個特征1、【答案】C【詳解】由題意，集合的四個元素為邊長構成一個四邊形，根據集合中元素的互異性，可得四個元素互不相等，以四個元素為邊長構成一個四邊形，結合選項，只能為梯形.故選：C.2、【答案】A【詳解】由，得，，又，，所以，，易知與的任意組合均滿足條件，所以A中元素的個數為.故選：A.3、【答案】B【詳解】對A，兩個集合中元素對應的坐標不同，則A不正確；對B，集合中的元素具有無序性，兩個集合是同一集合，故B正確；對C，兩個集合研究的對象不同，一個是點集，一個是數集，則C不正確；對D，是數集，是點集，則D不正確．故選：B．4、【答案】C【詳解】“book”中的字母構成的集合為，有3個元素，故選：C5、【答案】C【詳解】是正整數集，最小的正整數是1，故①正確；當時，，但，故②錯誤；若，則a的最小值為1.又，則b的最小值為1，當a和b都取最小值時，取最小值2，故③正確；由集合中元素的互異性知④錯誤.故選：C題型三、元素與集合的關系1、【答案】B【詳解】①錯誤②正確③錯誤④正確，故選：B2、【答案】C【詳解】對于A，-2是負整數，則-2N+，A錯誤；對于B，是分數，則Z，B錯誤；對于C，π是無理數，則πQ，C正確；對于D，5是正整數，則5N，D錯誤；故選：C3、【答案】

∈

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∈

?【詳解】表示自然數集；表示正整數集；表示整數集；表示有理數集；表示實數集.故答案為：；；；；；；；；；；；.4、【答案】D【詳解】由集合，即集合是所有的偶數構成的集合.所以，，，，故選：D5、【答案】B【詳解】和是正確的；①②正確；因為，故③是錯誤的；因為故④是錯誤的；故⑤是錯誤的．故選：B.6、【答案】AB【詳解】當x，y都大于零時，；當x，y中一個大于零，另一個小于零時，；當x，y都小于零時，．根據元素與集合的關系，可知，，，．故選：AB．題型四、常見數集的表示1、【答案】A【詳解】因為表示整數集，表示有理數集，表示實數集，表示自然數數集，所以A正確，故選A.2、B題型五、集合的表示方法1、【答案】C【詳解】由，解得或，所以方程的所有實數根組成的集合為；故選：C2、【答案】D【詳解】由題知，故選：D3、【答案】（1）{0，2，4，6，8，10}；（2）{0，2}；（3）{(0，1)}；（4）{1，2，3，…}．【詳解】（1）因為不大于10是指小于或等于10，非負是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負偶數集是{0，2，4，6，8，10}．（2）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解組成的集合為{0，2}．（3）將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點是(0，1)，故交點組成的集合是{(0，1)}．（4）正整數有1，2，3，…，所求集合為{1，2，3，…}．4、【答案】##【詳解】因為，所以，可得，因為，所以，集合．故答案為：5、【答案】

##

（答案不唯一）【詳解】由，得，解得，或，所以方程根的集合用列舉法可以表示為，用描述法可表示為（答案不唯一）故答案為：，（答案不唯一）6、【答案】BD【詳解】由，解得，所以該方程組的解集為或.故選BD．7、【答案】

【詳解】（1）由描述可得：集合為.（2）第一、三象限角平分線上的所有點都在上，故集合為.（3）由偶數可表示為，故集合為.（4）由描述知：集合為.故答案為：，，，.8、【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)不小于1且不大于17的質數有，用列舉法表示：；(2)所有正奇數有無數個，用描述法表示：；(3)絕對值不大于3的所有整數只有，用列舉法表示：；(4)直角坐標平面上，拋物線上的點，用描述法表示：．題型六、集合的新定義運算1、B2、【答案】C【詳解】因為，，所以，故選：C3、【答案】C【詳解】因為，，所以或或或，故，即集合中含有個元素；故選：C4、【答案】B【詳解】因為，，所以，即集合B中的元素有，，，共4個，故選：B．5、【答案】##11.5【詳解】,，,,,3,，,3,4,1,，元素之和為，故答案為：.6、【答案】3【詳解】因為若，則，所以，，則；當時，4個元素中，任意兩個元素都不相等，所以集合M中至少有4個元素．故可判斷出（1）錯誤，（2）正確，（3）錯誤，（4）錯誤，故答案為：3.題型七、利用集合相關知識求參數的值或取值范圍1、【答案】【詳解】當時，只有一個解，則集合有且只有一個元素，符合題意；當時，若集合A中只有一個元素，則一元二次方程有二重根，即，即綜上，或，故實數a的取值的集合為故答案為：2、【答案】C【詳解】由題意可得，解得，故選：C3、【答案】D【詳解】由題意可知，可得.故選：D4、【答案】BCD【詳解】集合至多有一個元素，即方程至多一個解，時，解為，符合；時，由得：，結合選項可知BCD符合，故選：