第二十章成本最小化成本最小化假如廠商在給定產出水平y

0

的前提下，以最小可能總成本生產，那么廠商是一個成本最小化的。c(y)表示生產y單位產出的廠商最小可能總成本c(y)為廠商的總成本函數。成本最小化當廠商面對給定的投入要素價格w

=

(w1,w2,…,wn)

，總成本函數可以寫成c(w1,…,wn,y)。成本最小化問題假設廠商使用兩中要素來生產一種產品生產函數為：y

=

f(x1,x2).產出水平y

0

給定。給定價格水平w1

和w2,投入束(x1,x2)的成本為：w1x1

+w2x2.成本最小化問題對于給定的w1,w2

和y,廠商成本最小化問題就是解如下方程：min

w

x

w

xx1,x2

0

1

1

2

2stf

(x1,

x2

)

y.成本最小化問題在最小成本投入束中的要素投入量x1*(w1,w2,y)和x1*(w1,w2,y)為廠商對于投入要素1和2的條件需求函數。生產y單位產出時的最小可能總成本為：1

1c(

w1,

w2

,

y)

w

x*(

w1,

w2

,

y)

w2x*

(

w ,

w ,

y).2

1

2投入要素的條件需求給定w1,w2

和y,最小成本投入束位于何處？總成本函數如何計算？等成本線一條包含成本為定值的所有投入束稱為等成本曲線。例如，給定w1

和w2,$100的等成本線方程為：w1x1

w2x2

100.斜率為-w1/w2.w2w2x2

w1

x1

c

.等成本線一般來說，給定w1

和w2,總成本為$c的等成本線方程為：w1x1

w2x2

c等成本線x2c”

w1x1+w2x2c’

w1x1+w2x2c’

<c”x1等成本線x2x1斜率=-w1/w2.c”

w1x1+w2x2c’

w1x1+w2x2c’

<c”y’單位產出的等產量線x2f(x1,x2)

y’x1所有的投入束都能產生y’單位的產出。哪一個是最便宜的?成本最小化問題x2f(x1,x2)

y’x1所有的投入束都能產生y’單位的產出。哪一個是最便宜的?成本最小化問題x2所有的投入束都能產生y’單位的產出。哪一個是最便宜的?f(x1,x2)

y’x1成本最小化問題x2所有的投入束都能產生y’單位的產出。哪一個是最便宜的?f(x1,x2)

y’x1成本最小化問題x2所有的投入束都能產生y’單位的產出。哪一個是最便宜的?x2*f(x1,x2)

y’x1x1*x2成本最小化問題一個

的成本最小化投入束滿足：1

2(a)

f

(x*,

x*

)

yx2*f(x1,x2)

y’x1x1*x2成本最小化問題一個

成本最小化投入束滿足：且(b)等成本線=等產量線的斜率1

2(a)

f

(x*,

x*

)

yx2*f(x1,x2)

y’x1x1*x2成本最小化問題一個

成本最小化投入束滿足：且(b)等成本線=等產量線的斜率1

2(a)

f

(x*,

x*

)

yw2

MP21

2

w1

TRS

MP1

at

(x*,

x*

).x2*f(x1,x2)

y’x1x1*成本最小化的-例子廠商的

-生產函數為：投入要素的價格為w1

和w2.廠商的條件投入要素需求函數為什么？1

2y

f

(x1,

x2

)

x1/3x2/3

.成本最小化的

-

例子生產y單位產出的最小化成本的投入束滿足：(x1*,x2*)(a)1y

(x*

)1/3

(x*且(b)

w1

w2成本最小化的-例子w1w21x*2x*2

.(a)

y

(x*

)1/3

(x*

)2/31

2(b)成本最小化的-例子w1w21x*2x*2

.(a)

y

(x*

)1/3

(x*

)2/31

2(b)由(b)可得w22

1x*

2w1

x*.成本最小化的-例子w1w21x*2x*2

.(a)

y

(x*

)1/3

(x*

)2/31

2(b)由(b)可得w22

1x*

2w1

x*.將其代入(a)

中可得

wy

(x1

)2x1*

2/3*

1/3

2w1成本最小化的-例子w1w21x*2x*2

.(a)

y

(x*

)1/3

(x*

)1

2(b)由(b)可得w22

1x*

2w1

x*.將其代入(a)

中可得y( *

1成本最小化的-例子w1w21x*2x*2

.(a)

y

(x*

)1/3

(x*

)1

2(b)由(b)可得w22

1x*

2w1

x*.將其代入(a)

中可得y( *

111*x

w

2

2/3

2w

因此y

為廠商對于要素1的條件需求函數成本最小化的-例子xw222w1**

x1y11*x

2w

w

2

2/3為要素2的條件需求函數由于且xy22

12*2w1

w2

2/3w

2w

y

w

2w1

1/3例子成本最小化的

-因此產出為y的最小成本投入束為：1

1

2

2

1

2**x

(

w,

w

,

y),

x

(

w

,

w

,

y)y,

2w1

1/3

w

2

w

2

2/3

2w1y

.x1固定w1

和w2.x2要素投入的條件需求函數yyyx2x1固定w1

和w2.要素投入的條件需求函數1x*(y)2x*

(y)yyyy2x*

(y)1x*(y)2x*1x*yyyx2x1固定w1

和w2.要素投入的條件需求函數1x*(y)*2x*

(y)2x*

(y)yyyyy*x2(y)2x*

(y)*1x*(y)2x1(y)x1(y)x*1x*yyyyx2x1固定w1

和w2.要素投入的條件需求函數1x*(y)*x2(y)1x*(y)*2x*

(y)2x*

(y)yyy*x2(y)2

2x*

(y)

x*

(y)1x*(y)*1x*(y)2x1(y)x1(y)x*1x*yy

y

yyyyyx2x1固定w1

和w2.要素投入的條件需求函數1x*(y)*x2(y)1x*(y)*2x*

(y)2x*

(y)產出擴張路線yyy*x2(y)2

2x*

(y)

x*

(y)1x*(y)*1x*(y)2x1(y)x1(y)x*1x*yy

y

yyyyyx2x1固定w1

和w2.要素投入的條件需求函數1x*(y)*x2(y)1x*(y)*2x*

(y)2x*

(y)產出擴張路線yyy*x2(y)2

2x*

(y)

x*

(y)1x*(y)*1x*(y)要素2的條件需求要素1的條件需求2x*1x*yy

y

yyyyyx1(y)x1(y)成本最小化的-例子對于生產函數：產出為y的最小成本投入束為：

1

1

2

2

1

2

*

*x

(

w

,

w

,

y),

x

(

w,

w

,

y)y,

2w1

1/3

w

2

w

2

2/3

2w1y

.1

2y

f

(x1,

x2

)

x1

/

3x2

/

3成本最小化的-例子廠商的總成本函數為：c(

w1,

w2

,

y)

w1x*(

w

,

w1

1

2,

y)

w2x*

(

w

,

w

,

y)2

1

2成本最小化的-例子廠商的總成本函數為：y112,

y)

w2x*

(

w

,

w

,

y)2

1

2

wc(

w1,

w2

,

y)

w1x*(

w

,

w1

1

2

w2

2/3

2w

y

w2

w

2w1

1/3成本最小化的-例子廠商的總成本函數為：c(

w1,

w成本最小化的-例子廠商的總成本函數為：成本最小化的完全互補品的例子廠商的生產函數為：y

min{4x1,

x2

}.給定投入要素價格w1

和w2

。廠商對于要素1和2的條件需求為多少？廠商的中成本函數為什么？成本最小化的完全互補品的例子x2x1min{4x1,x2}

y’4x1

=

x2成本最小化的完全互補品的例子x2x14x1

=

x2min{4x1,x2}

y’成本最小化的完全互補品的例子x2x14x1

=

x2min{4x1,x2}

y’產出為y’的最小成本投入束位于何處？成本最小化的完全互補品的例子x1x2x1*=y/4x2*

=

y4x1

=

x2min{4x1,x2}

y’產出為y’的最小成本投入束位于何處？成本最小化的完全互補品的例子廠商的生產函數為：y

min{4x1,

x2

}條件要素需求函數為：1

1

242

1

2x*(

w

,

w

,

y)

y

x*

(

w

,

w

,

y)

y.且成本最小化的完全互補品的例子廠商的生產函數為：y

min{4x1,

x2

}條件要素需求函數為：1

1

242

1

2x*(

w

,

w

,

y)

y

x*

(

w

,

w

,

y)

y.且廠商的總成本函數為：1

1c(

w1,

w2

,

y)

w

x*(

w1,

w2

,

y)

w2x*

(

w

,

w

,

y)2

1

2成本最小化的完全互補品的例子廠商的生產函數為：y

min{4x1,

x2

}條件要素需求函數為：1

1

242

1

2x*(

w

,

w

,

y)

y

x*

(

w

,

w

,

y)

y.且廠商的總成本函數為：1

14c(

w1,

w

2

,

y)

w

x*(

w1,

w

2

,

y)

w

2x*

(

w

,

w

,

y)2

1

2

4

w1

y

w

2y

w1

w

2

y.平均總成本對于正的產出水平y,廠商生產y單位產出的平均總成本為：yAC(

w1,

w2

,

y)

c(

w1,

w2

,

y)

.規模與平均總成本廠商技術的規模

決定著平均成本如何隨著產出改變。廠商暫時生產y’單位產出。假如廠商生產2y’單位產出，廠商的平均成本會如何變化？不變規模

與平均總成本假如廠商的技術為不變規模

，那么產出加倍時要求要素投入也加倍。不變規模

與平均總成本假如廠商的技術為不變規模

，那么產出加倍時要求要素投入也加倍。總成本也加倍。不變規模

與平均總成本假如廠商的技術為不變規模

，那么產出加倍時要求要素投入也加倍。總成本也加倍。平均總成本不變。遞減的規模

與平均總成本加入一個廠商的技術是規模

遞減的，產出加倍時要求投入要素投入量超過兩倍。遞減的規模

與平均總成本加入一個廠商的技術是規模

遞減的，產出加倍時要求投入要素投入量超過兩倍。總成本增加超過一倍。遞減的規模

與平均總成本加入一個廠商的技術是規模

遞減的，產出加倍時要求投入要素投入量超過兩倍。總成本增加超過一倍。平均生產成本上升。遞增的規模與平均總成本如果廠商的技術為規模遞增的，那么產出加倍時要求投入要素的增加量少于加倍量。遞增的規模與平均總成本如果廠商的技術為規模遞增的，那么產出加倍時要求投入要素的增加量少于加倍量。總成本增加少于一倍。遞增的規模與平均總成本如果廠商的技術為規模遞增的，那么產出加倍時要求投入要素的增加量少于加倍量。總成本增加少于一倍。平均生產成本下降。規模與平均總成本y$/產出不變規模下降的規模遞增的規模AC(y)規模

與總成本這對總成本函數意味著什么？規模

與總成本$c(y’)c(2y’)斜率=c(2y’)/2y’=

AC(2y’).斜率=c(y’)/y’=

AC(y’).假如廠商技術為規模

遞減的，平均成本隨著產出增加而上升。yy’2y’規模

與總成本$c(y’)c(2y’)斜率=c(2y’)/2y’=

AC(2y’).斜率=c(y’)/y’=

AC(y’).假如廠商技術為規模

遞減的，平均成本隨著產出增加而上升。c(y)yy’2y’規模

與總成本$c(y’)c(2y’)斜率=c(2y’)/2y’=

AC(2y’).斜率=c(y’)/y’=

AC(y’).假如廠商技術為規模

遞增的，平均成本隨著產出增加而下降。yy’2y’規模

與總成本$c(y’)c(2y’)斜率=c(2y’)/2y’=

AC(2y’).斜率=c(y’)/y’=

AC(y’).假如廠商技術為規模

遞增的，平均成本隨著產出增加而下降。c(y)yy’2y’規模

與總成本$c(y’)c(2y’)=2c(y’)c(y)斜率=c(2y’)/2y’=2c(y’)/2y’=c(y’)/y’因此AC(y’)

=

AC(2y’).假如廠商技術為規模

不變的，平均成本不受產出影響。yy’2y’短期與長期總成本長期來看所有投入要素均可改變。假設廠商不能改變投入要素2的投入量x2’生產y單位產出長期與短期總成本相比有什么特點？短期與長期總成本長期成本最小化問題為：短期成本最小化問題為：minx1,x2

0stw1x1

w2x2f

(x1,

x2

)

y.min

w1x1

w2x2x10stf

(x1,

x2

)

y.短期與長期總成本短期成本最小化問題就是就是在約束條件x2

=x2’.下的長期成本最小化問題。假如長期對于x2的選擇為x2’，那么x2

=x2’就不成為長期約束條件。因此產出為y時的長期和短期總成本是一樣的。短期與長期總成本短期成本最小化問題就是就是在約束條件x2

=x2’.下的長期成本最小化問題。假如長期選擇x2

x2”，那么約束條件x2

=x2”使得廠商在短期無法將成本降至長期時的生產成本，使得產出為y時的短期總成本超過長期總成本。短期與長期總成本xx12yyy考慮三個產出水平短期與長期總成本x2x1yyy從長期來看，當廠商能夠同時選擇要素1和21

2的投入量x

和x

時，最小成本投入束為：短期與長期總成本x2yx2

x2

x2yy長期產出擴張線x1x1x1x1短期與長期總成本x2yyy長期產出擴張線x2

x2

x2長期成本為：c(

y)

w1x1

w2x2c(

y)

w1x1

w2x2c(

y)

w1x1

w2x2x1x1x1x1短期與長期總成本假設廠商的短期約束條件為x2

=x2”。短期與長期總成本x2yyyx2

x2

x2短期產出擴張線x1x1x1x1長期成本為：c(

y)

w1x1

w2x2c(

y)

w1x1

w2x2c(

y)

w1x1

w2x2短期與長期總成本x2yyyx2

x2

x2短期產出擴張線x1x1x1x1長期成本為：c(

y)

w1x1

w2x2c(

y)

w1x1

w2x2

c(

y)

w1x1

w2x2短期與長期總成本x2yyyx2

x2

x2短期產出擴張線x1x1x1x1長期成本為：c(

y)

w1x1

w2x2c(

y)

w1x1

w2x2c(

y)

w1x1

w2x2短期成本為：cs(

y)

c(

y)