第11講導數在研究函數中的應用[

考綱]了解函數單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間(其中多項式函數一般不超過三次)．了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值(其中多項式函數一般不超過三次)；會求閉區間上函數的最大值、最小值(其中多項式函數一般不超過三次).知識梳理1．函數的導數與單調性的關系函數y＝f(x)在某個區間內可導，則(1)若f′(x)>0，則f(x)在這個區間內

單調遞增．

(2)若f′(x)<0，則f(x)在這個區間內

單調遞減．(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個區間內是常數函數．2．函數的極值與導數極大值函數y＝f(x)在點x0處連續且f′(x0)＝0，若在點x0附近左側f′(x)>0，

右側f′(x)<0，則x0為函數的極大值點，f(x0)叫函數的極大值極小值函數y＝f(x)在點x0處連續且f′(x0)＝0，若在點x0附近左側

f′(x)<0

，右側f′(x)>0

，則x0為函數的極小值點，f(x0)叫函數的極小值函數的最值與導數函數f(x)在[a，b]上有最值的條件如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條

連續不斷

的曲線，那么它必有最大值和最小值．求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟①求函數y＝f(x)在(a，b)內的

極值

．②將函數y＝f(x)的各極值與

端點處的函數值f(a)，f(b)

比較，其中最大的一個是最大值，

最小的一個是最小值．辨析感悟導數與單調性的關系f′(x)>0

是

f(x)為增函數的充要條件．

(×)函數在其定義域內離散的點處導數等于0

不影響函數的單調性．

(√)1(3)函數

y＝2x2－ln

x

的單調遞減區間為(0,1]．

(√)2．導數與極值的關系問題(4)函數的極大值不一定比極小值大．

(√)(5)對可導函數f(x)，f′(x0)＝0是x0為極值點的充要條件．(×)(6)函數f(x)＝xex在x＝－1處取得極小值．3．關于閉區間上函數的最值問題(7)函數在開區間一定不存在最大值和最小值．(√)(×)函數的最大值不一定是極大值，函數的最小值也不一定是極小值．

(√)函數f(x)＝ex－x(e為自然對數的底數)在區間[－1,1]上的最大值是e－1.

(√)[感悟·提升]一點提醒函數最值是個“整體”概念，而函數極值是個

“局部”概念．極大值與極小值沒有必然的大小關系，如

(4)．兩個條件一是f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上單調遞增的充分不必要條件．如(1)．二是對于可導函數f(x)，f′(x0)＝0是函數f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．如(5)．3．三點注意

一是求單調區間時應遵循定義域優先的原則．二是函數的極值一定不會在定義域區間的端點取到．三是求最值時，應注意極值點和所給區間的關系，關系不確定時應分類 ．不可想當然認為極值就是最值，如(8).考點一 利用導數研究函數的單調性【例1】設函數f(x)＝(x－1)ex－kx2.當k＝1時，求函數f(x)的單調區間；若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函數，求實數k的取值范圍．解

(1)當k＝1時，f(x)＝(x－1)ex－x2，∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．令f′(x)>0，即x(ex－2)>0，∴x>ln2或x<0.令f′(x)<0，即x(ex－2)<0，∴0<x<ln

2.因此函數f(x)的遞減區間是(0，ln2)；遞增區間是(－∞，0)和(ln

2，＋∞)．2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝x(ex－2k)．f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函數，當x≥0

時，f′(x)＝x(ex－2k)≥0

恒成立．ex－2k≥0，即

2k≤ex恒成立．1于ex≥1，∴2k≤1，則

k≤2.21當k＝時，f′(x)＝x(ex－1)≥0

當且僅當

x＝0

時取等號．

1此，實數

k

的取值范圍是－∞，2.規律方法

(1)利用導數研究函數的單調性的關鍵在于準確判定導數的符號．而解答本題(2)問時，關鍵是分離參數k，把所求問題轉化為求函數的最小值問題．(2)若可導函數f(x)在指定的區間D上單調遞增(減)，求參數范圍問題，可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構建不等式，要注意“＝”是否可以取到．【訓練1】已知函數f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函數，求實數a的取值范圍；(2)若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)的單調區間．解

(1)對

f(x)求導，得

f′(x)＝3x2－2ax－3.23

1由f′(x)≥0，得

a≤x－x.3

12

x3記

t(x)＝

x－

，則

t′(x)＝

11

2

x＋

2

，所以當

x≥1

時，t(x)是增函數，∴t(x)min＝32(1－1)＝0.∴a≤0.故實數

a

的取值范圍是(－∞，0]．(2)由題意，得

f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.1令f′(x)＝0，得x＝－或3.3當x

變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x

1－∞，－3

1－3

1

－3，3

3(3，＋∞)f′(x)＋0—0＋f(x)極大值極小值1∴f(x)的單調遞增區間為－∞，－3，[3，＋∞)；f(x)的單調遞減1區間為－3，3.考點二

利用導數研究函數的極值【例

2】設f(x)＝aln

x＋

1

＋x＋1，其中

a∈R，曲線

y＝f(x)在點32x

2(1，f(1))處的切線垂直于

y

軸．求a的值；求函數

f(x)的極值．審題路線(2)確定函數定義域?對f(x)求導右f′(x)的符號?確定極值．

1解

(1)由

f(x)＝aln

x＋2x＋2x3

＋1，a

1

32∴f′(x)＝x－2x

＋2.由于曲線

y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于

y

軸，∴該切線斜率為

0，即

f′(1)＝0.1

3從而

a－2＋2＝0，∴a＝－1.1

3(2)由(1)知，f(x)＝－lnx＋2x＋2x＋1(x>0)，1

1

3∴f′(x)＝－x－2x2＋2＝3x＋1x－12x2.1令f′(x)＝0，解得x＝1

或－3(舍去)．當x∈(0,1)時，f′(x)<0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0.∴f(x)在(0,1)上是減函數，在(1，＋∞)上是增函數．故f(x)在x＝1

處取得極小值f(1)＝3，f(x)無極大值．規律方法

(1)可導函數y＝f(x)在點x0

處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同．(2)若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區間上單調增或減的函數沒有極值．【訓練2】已知a，b是實數，1和－1是函數f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點．求a和b的值；設函數g(x)的導函數g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的極值點．解

(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b.又1

和－1

是函數f(x)的兩個極值點，∴f′1＝3＋2a＋b＝0，f′－1＝3－2a＋b＝0.解得，a＝0，b＝－3.(2)由(1)知，f(x)＝x3－3x，g′(x)＝x3－3x＋2.由g′(x)＝0，得(x－1)2(x＋2)＝0，∴g′(x)＝0

的根為x＝－2

或1.當x<－2

時，g′(x)<0；當－2<x<1

時，g′(x)>0.∴x＝－2

是函數g(x)的極小值點．當－2<x<1

或x>1

時，g′(x)>0，故1

不是g(x)的極值點．所以g(x)的極小值點為－2，無極大值點.考點三 利用導數求函數的最值【例3】已知函數f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2處取得極值為c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有極大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．審題路線

(1)f′2＝0，f2＝c－16?a，b

的值；(2)求導確定函數的極大值?求得

c

值?求得極大值、極小值、端點值?求得最值．解

(1)因

f(x)＝ax3＋bx＋c，故

f′(x)＝3ax2＋b，由于

f(x)在點x＝2處取得極值

c－16，故有f2＝c－16，即f′2＝0，

12a＋b＝0，8a＋2b＋c＝c－16.化簡得12a＋b＝0，4a＋b＝－8，解得a＝1，b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.令f′(x)＝0，得x＝－2或2.當x變化時，f(x)，f′(x)的變化情況如下表：x－3(－3，－2)－2(－2,2)2(2,3)3f′(x)＋0—0＋f(x)9＋c極大值極小值－9＋c由表知f(x)在x＝－2處取得極大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2處取得極小值f(2)＝c－16.由題設條件知，16＋c＝28，解得c＝12，此時f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值為f(2)＝－4.規律方法

在解決類似的問題時，首先要注意區分函數最值與極值的區別．求解函數的最值時，要先求函數y＝f(x)在[a，b]內所有使f′(x)＝0的點，再計算函數y＝f(x)在區間內所有使f′(x)＝0的點和區間端點處的函數值，最后比較即得．【訓練3】

設函數f(x)＝x＋ax2＋bln

x，曲線y＝f(x)過P(1,0)，且在P點處的切線斜率為2.求a，b的值；令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定義域上的最值．b解

(1)f′(x)＝1＋2ax＋x(x>0)，又f(x)過點

P(1,0)，且在點

P

處的切線斜率為

2，∴f′1＝2，即f1＝0，

1＋a＝0，1＋2a＋b＝2.解得

a＝－1，b＝3.(2)由(1)知，f(x)＝x－x2＋3ln

x，其定義域為(0，＋∞)，∴g(x)＝2－x－x2＋3ln

x，x>0，3則g′(x)＝－1－2x＋x＝－x－12x＋3x.當0<x<1

時，g′(x)>0；當

x>1

時，g′(x)<0.所以

g(x)在(0,1)內單調遞增，在(1，＋∞)內單調遞減．∴g(x)的最大值為

g(1)＝0，g(x)沒有最小值．注意單調函數的充要條件，尤其對于已知單調性求參數值(范圍)時，隱含恒成立思想．求極值、最值時，要求步驟規范、表格齊全，區分極值點與導數為0的點；含參數時，要參數的大小．求函數最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過認真比較才能下結論．一個函數在其定義域內最值是唯一的，可以在區間的端點取得．創新突破3——導數在創新定義與不等式中的應用【典例】設函數f(x)＝

ax

－(1

＋a2)x2

，其中a>0

，區間I

＝{x|f(x)>0}．求I的長度(注：區間(α，β)的長度定義為β－α)；?給定常數k∈(0,1)，當1－k≤a≤1＋k時，求I長度的最小值．?突破：由?理解區間長度的意義，轉化為求不等式f(x)>0

的解集．由?求

I

的長度最小值，即求以

a

為自變量的區間長度

d(a)＝a1＋a2，a∈[1－k,1＋k]構成的函數的最小值，利用導數求解．解

(1)因為方程

ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有兩個實根

x1＝0，x2＝a1＋a1

22，故f(x)>0

的解集為{x|x

<x<x

}．因此區間I＝0，

a

1＋a

2，區間I

的長度為

a

1＋a2.(2)設d(a)＝

a

1－a21＋a

1＋a

2，則

d′(a)＝

2

2(a>0)．令d′(a)＝0，得

a＝1.由于

0<k<1，故當1－k≤a<1時，(1－k)2≤a2<1，d′(a)>0，d(a)單調遞增；當

1<a≤1＋k

時，a2>1，d′(a)<0，d(a)單調遞減．所以當

1－k≤a≤1＋k

時，d(a)的最小值必定在

a＝1－k

或a＝1＋k

處取得．d1－k

1d1＋k＝

1＋k1＋1＋k2d(1－k)<d(1＋k)．此當

a＝1－k時，d(a)在區間[1－k,1＋k]上取得最小值2－2k＋[

感悟](1)本題以不等式的解集構成的區間長度為命題背景，將導數求最值和含參數的不等式解法交匯，命題情境創新．(2)解法創新，從不等式出發，構造函數利用導數判斷函數的單調