江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)含含江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)含含江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)含含2019屆高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)(滿分160分，考試時(shí)間120分鐘)參照公式：錐體體積公式：V＝13Sh，其中S為底面積，h為高．圓錐側(cè)面積公式：S＝πrl，其中r為底面半徑，l為母線長(zhǎng)．一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共計(jì)70分．1.已知會(huì)集A＝{0，1，2}，會(huì)集B＝{－1，0，2，3}，則A∩B＝________．2.函數(shù)f(x)＝lg（3－x）的定義域?yàn)開(kāi)_______．3.從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取2個(gè)不同樣的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)的和為6的概率是________．4.依照以下列圖的偽代碼，最后輸出的i的值為_(kāi)_______．5.已知一個(gè)圓錐的底面積為π，側(cè)面積為2π，則該圓錐的體積為_(kāi)_______．26.拋物線y＝8x的焦點(diǎn)到雙曲線2x－162y＝1漸近線的距離為_(kāi)_______．97.設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，若a6＝－a312，則S6＝________．S38.已知函數(shù)f(x)＝1xx－22，則滿足f(x2－5x)＋f(6)>0的實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．9.若2cos2α＝sinπ－α，α∈4π，π，則sin2α＝________．210.已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使→得DE＝3EF，則AF→·BC的值為_(kāi)_______．11.已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，前n項(xiàng)和為Sn，且數(shù)列{Sn＋n}也為公差為d的等差數(shù)列，則d＝________．12.已知x>0，y>0，x＋y＝1x＋4y，則x＋y的最小值為_(kāi)_______．13.已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圓M上存在點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，使得PA⊥PB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．14.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a，b，c∈R，a≠0)．若不等式xf′x（)－af(x)≤2對(duì)所有x∈R恒建立，則b＋ca的取值范圍為_(kāi)_______．二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.(本小題滿分14分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且ccosB＋bcosC＝3acosB.(1)求cosB的值；→(2)若|CA→－CB|＝2，△ABC的面積為22，求邊b.16.(本小題滿分14分)如圖，在四棱錐VABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，過(guò)AD的平面分別與VB，VC交于點(diǎn)M，N.(1)求證：BC⊥平面VCD；(2)求證：AD∥MN.17.(本小題滿分14分)某房地產(chǎn)商建有三棟樓宇A(yù)，B，C，三樓宇間的距離都為2千米，擬準(zhǔn)備在此三樓宇圍成的地域ABC外建第四棟樓宇D，規(guī)劃要求樓宇D對(duì)樓宇B，C的視角為120°，以下列圖，假設(shè)樓宇大小高度忽略不計(jì)．(1)求四棟樓宇圍成的四邊形地域ABDC面積的最大值；(2)當(dāng)樓宇D與樓宇B，C間距離相等時(shí)，擬在樓宇A(yù)，B間建休息亭E，在休息亭E和樓宇A(yù)，D間分別鋪設(shè)鵝卵石路EA和防腐木路ED，如圖．已知鋪設(shè)鵝卵石路、防腐木路的單價(jià)分別為a，2a(單位：元/千米，a為常數(shù))．記∠BDE＝θ，求鋪設(shè)此鵝卵石路和防腐木路的總花銷(xiāo)的最小值．18.(本小題滿分16分)已知橢圓C：2x2＋a2y2＝1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，兩準(zhǔn)線間距離為42.設(shè)A為橢圓C的左極點(diǎn)，直線lb過(guò)點(diǎn)D(1，0)，且與橢圓C訂交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)若△AEF的面積為10，求直線l的方程；(3)已知直線AE，AF分別交直線x＝3于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為Q，設(shè)直線l和QD的斜率分別為k(k≠0)，k′求．證：k·k為′定值．19.(本小題滿分16分)設(shè)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a2a4＝64，數(shù)列{bn}滿足：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有n＋1a1b1＋a1b2＋?＋anbn＝(n－1)·2＋2.(1)分別求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若不等式λ1－12b11－12b2?1－12bn<12bn＋1對(duì)所有正整數(shù)n都建立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；*(3)已知k∈N，對(duì)于數(shù)列{bn}，若在bk與bk＋1之間插入ak個(gè)2，獲取一個(gè)新數(shù)列{cn}．設(shè)數(shù)列{cn}的前m項(xiàng)的和為T(mén)m，試問(wèn)：可否存在正整數(shù)m.使得Tm＝2019？若是存在，求出m的值；若是不存在，請(qǐng)說(shuō)明原由．20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)＝alnx－bx(a，b∈R)．(1)若a＝1，b＝1，求函數(shù)y＝f(x)的圖象在x＝1處的切線方程；(2)若a＝1，求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若b＝1，已知函數(shù)y＝f(x)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同樣的零點(diǎn)x1，x2，且x1<x2.不等式a<(1－m)x1＋mx2(m>0)恒建立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.2019屆高三年級(jí)第一次模擬考試(二)數(shù)學(xué)附加題(本部分滿分40分，考試時(shí)間30分鐘)21.(本小題滿分10分)求函數(shù)y＝3cos2x－π的圖象在x＝35π處的切線方程．1222.(本小題滿分10分)2已知定點(diǎn)A(－2，0)，點(diǎn)B是圓x＋y2－8x＋12＝0上一動(dòng)點(diǎn)，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程.23.(本小題滿分10分)在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3，D是BC的中點(diǎn)．(1)求直線DC1與平面A1B1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1DC1A1的余弦值．24.(本小題滿分10分)已知x，y為整數(shù)，且x>y>0，θ∈0，π2，n為正整數(shù)，cosθ＝xx22－y22，sinθ＝＋y2xy2x＋y2，記An＝(x2＋y2n)cosnθ，Bn＝(x2＋y2n)sinnθ．(1)試用x，y分別表示A1，B1；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)所有正整數(shù)n，An均為整數(shù)．2019屆高三年級(jí)第一次模擬考試(二)(鎮(zhèn)江)數(shù)學(xué)參照答案1.{0，2}2.{x|x≤2}3.154.85.3π6.3657.128.(2，3)9.－7810.1311.1212.313.[－2，2]14.－16，＋∞15.(1)由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，(1分)且ccosB＋bcosC＝3acosB，得sinCcosB＋sinBcosC＝3sinAcosB，(3分)則3sinAcosB＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，(5分)又A∈(0，π)，則sinA>0，(6分)則cosB＝13.(7分)(2)因?yàn)锽∈(0，π)，則sinB>0，sinB＝1－cos2B＝1－132＝223.(9分)→因?yàn)閨CA→－CB→|＝|BA|＝c＝2，(10分)又S＝12acsinB＝12a×2×223＝22，解得a＝3.(12分)由余弦定理得，b222＝a＋c－2accosB＝9＋4－2×3×2×13＝9，則b＝3.(14分)故邊b的值為3.16.(1)在四棱錐VABCD中，因?yàn)閂D⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以VD⊥BC.(3分)因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以BC⊥CD.(4分)又CD?平面VCD，VD?平面VCD，CD∩VD＝D，則BC⊥平面VCD.(7分)(2)因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以AD∥BC，(8分)又AD?平面VBC，BC?平面VBC，則AD∥平面VBC，(11分)又平面ADNM∩平面VBC＝MN，AD?平面ADNM，則AD∥MN.(14分)17.(1)因?yàn)槿龢怯铋g的距離都為2千米，所以AB＝AC＝BC＝2，(1分)因?yàn)闃怯頓對(duì)樓宇B，C的視角為120°，所以∠BDC＝120°，(2分)在△BDC中，因?yàn)锽C2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，(3分)2所以2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos120o＝BD2＋CD2＋BD·CD≥2BD·CD＋BD·CD＝3BD·CD，則BD·CD≤43，(4分)當(dāng)且僅當(dāng)BD＝CD時(shí)等號(hào)建立，此時(shí)∠DBC＝∠DCB＝30°，BD＝CD＝1＝cos30°233.地域最大面積S＝S△ABC＋S△BCD＝12×2×2×sin60°＋12BD·CD·sin120°＝433(平方千米)．(7分)(也許：因?yàn)橹苯侨切巍鰽BD，△ACD全等，地域最大面積S＝S△ABD＋S△ACD＝2S△ABD＝2×12AB·BD＝433(平方千米)．(7分))(2)設(shè)鋪設(shè)此鵝卵石路和防腐木路的總花銷(xiāo)為y元，在Rt△BDE中，由(1)知，∠BDE＝θ∈0，π3，(8分)則DE＝23，BE＝3cosθ233tanθ，AE＝AB－BE＝2－233tanθ，(9分)所以y＝2a·ED＋a·AE＝2a233cosθ＋a·2－233tanθ＝23a32－sinθcosθ＋2a，θ∈0，π3.(10分)2－sinθ－1＋2sinθ記f(θ＝），令f′(＝θ）＝0，2cosθcosθ解得θ＝π∈0，6π3.(11分)當(dāng)θ∈0，π6時(shí)，f′(θ，)<函0數(shù)f(θ為）減函數(shù)；當(dāng)θ∈π，6π3時(shí)，f′(θ，)>函0數(shù)f(θ為）增函數(shù)．所以當(dāng)θ＝π時(shí)，f(θ取）最小值，6此時(shí)ymin＝4a(元)．(12分)答：(1)四棟樓宇圍成的四邊形地域ABDC面積的最大值為433平方千米；(2)鋪設(shè)此鵝卵石路和防腐木路的總花銷(xiāo)的最小值為4a元．(14分)18.(1)由長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝4，準(zhǔn)線間距離2×2a＝42，c解得a＝2，c＝2，(2分)222則b＝a－c＝2，即橢圓方程為2x＋42y＝1.①(4分)2(2)若直線l的斜率不存在，則EF＝6，△AEF的面積S＝12AD·EF＝362不合題意；(5分)若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y＝k(x－1)，②代入①得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，③因?yàn)辄c(diǎn)D(1，0)在橢圓內(nèi)，所以Δ>0恒建立．設(shè)點(diǎn)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，則x1，2＝224k＋2±223k2），④(6分)2（1＋2kEF＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2＋2223k22.(7分)·1＋2k點(diǎn)A到直線l的距離d為3|k|1＋k2，(8分)則△AEF的面積S＝1d·EF＝212·3|k|1＋k2·1＋k2223k＋222＝·1＋2k42323k＋2k2＝10，(9分)1＋2k解得k＝±1.綜上，直線l的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0.(10分)(3)設(shè)直線AE：y＝y(tǒng)1(x＋2)，x1＋2令x＝3，得點(diǎn)M3，5y1x1＋2，同理可得點(diǎn)N3，5y2x2＋2，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為3，5y12（x1＋2）＋5y22（x2＋2）.(12分)所以直線QD的斜率為k′＝54y1x1＋2＋y2x2＋2，(13分)而y1＋x1＋2y2＝x2＋2k（x1－1）x1＋2＋k（x2－1）x2＋2＝k2x1x2＋x1＋x2－4x1x2＋2（x1＋x2）＋4.(14分)由(2)中③得，x1＋x2＝24k1＋2k2，x1x2＝22k－42，代入上式得，(15分)1＋2ky1＋x1＋2y2＝kx2＋24k222－8＋4k－4（1＋2k）222＝2k－4＋8k＋4＋8k－12k2＝－18k23k.則k′＝－56k，所以k·k＝′－56為定值．(16分)19.(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，3因?yàn)閍1＝2，a2a4＝a1q·a1q＝64，n解得q＝2，則an＝2.(1分)當(dāng)n＝1時(shí)，a1b1＝2，則b1＝1，(2分)n＋1當(dāng)n≥2時(shí)，a1b1＋a2b2＋?＋anbn＝(n－1)·2＋2，①a1b1＋a2b2＋?＋an－1bn－1＝(n－2)·2n＋2，②由①－②得，anbn＝n·2n，則bn＝n.綜上，bn＝n.(4分)(2)不等式λ1－12b11－12b2?1－12bn<12bn＋1對(duì)所有正整數(shù)n都建立，即λ1－121－14?1－12n<1，2n＋1因?yàn)?－121－14?1－12n>0，當(dāng)λ≤0時(shí)，不等式顯然建立；(5分)當(dāng)λ>0時(shí)，則不等式等價(jià)于1－121－14?1－12n2n＋1<1，λ設(shè)f(n)＝(1－12)(1－14)?(1－12n)2n＋1，f（n＋1）則f（n）＝1－12?1－11－?1－212n11－2n＋212n2n＋12n＋3＝2n＋1·2n＋32n＋2＝4n4n2＋8n＋32＋8n＋4<1.(7分)所以f(1)>f(2)>f(3)>?>f(n)>?，所以1λ>f(n)max＝f(1)＝3，223

則0<λ＜，

323綜上λ＜.(8分)3(3)在數(shù)列{cn}中，從b1至bk(含bk項(xiàng))的所有項(xiàng)和是：(1＋2＋3＋?＋k)＋(212＋2＋?＋2k－1)×2＝k（k＋1）2k＋1＋2－4.(10分)10當(dāng)k＝9時(shí)，其和是45＋2－4＝1065<2019，當(dāng)k＝10時(shí)，其和是55＋211－4＝2099>2019，(12分)又因?yàn)?019－1065＝954＝477×2，(14分)2所以當(dāng)m＝9＋(2＋2＋?＋28)＋477＝996時(shí)，Tm＝2019.即存在m＝996，使得Tm＝2019.(16分)20.當(dāng)a＝1，b＝1時(shí)，f(x)＝lnx－x，(1分)則f′(＝x)1x－1，則f′(＝1)11－1＝0.(3分)又f(1)＝－1，則所求切線方程為y＝－1.(4分)(2)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝lnx－bx，則f′(＝x)1x－b＝1－bxx，(5分)由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，①若b≤0，則f′(x)>0恒建立，則函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0，＋∞)；(6分)②若b>0，則由f′(＝x)0，得x＝1b，當(dāng)x∈0，1b時(shí)，f′(x)>，0則函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為0，1b；(7分)當(dāng)x∈1b，＋∞時(shí)，f′(x)<，0則函數(shù)f(x)單調(diào)減區(qū)間為1b，＋∞.(8分)綜上，當(dāng)b≤0時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞加，增區(qū)間為(0，＋∞)；當(dāng)b>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為0，1b，單調(diào)減區(qū)間為1b，＋∞.(3)因?yàn)閤1，x2分別是方程alnx－x＝0的兩個(gè)根，即alnx1＝x1，alnx2＝x2.兩式相減a(lnx2－lnx1)＝x2－x1，則a＝x2－x1，(9分)x2lnx1x2－x1則不等式a<(1－m)x1＋mx2(m>0)，可變?yōu)?lt;(1－m)x1＋mx2，x2lnx1兩邊同時(shí)除以x1得，x2－1x1<1－m＋x2lnx1mx2，(10分)x1令t＝x2t－1，則x1lnt<1－m＋mt在t∈(1，＋∞)上恒建立．因?yàn)?－m＋mt>0，lnt>0，所以lnt－t－11－m＋mt>0在t∈(1，＋∞)上恒建立，(11分)令k(t)＝lnt－t－11－m＋mt，則k′(＝t)22（t－1）[mt－（m－1）]2＝t（1－m＋mt）2（m－1）2m（t－1）t－2m2，t（1－m＋mt）①當(dāng)2（m－1）2≤1，即m≥m12時(shí)，k′(t)>0在(1，＋∞)上恒建立，則k(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞加，又k(1)＝0，則k(t)>0在(1，＋∞)上恒建立；(13分)②當(dāng)2（1－m）2>1，即0<m<m12時(shí)，當(dāng)t∈1，2（1－m）2時(shí)，k′(t)<，0m則k(x)在1，2（1－m）2上單調(diào)遞減，m則k(x)<k(1)＝0，不吻合題意．(15分)綜上，m≥12.(16分)21.因?yàn)閥＝3cos2x－π3，所以y′＝－6sin2x－π3，(4分)所以函數(shù)圖象在x＝5π處的切線斜率k＝－6sin125π－6π3＝－6.(6分)當(dāng)x＝5π時(shí)，y＝3cos125π－6π3＝0，(7分)所以所求切線方程為y－0＝－6x－5π12，即y＝－6x＋5π.(10分)222.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)B(x0，y0)．因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以x＝x0－2，y＝2y0＋0，(4分)2所以x0＝2x＋2，y0＝2y.(6分)將點(diǎn)B(x0，y0)代入圓x2＋y2－8x＋12＝0得(2x－2)2＋4y2＝4，化簡(jiǎn)得(x－1)22＋y＝1.即點(diǎn)M的軌跡方程為(x－1)22＋y＝1.(10分)23.(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，有AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，→故可以{AB→，AC→，AA1}為正交基底，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系．(1分)因?yàn)锳B＝2，AC＝4，AA1＝3，所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3)．因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以D(1，2，0)．→所以DC1＝(－1，2，3)．設(shè)n1＝(x1，y1，z1)為平面A1B1D的法向量，→→因?yàn)锳1B1＝(2，0，0)，B1D＝(－1，2，－3)，→A1B1·n1＝0，2x1＝0，所以→B1D·n1＝0，即－x1